Zahlentheorie - Eine Mitschrift - Universität Passau

◦ (Induktionsprinzip) Sei (S ⊆ M: µ ∈ S und a ∈ S ⇒ σ(a) ∈ S) ⇒ S = M. d.h. M\S = ∅
Annahme: M\S = ∅
⇒ Es existiert kleinstes Element a ∈ M\S
|{z}
Wohlordnung
Es ist a = µ, da µ ∈ S nach Vorraussetzung. Wegen (d): ∃b ∈ M : b a und ist c a, so ist c ≺ b. Dabei ist
b ∋ M\S, d.h. b ∈ S ⇒ σ(b) ∈ S.
Behauptung: σ(b) = a
z
Trichitonie
}| {
Annahme: σ(b) = a d.h. a σ(b) ∨ a = σ(b) ∨σ(b) a
| {z } | {z } | {z }
(1) (2) (3)
(1) b σ(b), b a ⇒ σ(b) < a
(2) zur Vorraussetzung.
(3) Falls σ(b) a: b σ(b) a (Wohlordnung von b)
Wegen b ∈ S ist σ(b) = a ∈ S
⇒ Es ist ein Piano-System.
Noch zu tun: Ordnung
≤: Totale Ordnung des Peano-Systems (M, σ, µ)
Behauptung: “≤” = “≺”
Induktion Sei a ∈ M. Setze S = {b ∈ M|a ≤ b
equiv. zu ⇔SEE 2
z}|{
⇒ a ≺ b}. Zu Zeigen: S = M
◦ µ ∈ S: Falls a = µ: Ausage “a ≤ µ” falsch ⇒ Implikation richtig.
◦ Sei c ∈ S. Behauptung: σ(c) ∈ S.
Falls σ(c) < a: Vorraussetzung der Induktion falsch, damit Implikation richtig.
Falls σ(c) = a: ⇒ a ≺ σ(c) = a √ (Reflexivitaet)
c∈M
z}|{
Falls σ(c) a: Peano-System ⇒ a ≤ c ⇒ a < c. Aus dem und c < σ(c) folgt wegen Transitivität von
≺: a ≺ σ(c).
2 Weil totale Ordnung
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