Lösungen - Institut für Theoretische Physik

Dr. J. Reinhardt Sommersemester 2012
Theoretikum zur Vorlesung
Theoretische Physik II für Lehramtskandidaten
Lösungen zu Blatt 7
Aufgabe 1
a) Die Anordnung lässt sich als Parallelschaltung von zwei
Plattenkondensatoren interpretieren: Der erste Kondensator
hat die Höhe x (Fläche xb) und ist mit dem Dielektrikum
gefüllt, der zweite hat die Höhe h − x (Fläche (h − x)b) und
ist leer. Für die Kapazitäten gilt (unter Vernachlässigung von
Randeffekten)
xb
C1 = ɛrɛ0
d
(h − x)b
, C2 = ɛ0
d
.
Damit ist die Gesamtkapazität eine lineare Funktion der Eindringtiefe des Dielektrikums
b�
C = C1 + C2 = ɛ0 x(ɛr − 1) + h
d
� .
b i) Die Ladung auf dem Kondensator (beide Teile zusammen) ist Q = C(x)U(x) = const,
was zu einer x-abhängigen Spannung führt. Die elektrische Energie beträgt
We(x) = 1
2 C(x)U2 (x) = 1 Q
2
2
C(x) .
Die elektrische Energie nimmt demnach mit wachsendem x ab. Deshalb wird das Dielektrikum
in den Kondensator hineingezogen, wobei mechanische Arbeit geleistet wird. Aus
der Energieerhaltung folgt dWe + dWm = 0. Die Energieänderungen bei einer Verschie-
bung des Dielektrikums um dx lauten dWe = dWe
dx dx und dWm = Fdx. Also lautet die
ponderomotische Kraft auf das Dielektrikum
F = − dWe
dx
d 1 1 Q
= −1Q2
=
2 dx C 2
2
C2 Einsetzen der Formel für C(x) liefert
F = 1
2 U2 ɛ0
dC
dx
= 1
2 U2dC
dx .
b
d (ɛr − 1) = 1
�
U
�2 bdɛ0 (ɛr − 1) =
2 d
1
2 bdɛ0(ɛr − 1)E 2 0 ,
wobei im letzten Schritt die elektrische Feldstärke E0 = U/d eingesetzt wurde.
1

ii) Wird die Spannung durch eine angeschlossene Batterie konstant gehalten, dann
gilt U = Q(x)
C(x) = const und We(x) = 1
2C(x)U2 . Da die elektrische Energie nun mit x
anwächst, könnte man zunächst denken, dass eine abstoßende Kraft auf das Dielektrikum
wirkt. Dann würde man aber die Rolle der Batterie vergessen. Um die Potentialdifferenz
konstant zu halten, muss eine zusätzliche Ladung dQ = UdC = U dC
dx auf die Kon-
dx
densatorplatten fließen. Die Batterie leistet dabei Arbeit und verliert einen Teil ihres
Energieinhalts: dWb = −UdQ. Dies muss in der Energiebilanz mit berücksichtigt werden:
dWe + dWm + dWb = 0. Die ponderomotische Kraft lautet nun
F = − dWe dWb d
�
1
− = −
dx dx dx 2 CU2
�
− (−U)U dC
dx =
�
− 1
�
+ 1 U
2 2dC 1
=
dx 2 U2dC
dx .
Es ergibt sich also das gleiche Resultat für die Kraft wie im Fall i)! Interessanterweise geht
die Energie aus der Batterie zur Hälfte in die Steigerung der Feldenergie des Kondensators,
zur anderen Hälfte wird mechanische Arbeit geleistet.
c) Die Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule der Höhe ∆x im Schwerefeld der Erde ist
FG = ρmV g = ρmbd∆xg
mit der Massendichte ρm. Diese Kraft muss die oben berechnete ponderomotische Kraft F
ausbalancieren. Gleichsetzen liefert eine Formel zur Bestimmung von ɛr aus der Steighöhe
∆x:
ɛr = 1 + 2ρmg
ɛ0E2 ∆x .
0
Aufgabe 2
a) Zur Interpretation der Kontinuitätsgleichung integrieren wir diese über ein zunächst
beliebiges Probevolumen V mit der Oberfläche O(V )
�
V
dV � �
∇ ·�j +
V
dV ∂
ρ =
∂t
�
V
dV � ∇ ·�j + d
dt
�
V
dV ρ = 0 .
Hier wurde die Integration über das Volumen mit der Ableitung nach der Zeit vertauscht.
Da das Ergebnis der Integration nur noch von einer Variablen (der Zeit) abhängt, kann
man ∂/∂t → d/dt ersetzen. Beim letzten Ausdruck handelt es sich um die im Volumen
V eingeschlossene Ladung Q(V ). Der erste Term lässt sich mittels des Gaußschen Satzes
umschreiben
dQ
dt
�
= −
O(V )
d � A ·�j .
Die rechte Seite beschreibt den gesamten elektrischen Strom durch die Oberfläche O(V ).
Also: Die zeitliche Änderung der Ladung in einem Raumbereich entspricht genau dem
durch die Oberfläche fließenden elektrischen Strom. Wenn sich die Ladung ändert, kann
dies nur geschehen, indem elektrische Ladungsträger zu- oder abfließen. Sie können nicht
“einfach so” erzeugt oder vernichtet werden. Das Minuszeichen in der Gleichung ist auch
klar: ein aus dem Volumen (also in Richtung der äußeren Flächennormalen) herausfließender
Strom führt zu einem positivem Integral, bewirkt also ein Abnehmen der verbleibenden
Ladung Q. Macht man das Probevolumen unendlich groß, dann wird für jedes
2

