Zahlentheorie - Eine Mitschrift - Universität Passau

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Dies ist eine Mitschrift der Zahlentheorie-Vorlesung von Prof. Niels Schwartz im Wintersemester 2006/2007 an der Universität Passau. Die Vorlesung ist nahe am Buch 1. Buch-Verweis! angelehnt, da dieses aber vergriffen war, gab es kein Script. Hiermit wird dies als Mitschrift “nachgeholt”.
Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 7 1.1 Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Auch Zahlentheorie, aber kein Thema der Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Zahlenbereiche 8 2.1 Die natürlichen Zahlen - Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Definition 1.1: Peano-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Definition 1.2: Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Satz 1.3: Für 0 = y: Eindeutige Existenz des Nachfolgers . . . . . . . . . . . . . . . 9 Satz 1.4: (rekursive) Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Satz 1.5: Isomorphie aller Peano-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Natürliche Zahlen - Arithmetische Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Satz 2.1: (rekursive) Abbildungen innerhalb Peano-Systeme . . . . . . . . . . . . . 11 Korollar 2.2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Definition 2.3: Addition im Peano-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Lemma 2.4: ν(x) = x + ν(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Satz 2.5: Assoziativgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Satz 2.6: Kommutativgesetz der Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Satz 2.7: Kürzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Satz 2.8: Einschränkung der Darstellungsmöglichkeit von y ∈ P . . . . . . . . . . . 13 Satz 2.9: Trichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Definition 2.10: Multiplikation von natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Satz 2.11: Multiplikation mit Null von links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Satz 2.12: Beidseitige Neutralität der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Satz 2.13: Rechtsdistributivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Satz 2.14: Kommutativität der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Satz 2.15: Assoziativität der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Satz 2.16: Kürzungsregel der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Die natürlichen Zahlen - Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Definition 3.1: Symbolik der Ordnungsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Satz 3.2: Trichotomie und Transitivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Satz 3.3: Totalität der Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Satz 3.4: Kleinstes Element von Peano-Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Satz 3.5: Wohlordnung der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lemma 3.6: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Definition 3.7: Wohlgeordnete Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Satz 3.8: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Satz 3.9: Korrelation Nachfolger/Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Die natürlichen Zahlen - Monotonie der arithmetischen Operationen . . . . . . . . 21 3
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Seite 5 und 6: Definition 7.17: Dicht geordnet . .
Seite 7 und 8: 1 Einführung 1.1 Themen • Was si
Seite 9 und 10: Satz 1.3: Für 0 = y: Eindeutige Ex
Seite 11 und 12: 2.2 Natürliche Zahlen - Arithmetis
Seite 13 und 14: 1 ∈ M: Beweis: Setze R = {z ∈ P
Seite 15 und 16: Satz 2.12: Beidseitige Neutralität
Seite 17 und 18: Die Totalität folgert man so: Seie
Seite 19 und 20: Falls es in S ein Element (x, 1) gi
Seite 21 und 22: 2.4 Die natürlichen Zahlen - Monot
Seite 23 und 24: Lemma 5.5: M endlich ⇒ M ∪ {x}
Seite 25 und 26: Also F (l − 1) ist nicht echt in
Seite 27 und 28: Beweis: ◦ (Injektiv): Seien n, m
Seite 29 und 30: = Π(n, 0) oder b = Π(0, n) a ∗
Seite 31 und 32: ◦ (+) z = k − l, t = r − s
Seite 33 und 34: Eindeutigkeit Sei z = q ∗ n + r =
Seite 35 und 36: Satz 7.5: “gleiche” Brüche Sei
Seite 37 und 38: In jeder Hinsicht ist nun Q eine Er
Seite 39 und 40: Satz 7.16: Q ist archimedisch geord
Seite 41 und 42: Definition 8.1: Dedekind’scher Sc
Seite 43 und 44: Defniniere die Relation: (D, S) ≤
Seite 45 und 46: ◦ Neutrales Element (D0, S0) Nach
Seite 47 und 48: Beweis: σ (D,S)(A, B) + σ (D,S)(A
Seite 49 und 50: σ (A,B)(σ (D1,S1)(E, F)) − σ (
Seite 51 und 52: ◦ f Homomorphismus x, y ∈ G ⇒
Seite 53 und 54:
α, β, ... (griechische Buchstaben
Seite 55 und 56:
a + (N) Z/(N) πN Z f a + (M)
Seite 57 und 58:
Beispiel zum chinesischen Restsatz:
Seite 59 und 60:
unitären Ringes aus: 0 2 + 0 + 1 =
Seite 61 und 62:
Exemplarisch wird eine Lösung bere
Seite 63 und 64:
3.1 Lineare Diophantische Gleichung
Seite 65 und 66:
“⇒” Sei (x1, ...,xl) ∈ Z l
Seite 67 und 68:
3.2 Quadratische Reziprozität Einf
Seite 69 und 70:
(Unter Beweis (b)) Es bleibt: b qua
Seite 71 und 72:
Adrien-Marie Legendre 2 (* 18. Sept
Seite 73 und 74:
Beweis: 2.7 (b) „ −1 Wegen Eule
Seite 75 und 76:
N q q−1 2 1 ✻ p−1 1 2 M L = {
Seite 77 und 78:
3.3 Primzahltests Einführung Diese
Seite 79 und 80:
3.4 Darstellung natürlicher Zahlen
Seite 81 und 82:
Satz 4.6: Z[i] × = {1, −1, i,
Seite 83:
Satz 4.14: Fälle für p Primzahl p
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