Analysis und Lineare Algebra für Informatiker Merkblatt 12b Kurven ...

Analysis und Lineare Algebra für Informatiker
Merkblatt 12b
Kurven und Tangentenvektoren
1. Der Tangentenvektor: Eine Funktion x : R → R n kann man Kurve im R n auffassen. Die
Ableitung x ′ (t) ist der Tangentenvektor der Kurve im Punkt x(t). In der Nähe von x ′ (t) lässt sich die
Kurve linear approximieren:
BEISPIEL Kreis mit Radius r:
∆x := x(t + ∆t) − x(t) ≈ x ′ (t)∆t.
x(t) = r(cos t,sin t) x ′ (t) = r(− sin t,cos t) < x(t),x ′ (t) >= 0
Der Tangentenvektor steht senkrecht auf dem Radiusvektor.
x ′
Kreis
BEISPIEL Gleichwinklige Spirale
|x(t)| = e αt
x
x ′
Gleichwinklige Spirale
x(t) = e αt (cos t,sin t) x ′ (t) = αe αt (cos t,sin t) + e αt (− sin t,cos t)
|x ′ (t)| =
α 2 + 1 e αt
θ
x
< x(t),x ′ (t) >= αe 2αt =
α
√ α 2 + 1 |x(t)| |x ′ (t)|.
Der Winkel θ zwischen Radiusvektor und Tangentenvektor ist konstant (cos θ = α/ √ α 2 + 1).
2. Die Produktregel für das Skalarprodukt: Aus der Produktregel für reelle Funktionen leitet
man sofort eine analoge Regel für das Skalarprodukt von vektorwertigen Funktionen her:
d
dt < u(t),v(t) > = < u ′ (t),v(t) > + < u(t),v ′ (t) > .
BEISPIEL A Wenn |x(t)| konstant ist (wie beim Kreis), dann steht x ′ (t) senkrecht auf x(t), denn
0 = d
dt < x(t),x(t) > = 2 < x ′ (t),x(t) > .

BEISPIEL B Wenn u(t) und v(t) senkrecht aufeinander stehen, dann gilt
3. Bogenlänge: Wenn für alle t gilt
dann hat man
< u(t),v ′ (t) > = − < u ′ (t),v(t) > .
|x ′ (t)| = 1,
|∆x| ≈ |x ′ (t)||∆t| = |∆t|.
Es folgt, dass die Länge des in der Zeit t zurückgelegten Wegs gleich t ist. In diesem Fall ist der
Parameter t nichts anderes als die Bogenlänge längs der Kurve.
4. Hauptnormale und Krümmung: Sei jetzt |x ′ (t)| ≡ 1. Dann steht x ′′ (t) senkrecht auf x ′ (t)
(nach BEISPIEL A). An Stellen, wo x ′′ (t) = 0, setzt man
v1(t) := x ′ (t) v2(t) := x ′′ (t)/|x ′′ (t)|.
v1(t) und v2(t) bilden eine orthonormale Basis im Kurvenpunkt x(t). v2 heißt die Hauptnormale zur
Kurve. Nach der Definition von v1 und v2 gilt:
v1 ′ = κ v2, mit κ := |x ′′ |.
κ(t) heißt die Krümmung der Kurve im Punkt x(t). Die Krümmung gibt an, wie schnell sich der Tangentenvektor
dreht.
BEISPIEL Noch einmal der Kreis. Damit |x ′ | = 1, ersetzt man t durch t/r:
Also
v1 = (− sin(t/r),cos(t/r)) T
x(t) = r(cos(t/r),sin(t/r)) T
x ′ (t) = (− sin(t/r),cos(t/r)) T
x ′′ (t) = (1/r)(− cos(t/r), − sin(t/r)) T .
v2 = (− cos(t/r), − sin(t/r)) κ = 1
r .
Für den Kreis ist die Krümmung also gleich 1/r. (Wenn r groß ist, dreht sich der Tangentenvektor
langsam.) Für allgemeine Kurven definiert man entsprechend den Krümmungsradius ρ als
Der Punkt
ρ := 1
κ .
m := x + ρ v2
ist der Krümmungsmittelpunkt, und der Kreis um m mit Radius ρ heißt der Schmiegkreis.

Schmiegkreis an einer Parabel
m
5. Die natürlichen Gleichungen: Für eine Kurve x(t) im R 2 hat man folgende Differentialgleichungen
(der Parameter t ist die Bogenlänge: |x ′ | ≡ 1):
x ′ (t) = v1(t) v1 ′ (t) = κ(t)v2(t) v2 ′ (t) = −κ(t)v1(t).
(Nach BEISPIEL B folgt die dritte Gleichung aus der zweiten.) Andere Differentialgleichungen beziehen
sich auf eine Basis, die fest im Raum fixiert ist. Hier ist die Basis beweglich; sie begleitet
die Kurve durch den Raum. Die Gleichungen heißen ” natürlich“ weil sie von einer Basiswahl oder
Koordinatenwahl im Raum unabhängig sind. Bei vorgegebenem κ(t) bestimmen die Gleichungen zusammen
mit Anfangswerten x(0),v1(0),v2(0) die Kurve eindeutig: die Form der Kurve ist durch die
Krümmungsfunktion κ(t) (oder den Krümmungsradius ρ(t)) festgelegt.
ρ(t)
x2(t)
0 1 2 3 4
2 4 6 8
c
b
a
ρ(t)
0 5 10 15 20
t
x(t)
a
2 4 6 8
x1(t)
b
c
ρ(t)
x2(t)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−3 −2 −1 0 1 2 3
d
e
ρ(t)
v2
x
0 5 10 15 20
e
t
x(t)
−3 −2 −1 0 1 2 3
x1(t)
d
v1
ρ(t)
x2(t)
0 1 2 3 4 5
−2 −1 0 1 2
f
ρ(t)
0 2 4 6 8
t
x(t)
−2 −1 0 1 2
x1(t)
f