Aufgabenblatt 8, Mathematik 1, SS 2008

Aufgabenblatt 8 Mathematik 1 SS 2008
1) Wird ein Kondensator mit der Kapazität C über einen Ohmschen Widerstand entladen, so
nimmt seine Ladung q exponentiell mit der Zeit nach der Gleichung q(t) = q0 e -t/RC ab.
Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt t, von dem an die Kondensatorladung unter 10% ihres
Anfangswerts q(0) = q0 gesunken ist (Zeitkonstante RC = 0,3 ms).
2) Der Kolben eines KFZ-Stoßdämpfers legt beim Einschieben einen Weg x nach dem
−
t
0, 5s
Zeitgesetz x(
t)
= 30cm(
1−
e ) , t ≥ 0, zurück. Nach welcher Zeit ist der Kolben um 15,2 cm
eingeschoben?
3) Eine Bakterienkultur wird über einige Stunden beobachtet. Stündlich wird die Anzahl der
Bakterien gemessen und in eine Tabelle eingetragen:
Messzeitpunkte (Stunden) 0 1 2 3 4 5
Anzahl der Bakterien 7 21 63 189 567 1701
a) Beschreiben Sie die Entwicklung der Bakterien durch eine Gleichung.
b) Nach wie viel Stunden ist die Anzahl der Bakterien auf über 10000 angewachsen?
4) Sie haben eine Bank gefunden, die Ihnen auf Ihr Girokonto 0,5% Zinsen gewährt. Wie
lange dauert es, bis Sie zu diesen Konditionen einen deponierten Geldbetrag verdreifacht
haben?
5) Eine radioaktive Substanz zerfällt nach dem Zerfallgesetz n(t) = n0 e -lt (t ¥ 0). Für das
Element Radon ist die Zerfallkonstante l = 2,0974 10 -6 s -1 . Berechnen Sie die Halbwertzeit t.
6) Eine Flüssigkeit mit der Anfangstemperatur T0 wird durch ein Kühlmittel mit der
(konstanten) Temperatur T1 gekühlt. Die Temperaturabnahme verläuft dabei exponentiell
nach der Gleichung:
−kt
T ( t)
= ( T0
− T1
) e + T1
(t ≥ 0),
wobei T(t) die Temperatur der Flüssigkeit zur Zeit t ist. In einem Versuch mit Öl werden bei
einer Kühltemperatur von T1 = 20° C folgende Werte gemessen: Nach 50 Minuten beträgt die
Öltemperatur 85° C, nach 150 Minuten dagegen nur noch 30° C. Bestimmen Sie T0 und k und
berechnen Sie anschließend, nach welcher Zeit t1 das Öl eine Temperatur von 60° C erreicht
hätte.
7) Das Erdbeben in der Türkei 1999 hatte die Stärke 7,6 auf der nach oben offenen Richter-
Skala. Das aktuelle Erdbeben in China war etwa zweieinhalb Mal so stark. Welchem Wert auf
der Richter-Skala entspricht das?

1) t = 0,691 ms = 6,91 10 -4 s
2) x(t) = 15,2 cm, t = 0,353
Lösungen zu Blatt 8:
3) a) B(n) = 7⋅3 n b) 7
4) 138,96 Jahre
5) t = 3,305 10 5 s = 3,825 Tage
6) k = 0,0187, T0 = 185,7°, t1 = 76 min
7) 8,0