lokalisierte System das Oberflächenintegral verschwinden. Also ist die Gesamtladung im
Raum zeitlich konstant (Ladungserhaltung):
�
Q = dV ρ(�r, t) = const .
b) Die Anwendung auf ein System von stromführenden
Drähten ist sehr einfach. Wir wählen ein (ansonsten beliebig I2 geformtes) Volumen V , dessen Oberfläche von allen interessierenden
Drähten durchstoßen wird. Stationäre Ströme sind
dadurch charakterisiert, dass die Divergenz der Stromdichte
überall verschwindet (Spezialfall der Kontinuitätsgleichung): I3 �∇ ·�j = 0.
Integration über das Volumen liefert, wieder mit dem Gaußschen Satz
�
V
dV � �
∇ ·�j =
O(V )
d � A ·�j =
N�
�
i=1
Ai
d � A ·�j =
N�
Ii = 0 .
Hier wurde benutzt, dass das Oberflächenintegral nur in den Schnittflächen Ai mit den
Drähten beiträgt und dort die jeweilige Stromstärke Ii liefert.
N�
Das Ergebnis Ii = 0 ist als Kirchhoffsche Knotenregel bekannt und dient als eine
i=1
Grundlage für die Analyse elektrischer Schaltkreise. Es eine Anwendung des Prinzips der
Ladungserhaltung. Bei der Anwendung muss man auf konsistente Vorzeichendefinition
der Einzelströme achten (alle einlaufend oder alle auslaufend).
Aufgabe 3
a) Wir betrachten einen dünnen vom Strom I1 durchflossenen Draht (“Stromfaden”)
entlang der z-Achse. Die Integrationskurve C wird einfach durch die Variable z ′ parame-
trisiert: �r ′ = (0, 0, z ′ ) = z ′ �ez, also d�r ′ = �ez dz ′ . Also ist zu berechnen
�B(�r ) = µ0
4π I1
� ∞
dz ′
−∞
Das Kreuzprodukt liefert den Vektor
�ez × (x, y, z − z ′ )
(x2 + y2 + (z − z ′ ) 2 .
) 3/2
�ez × (x, y, z − z ′ ) = (−y, x, 0) = ρ �eϕ
mit ρ = � x 2 + y 2 . �eϕ ist der azimutale Einheitsvektor, liegt also tangential an einem
Kreis mit Radius ρ um die z-Achse. Da dieser Vektor nicht von der Integrationsvariablen
abhängt, kann er vor das Integral gezogen werden. Wenn wir noch z ′′ = z ′ −z substituieren
ergibt sich
�B(�r ) = µ0
4π I1ρ�eϕ
� ∞
dz
−∞
′′ 1
= µ0
4π I1ρ�eϕ
1
ρ2 z ′′
(ρ2 + z ′′2 ) 1/2
�
�∞
�
�
= µ0
4π I1ρ�eϕ
1 µ0I1
ρ22 =
2πρ �eϕ .
(x 2 + y 2 + z ′′2 ) 3/2
−∞
3
i=1
V
I 1

) Den zweiten Leiter im Abstand ρ = d legen wir so, dass er in x-Richtung verschoben
ist: �r2 ′ = (d, 0, z ′ ) sodass gilt d�r2 ′ = �ez dz ′ sowie �eϕ = �ey. Für die Kraft auf ein Teilstück
der Länge L gilt
�
�F = I2
C2
d�r2 ′ × � B(�r2 ′ ) = I2 �ez × �ey
L
= −�ex I1I2µ0
2πd .
� L
0
dz
′ µ0I1
Die Kraft zeigt also entlang des Abstandsvektors �ex
zwischen den Drähten. Die Drähte ziehen sich an,
wenn die Ströme in gleicher Richtung fließen und stoßen
sich ab bei entgegengesetzter Stromrichtung. Die
Kraft fällt mit der inversen ersten Potenz des Abstands
ab.
Die berechnete Formel für die Kraft ist Grundlage für
die Definition der Einheit für die Stromstärke: Zwischen
zwei mit einer Stromstärke von einem Ampere
durchflossenen parallelen Drähten im Abstand von
einem Meter wirkt pro Längenmeter eine Kraft der
Größe 2 · 10−7 z
�
F
y
�
B
x
Newton.
d
c) Für einen einzelnen stromdurchflossenen Draht sind die Magnetfeldlinien konzentrisch
um den Draht verlaufende Kreise. Die Feldlinien zweier antiparallel (a) bzw. parallel
(b) durchflossener Drähte in einer Ebene z = const sind unten dargestellt. Auch ohne
Formeln zu Hilfe zu nehmen kann man sich den Verlauf qualitativ durch Überlagerung
der kreisförmigen Feldlinien der Einzeldrähte plausibel machen.
4
2πρ