Formelsammlung V2.1

Technische Mechanik 

Formelsammlung 

Vektor- und Tensorrechnung / Indizierte Tensornotation 

Orthonormalbasis ex, ey, ez bzw. e1, e2, e3 / ei 

ex ⊥ ey, ex ⊥ ez, ey ⊥ ez / ei ⊥ ej für i = j (Orthogonalität) 

ex = ey = ez = 1 / ei = 1 für i = 1, 2, 3 (Normiertheit) 

Vektordarstellungen 

−→ 

u , 

−→ 

v , 

−→ 

w, . . . (symbolische Schreibweise) 

−→ 

v = 

 

vx ex + vy ey + vz ez 

v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 = vi ei 

(Komponentenschreibweise) 

⎛ ⎞ 

vx 

⎜ ⎟ 

v = ⎝vy 

⎠ (Spaltenschreibweise) 

vz 

ui, vj, wk 

(Indexschreibweise) 

Linearkombination von n Vektoren 

c1 −→ v1 + c2 −→ v2 + . . . + cn −→ ∈Ê 

vn mit c1, . . .,cn 

Skalarprodukt ei · ej = δij 

−→ v · −→ w := −→ v −→ w cos ∢ −→ v, −→ w 

= vx wx + vy wy + vz wz = vj wj 

Das Skalarprodukt ist kommutativ: −→ v · −→ w = −→ w · −→ v . 

Kreuzprodukt ei ×ej = εijk ek 

−→ v × −→ w = (vy wz − vz wy)ex + (vz wx − vx wz)ey + (vx wy − vy wx)ez 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

vx 

vy 

vz 

⎞ 

⎟ ⎜ 

⎠ × ⎝ 

= vi wj εijk ek 

⎛ 

wx 

wy 

wz 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎠ = ⎝ 

vy wz − vz wy 

vz wx − vx wz 

vx wy − vy wx 

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: −→ v × −→ w = − −→ w × −→ v . 

⎞ 

⎟ 

⎠

2 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 

Mehrfaches Kreuzprodukt 

−→ u × ( −→ v × −→ w) = un vi wj εijk εnkm em 

= uj vi wj ei − ui vi wj ej 

= ( −→ u · −→ w) −→ v − ( −→ u · −→ v ) −→ w 

Spatprodukt (eiej ek) = εijk 

( −→ u −→ v −→ w ) := ( −→ u × −→ v ) · −→ w = 

 

 

 

 

 

 

ux uy uz 

vx vy vz 

wx wy wz 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

ux vx wx 

uy vy wy 

uz vz wz 

= ux vy wz + uy vz wx + uz vx wy − ux vz wy − uy vx wz − uz vy wx 

= ui vj wk εijk 

Das Spatprodukt ist alternierend: 

( −→ u −→ v −→ 

( 

w ) = 

−→ v −→ w −→ u ) = ( −→ w −→ u −→ v ) (zyklisch) 

− ( −→ u −→ w −→ v ) = − ( −→ v −→ u −→ w ) = − ( −→ w −→ v −→ u ) (antizyklisch) 

Kronecker- und Levi-Cività Levi-Cività-Symbol 

δij := 

εijk := 

 

1 für i = j 

0 für i = j 

⎧ 

⎪⎨ 1 für i j k zyklisch = 1 2 3 

−1 für i j k zyklisch = 1 3 2 

⎪⎩ 

0 sonst 

vgl. Einheitsmatrix E (Kronecker) 

 

 

 

 

 

 

(Levi-Cività) 

εijk εnkm = εijk εmnk = δim δjn − δin δjm (Entwicklungssatz) 

Euklid Euklidische Vektornorm (Vektorbetrag) 

 

−→ v = 

 

v 2 x + v 2 y + v 2 z = 

Normaxiome 

 

−→ v 0 

 

−→ v = 0 ⇐⇒ −→ v = 0 

 

 

v 2 j 

(Nichtnegativität) 

 

c −→ v = | c | −→ v (Homogenität) 

 

−→ v + −→ w −→ v + −→ w (Dreiecksungleichung) 

(j ist gebundener Index!)

Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 3 

Tensorbasis (der N-ten Stufe) 

ei1 ⊗ ei2 ⊗ . . . ⊗ eiN oder kürzer ei1 ei2 . . . eiN 

Darstellung von Tensoren der Stufe N 1 

−→ a , −→ B (2) , −→ C (3) , −→ T (N) , . . . (symbolische Schreibweise) 

−→ 

a = ai ei 

−→ (2) B = Bij ei ej 

−→ (3) C = Cijk ei ej ek 

−→ (N) T = Ti1i2...iN ei1 ei2 

⎫ 

⎪⎬ 

(Komponentenschreibweise) 

⎪⎭ 

. . . eiN 

⎛ ⎞ ⎛ 

⎞ 

a1 

B11 . . . B1n 

⎜ . ⎟ ⎜ 

a = ⎝ . 

. 

. ⎠ , B = ⎝ . . 

. 

.. 

. ⎟ 

. ⎠ (Spalten-/Matrixschreibweise) 

an 

ai , Bij , Cijk , . . . , Ti1i2...iN 

Tensorielles Produkt 

−→ V (N) ⊗ −→ W (M) = −→ U (N+M) 

−→ v ⊗ −→ w = −→ U (2) 

Bn1 . . . B(nn) 

Verjüngendes Produkt (Beispiele) 

−→ v 

 

1. Stufe 

−→ B (2) 

 

2. Stufe 

· −→ w 

 

1. Stufe 

· −→ a 

 

1. Stufe 

(Indexschreibweise) 

(allgemein) 

(Dyadisches Produkt) 

= (vi ei) · (wj ej) (ι = 1) 

= vi wj ei·ej 

= vi wj ei δij 

= vi wi 

 

0. Stufe 

= (Bij eiej) · (ak ek) (ι = 1) 

= Bij ak ei ej ·ek 

= Bij ak ei δjk 

= Bij aj ei 

 

1. Stufe 

Schema (••) ·· (••) 

−→ (4) 

 

T ·· 

4. Stufe 

−→ B (2) 

 

= (Tijkℓ eiej ekeℓ) ·· (Bmn emen) (ι = 2) 

2. Stufe = Tijkℓ Bmn eiej ekeℓ ··emen 

= Tijkℓ Bmn δℓm eiej ek ·en 

= Tijkℓ Bℓn eiej δkn 

= Tijkℓ Bℓk eiej . 

 

2. Stufe


Schema (••) : (••) 

−→ T (4) 

 

4. Stufe 

−→ U (N) 

: −→ B (2) 

 

2. Stufe 

= (Tijkℓ eiej ekeℓ) : (Bmn emen) (ι = 2) 

= Tijkℓ Bmn eiej ek eℓ : emen 

= Tijkℓ Bmn δkm eiej eℓ ·en 

= Tijkℓ Bkn eiej δℓn 

. 

= Tijkℓ Bkℓ eiej 

 

2. Stufe 

(ι) 

· −→ V (M) = −→ W (N+M−2ι) 

Überschiebung (Beispiele) 

vi wi = c 

Bij vj = ui 

Tijkℓ Bℓk = Wij bzw. Tijkℓ Bkℓ = Wij 

Transformationen 

v ∗ = A v / v ∗ i = aij vj 

v = A ∗ v ∗ / vj = a ∗ jk v∗ k 

 

mit ι ∈ { ι ∈Æ|ι (N + M)/2 } 

(Koordinatentransformation) 

A ∗ = A −1 bzw. A A ∗ = A ∗ A = E / aij a ∗ jk = δik (allgemein) 

A ∗ = A T , det A ∗ = det A = ± 1 / a ∗ ji = aij (orthogonal) 

e ∗ i = aij ej 

ej = a ∗ jk e∗ k 

 

Statik der Starrkörper 

(Basistransformation) 

Zusammenfassung von Kräften/Momenten zu Resultierenden“ 

” 

−→ −→ 

R [A] = Fi [A] (Resultierende Kraft im Punkt A) 

i 

−→ 

MR [A] = −→ 

Mi [A] (Resultierendes Moment bezügl. Punkt A) 

i 

−→ 

Mi [A] = −→ ri − −→ −→ 

rA × Fi 

(Moment der Kraft −→ Fi bezügl. Punkt A) 

Der Ortsvektor −→ ri beschreibt den Angriffspunkt der Kraft −→ Fi. Der Bezugspunkt 

A ist frei wählbar! Er ist nur bedeutsam für die Momentenwirkung von Kräften.


