Zahlentheorie - Eine Mitschrift - Universität Passau

Definition 8.1: Dedekind’scher Schnitt
Ein Dedekind’scher Schnitt in Q ist ein Paar (D, S) mit folgenden Eigenschaften:
◦ D ⊆ Q, S ⊆ Q.
◦ D = ∅, S = ∅, D ∩ S = ∅, |Q\(D ∪ S)| ≤ 1 (letzteres kann auch anders gemacht werden)
◦ ∀x ∈ Q∀d ∈ D : x < d ⇒ x ∈ D
◦ ∀x ∈ Q∀s ∈ S : s < x ⇒ x ∈ S
◦ D hat kein größtes Element, S hat kein kleinstes Element.
◦ D Untermenge, S Obermenge.
D S ✲
Menge der Schnitte wird Menge der reellen Zahlen. Es gibt viele andere Möglichkeiten die Reelle Zahlen
axiomatisch einzuführen, z.B. mittels den Cauchy-Folgen (Ohne Limes), Konvergenz oder Dezimalfolgen, was
dann aber deutlich aufwändiger ist. In München hat ein (späterer) Kollege diesen Ansatz verfolgt und ein
ganzes Semester gebraucht um die reellen Zahlen einzuführen...
Die “reellen” Zahlen nehmen wir nur als Hintergrundwissen, zum Teil sind die Eigenschaften redundant - im
Satz 8.3 werden sie genauer charakterisiert.
Beispiel 8.2: Dedekind’sche Schnitte
(a) Sei q ∈ Q. Dq = {x ∈ Q|x < q}. Sq = {x ∈ Q|q < x}. Es gelten die Eigenschaften. ( √ )
(b) D = {x ∈ Q|x ≤ 0 ∨ x > 0 ∧ x 2 < 2} S = {x ∈ Q|x > 0 ∧ x 2 > 2}
(Das ist M vereinigt mit den negativen Zahlen (s.o.), die Eigenschaften sind erfüllt.
|Q\(D ∪ S)| = 0
Satz 8.3: Abhängigkeit Untermenge ↔ Obermenge
Sei U die Menge der Teilmengen Y ⊆ Q mit:
◦ Y = ∅
◦ ∀x ∈ Q∀y ∈ Y : (x < y → x ∈ Y )
◦ Q\Y = ∅
◦ Y hat kein größtes Element.
Sei O die Menge der Teilmengen Z ⊆ Q mit:
◦ Z = ∅
◦ ∀x ∈ Q∀z ∈ Z : (z < x → x ∈ Z)
◦ Q\Z = ∅
◦ Y hat kein kleinstes Element.
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