Zahlentheorie - Eine Mitschrift - Universität Passau

◦ z = 0: ν(x) = y + ν(z), z = 0 ν(x) = y + ν(z) = ν(y + z)
⇒ x = y + z
|{z}
νinj.
Das heisst aber y < x (2)
Somit haben wir die Kontraposition von ” ⇐“ bewiesen und diese Richtung ist bewiesen.
(d) Sei x < z ⇒ ν(x) ≤ z
|{z}
(c)
Das war der Beweis des Lemmas.
Es folgt der Beweis des Satzes I.3.5:
Beweis:
Annahme:
S ⊆ P, S = ∅, S hat kein kleinstes Element
Sei D = {x ∈ P |∀s ∈ S : x < s}
◦ D ∩ S = ∅ (*)
Falls y ∈ D ∩ S : y < y (Trichotomie, y = y)
Behauptung: D = P
Beweis:
◦ 0 ∈ D:
Falls 0 /∈ D : ∃s ∈ S : s ≤ 0 ⇒ 0 ∈ S Dann wäre aber 0 sofort kleinstes Element von S, im Widerspruch
zur Voraussetzung.
◦ x ∈ D → ν(x) ∈ D
Annahme: ν(x) /∈ D ⇒ ∃s ∈ S : s ≤ ν(x)
x ∈ D ⇒ x < s
Dann ist s = ν(x) Weil aber S kein kleinstes Element hat nach Vorraussetzung, muss es ein t ∈ S
|{z}
l.Lem.(d)
derart geben dass gilt:
x < t < s = ν(x) (letztes Lemma, Teil (d))
◦ D.h. D = P daraus folgt D ∩ S = P ∩ S = S
S = ∅ nach Voraussetzung (zu (*))
Definition 3.7: Wohlgeordnete Menge
(M; ≤) sei total geordnete Menge.
M ist wohlgeordnet, wenn jeder nicht-leere Teilmenge ein kleinstes Element hat.
Satz 3.8:
Es gibt wohlgeordnete Mengen, die nicht angeordnete Mengen eines Peano Systems sind.
Beweis:
Wir zeigen ein Beispiel für eine wohlgeordnete Menge die kein Peano-System ist.
Die betrachtete Menge ist:
P × {1, 2}
Eine Ordnung wird wie folgt darauf definiert:
(x, i) ≤ (y, j), falls
◦ i = 1 und j = 2 oder
◦ i = j und x ≤ y
Damit sind alle Elemente aus P × {1, 2} vergleichbar und diese Menge ist totalgeordnet.
Anders ausgedrückt: (P × 1,2, ≤) ist Totalordnung.
Ist (P × 1, 2, ≤) auch wohlgeordnet?
Sei ∅ = S ⊆ P × {1, 2}
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