Kräftegleichgewicht(KG) 

−→ R = −→ 0 (vektoriell) 

 

Fx,i = 0 , 

Fy,i = 0 , 

Fz,i = 0 (komponentenweise) 

i 

i 

i 

Momentengleichgewicht(MG) um beliebigen Bezugspunkt 

−→ 

MR = −→ 0 (vektoriell) 

 

Mx,i = 0 , 

My,i = 0 , 

Mz,i = 0 (komponentenweise) 

i 

Statische Bestimmtheit 

i 

Notwendige Bedingung für ebene/räumliche Körpersysteme 

⎧ 

⎪⎨ > 0 k-fach statisch unbestimmt 2 : t + r − 3 p 

= k = 0 statisch bestimmt 3 : t + r − 6 p ⎪⎩ 

< 0 |k|-fach kinematisch verschieblich 

mit 

t = Anzahl der Lagerreaktionen 

r = Anzahl der Zwischenreaktionen (an den Verbindungsstellen) 

p = Anzahl der Teilkörper 

Notwendige Bedingung für ebene/räumliche Fachwerke 

⎧ 

⎪⎨ > 0 k-fach statisch unbestimmt 2 : t + s − 2 g 

= k = 0 statisch bestimmt 

3 : t + s − 3 g ⎪⎩ 

< 0 |k|-fach kinematisch verschieblich 

mit 

t = Anzahl der Lagerreaktionen 

s = Anzahl der Stäbe 

g = Anzahl der Gelenke 

i 

Notwendig und hinreichend für statische Bestimmtheit ist, daß das (inhomogene) 

lineare Gleichungssystem 

A x = b 

eine eindeutige Lösung x besitzt. Das ist – ingenieurmäßig gesehen – der Fall, wenn 

die Koeffizientenmatrix A quadratisch und regulär (detA = 0) ist. (Allgemein ist 

Rg (A|b) = Rg (A) zu fordern!)


Schwerpunkte 

−→ rS = 1 

m 

−→ rS = 1 

m 

−→ rS = 1 

A 

 

n 

i=1 

 

A 

K 

mi −→ ri 

−→ ρ0 

r dm = 1 

V 

 

V 

(Schwerpunkt aus n Massenpunkten mi) 

−→ r dV (Körperschwerpunkt) 

−→ r dA (Flächenschwerpunkt) 

Die Relation ρ0 

= bedeutet Gleichheit unter Voraussetzung homogenen Materials mit 

ρ (x, y, z) ≡ ρ0 = const. 

Haftung (auch: Haft ” reibung“) 

R0 µ0 N (Haftungsbedingung) 

R0,max = µ0 N (Grenzfall) 

tan α µ0 

S2 S1 e µ0α 

Haftkräfte sind Reaktionskräfte! 

Reibung (auch: Gleitreibung) 

−→ R = − µ N 

( ” Reib“-Kegel) 

für S2 > S1 (Seilhaftung am Zylinder) 

−→ v 

−→ v = µ N (−ev) (vektoriell) 

R = µ N mit µ < µ0 (betragsweise) 

S2 = S1 e µ0α 

Reibkräfte sind eingeprägte Kräfte! 

für S2 > S1 (Seilreibung am Zylinder) 

Der Umschlingungswinkel α ist grundsätzlich im Bogenmaß einzusetzen und kann 

auch > 2π (Mehrfachumschlingung) sein! 

Vorzeichenregel für Schnittgrößen 

Am positiven (negativen) Schnittufer sind die Schnittgrößen in positiver (negativer) 

Richtung anzutragen!


Elastostatik 

Spannungszustand 

−→ σ (2) = σij eiej 

σ = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

σx τxy τxz 

τyx σy τyz 

τzx τzy σz 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

Gleichgewichtsbedingungen 

σ11 σ12 σ13 

σ21 σ22 σ23 

σ31 σ32 σ33 

⎞ 

(Spannungstensor) 

⎟ 

⎠ (Spannungsmatrix) 

∇· −→ σ (2) + −→ f = −→ 0 (KG) 

∂σx 

∂x 

∂τxy 

∂x 

∂τxz 

∂x 

+ ∂τyx 

∂y 

+ ∂σy 

∂y 

+ ∂τyz 

∂y 

+ ∂τzx 

∂z + fx = 0 

+ ∂τzy 

∂z + fy = 0 

+ ∂σz 

∂z + fz = 0 

∂σji 

∂xj 

+ fi = 0 oder σji,j + fi = 0 

σ = σ T / σij = σji (MG) 

