Zahlentheorie - Eine Mitschrift - Universität Passau

Lemma 7.13: Char(Q) = 0
Char(Q) = 0
Beweis:
Z ↦→ Q injektiv.
Satz 7.14: Charakterisierung von Q
Sei K ein Körper der Charakterisierung 0. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten
Homomorphismus F : Q ↦→ K. Wenn L ein Körper ist mit: Für jeden Körper K mit
Char(K) = 0 gibt es (genau) einen Homomorphismus L ↦→ K, dann ist L isomorph zu Q.
Beweis:
Existenz von F:
∃!f : Z ↦→ K Homomorphismus mit 1 ↦→ 1. f ist injektiv, weil Char(K) = 0.
Definiere: (Wegen injektiv = 0, K Körper, daher existiert das Inverse.)
≡Q
z }| {
R : (k, l)
Φ : Z × N1
Π
f
Z
F existiert, falls gilt: Für z
k
Beweis:
f(z) ∗ f(k) −1
= t
l in Q ist f(z) ∗ f(k)−1 = f(t) ∗ f(l) −1 .
f(z)f(k) −1 = f(t)f(l) −1
⇔ f(z)f(l) = f(t)f(k)
⇒ f(zl) = f(tk)
Gilt, weil zl = tk.
F( z
k ) = f(z)f(k)−1 unabhängig von Wahl des Repräsentanten.
Homomorphie nicht bewiesen.
F eindeutig
Sei F ′ Q ↦→ K Homomorphismus. ⇒ F |Z : Z ↦→ K
F ′ ff
Nur ein Homomorphismus Z ↦→ K ⇒ F |Z = F
|Z : Z ↦→ K
′ |Z
Sei q = z
k ∈ Q F(q) = F(z) ∗ F(k)−1 = f(z)f(k) −1 = F ′ (z)F ′ (k) −1 = F ′ (q)
L isomorph Q Sei L wie in der Behauptung. g : L ↦→ Q, h : Q ↦→ L. Char(L) = 0
Z inj?
L
inj!
Q
Weil es genau einen Homomorphismus von L ↦→ L bzw Q ↦→ Q gibt:
h ◦ g : L ↦→ L, idL : L ↦→ L ⇒ idL = h ◦ g
g ◦ h : Q ↦→ Q, idQ : Q ↦→ Q ⇒ idQ = g ◦ h
⇒ es ist Isomorphismus.
Zum Schluss noch zwei Eigenschaften der Anordnung. Erst das archimedisches Prinzip, dann “dicht geordnet”.
Definition 7.15: archimedisch
R sei ein total geordneter Ring (es geht auch Gruppe, nur die Addition wird genutzt).
R ist archimedisch, wenn gilt:
Für 0 < a, b ∈ R gibt es natürliche Zahlen r, s ∈ N mit a ≤ r ∗ b, b ≤ s ∗ a.
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