Cauchy Cauchysche Spannungsgleichung 

−→ σ (2) · −→ n = −→ t / σij nj = ti 

σ n = t oder ausgeschrieben 

Hauptspannungen 

ej 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

σx τxy τxz 

τyx σy τyz 

τzx τzy σz 

⎞⎛ 

⎟⎜ 

⎠⎝ 

nx 

ny 

nz 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎠ = ⎝ 

HA 

−→ ek + so, daß −→ σ (2) = σ1 e1 + e1 + + σ2 e2 + e2 + + σ3 e3 + e3 + (Hauptachsentransformation) 

σ + = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

σI 0 

0 

σII 0 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

0 0 σIII ⎛ 

⎜ 

⎝ 

tx 

ty 

tz 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

σ1 

0 

0 

σ2 

⎞ 

0 

⎟ 

0 ⎠ (Hauptspannungsmatrix) 

0 0 σ3


σ − σ E n = 0 / (σij − σ δij) nj = 0 (Ansatz) 

det σ − σ E = 0 / det(σij − σ δij ) = 0 

σ 3 − I1 σ 2 + I2 σ − I3 = 0 

I1 := σx + σy + σz = sp σ = σii 

I2 := σxσy + σyσz + σxσz − τ 2 xy − τ2 yz − τ2 xz 

= 1 

2 (σii σjj − σij σij) 

I3 := det σ = det(σij) 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

 

(Charakteristische Gl.) 

(Invarianten) 

σ I, σ II, σ III / σ1, σ2, σ3 (Eigenwerte = Hauptspannungen) 

σ − σ E n = 0 / (σij − σ (k) δij)n (k)j = 0 = I, II, III 

n = 

 

n2 + n2 + n2 

x y z 

= 1 

 

−→ nk = 

 

n 2 (k)j 

= 1 

n I ,n II ,n III / −→ nk = nkj ej = ek + (Eigenvektoren = Basisvektoren 

der Hauptachsen) 

Mohrscher Spannungskreis für den ebenen Spannungszustand 

2 

 

σx − σy 

+ τ 

2 

2 xy 

 

R2 = 

2 

 

σ − σx + σy 

2 

 

X2 + τ 2 

 

Y 2 

(Kreisgleichung)


σ(ϕ) = σx cos2 ϕ + 2 τxy cosϕ sin ϕ + σy sin 2 

ϕ 

 

2 2 

τ(ϕ) = (σy − σx) cosϕ sin ϕ + τxy cos ϕ − sin ϕ 

Verzerrungszustand 

−→ u = uex + vey + wez = uiei 

ε := (L0 + ∆L) − L0 

L0 

εx = ∂u 

∂x 

εy = ∂v 

∂y 

εz = ∂w 

∂z 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

γxy = γyx = ∂u 

∂y 

γyz = γzy = ∂v 

∂z 

γxz = γzx = ∂u 

∂z 

−→ ǫ (2) = εij eiej 

ǫ = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

εij = 1 

 

∂ui 

2 ∂xj 

+ ∂v 

∂x 

+ ∂w 

∂y 

+ ∂w 

∂x 

εx 

1 

2γxy 1 

2γxz 1 

2γyx εy 

1 

2γyz 1 

2γzx 1 

2γzy εz 

+ ∂uj 

 

∂xi 

= ∆L 

L0 

⎞ 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

⎟ 

⎠ = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

ε11 ε12 ε13 

ε21 ε22 ε23 

ε31 ε32 ε33 

(Parameterdarstellung) 

(Verschiebungsvektor) 

(eindimensionale Dehnung) 

(Dehnungen) 

(Scherungen oder Gleitungen) 

⎞ 

und speziell εij = 1 

2 γij für i = j 

(Verzerrungstensor) 

⎟ 

⎠ (Verzerrungsmatrix) 

ǫ = ǫ T / εij = εji (Symmetrie) 

Elastizität 

σ = E ε (Hookesches Gesetz)


−→ σ (2) = −→ E (4) 

: −→ ǫ (2) 

σij = λεkk δij + 2 µ εij 

λ = 

εx,y,z = 

ν E 

(1 + ν)(1 − 2ν) 

γyx = 1 

G τxy 

γyz = 1 

G τyz 

γxz = 1 

G τxz 

/ σij = Eijkℓ εkℓ 

, µ = G = 

1 + ν 

E σx,y,z − ν 

E I1 

Festigkeitshypothesen 

σV = max 

2 σ 2 V = σ I − σ II 

σV = 

= 

= 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

(allg. Elastizitätsgesetz) 

(verallgemeinertes Hookesches Gesetz) 

E 

2 (1 + ν) 

εij = 

σ 

I − σ , II 

 

σII − σ , III 

σI − σIII 2 + σII − σ III 

 

 

2 + σI − σ III 

(Lamésche Konstanten) 

1 + ν 

E σij − ν 

E σkk δij 

2 

(Tresca) 

(Huber – v. Mises) 

 

σ 2 x + σ2 y + σ2 z − σx σy − σy σz − σx σz + 3(τ 2 xy + τ2 yz + τ2 xz ) 

 

I 2 1 

− 3 I2 

3 

2 σij σij − 1 

2 σii σjj 

σV = max σ I, σ II , σ III 

 

Zusammenhang zwischen Spannungen und Schnittgrößen 

N(x) = 

Qy(x) = 

Qz (x) = 

 

σx dA = 

A 

 

 

τxy dA = 

A 

τxz dA = 

A 

 

A 

 

 

(Normalspannungshypothese) 

σx(x, y, z) dy dz (Normalkraft) 

A 

A 

τxy(x, y, z) dy dz (Querkraft in y-Richtung) 

τxz(x, y, z) dy dz (Querkraft in z-Richtung)


MBy(x) = 

MBz (x) = 

MT(x) = 

 

 

 

σx z dA = 

A 

σx y dA = 

A 

 

 

A 

A 

(τxz y − τxy z) dA = 

A 

σx(x, y, z)z dy dz 

σx(x, y, z)y dy dz 

Axialdehnung gerader, prismatischer Stäbe 

∆ℓ = 

F ℓ 

EA 

Kesselformeln 

 

A 

(Biegemoment um 

die y-Achse) 

(Biegemoment um 

die z-Achse) 

τxz(x, y, z) y − τxy(x, y, z) z dy dz 

(Torsionsmoment um die x-Achse) 

(Verlängerung/Verkürzung) 

σϕ = d 

∆p (Tangentialspannung) 

2s 

σz = d 

∆p (Axialspannung) 

4s 

Flächenträgheitsmomente 

Iy = 

Iz = 

 

 

A 

A 

z 2 dA (Axiales Flächenträgheitsmoment um die y-Achse) 

y 2 dA (Axiales Flächenträgheitsmoment um die z-Achse) 

 

Iyz = − y z dA (Deviationsmoment) 

A 

I0 = 

 

A 

r 2 dA = Iz + Iy 

(Ebene) Bernoulli Bernoullische Balkenbiegung 

EIy w ′′ = − M(x) mit w ′′ := d2 w 

dx 2 

(Polares Flächenträgheitsmoment) 

(DGl der Biegelinie)


w ′′ (x) = − M(x) 

EIy 

w ′ (x) = − 1 

 

M(x)dx + c⋆ 

EIy 

w(x) = − 1 

EIy 

 

M(x)dx 

 

dx + c⋆ x + c⋆⋆ 

(Tangentenverlauf) 

(Biegelinie) 

w(x = xν) = 0 (RB 1. Art für die Lagerstelle x = xν) 

w ′ (x = xν) = 0 (RB 2. Art für die Lagerstelle x = xν) 

w links(x = xµ) = w rechts(x = xµ) 

w ′ links(x = xµ) = w ′ rechts(x = xµ) 

(ÜB’en an der Bereichsgrenze x = xµ) 

σx(x, z) = M(x) 

z (Normalspannungsverlauf) 

Iy 

z(x, y) ≡ 0 (neutrale Faser mit σx(x, y, z) ≡ 0) 

|σx|max = |M(x)|max 

Iy 

|z|max = |M(x)|max 

Wy 

(max. Normalspannung) 

(Räumliche) Bernoulli Bernoullische Balkenbiegung, Schiefe“ Biegung 

” 

E [ Iy w ′′ − Iyz v ′′ ] = − MBy(x) 

E [ −Iyz w ′′ + Iz v ′′ ] = MBz(x) 

mit w ′′ := d2 w 

dx 2 , v′′ := d2 v 

dx 2 

E w ′′ = 1 

 

∆ −MBy(x) Iz + MBz(x)Iyz 

E v ′′ = 1 

∆ 

 

−MBy(x)Iyz + MBz(x)Iy 

mit ∆ := Iy Iz − I 2 yz = I I I II 

(DGl’en der räumlichen Biegelinie) 

(entkoppeltes DGl-System) 

σx(x, y, z) = 1 

MBy(x)Iz 

− MBz(x)Iyz z + MBy(x)Iyz − MBz(x)Iy y 

∆ 

(Normalspannungsverlauf) 

z(x, y) = MBz(x)Iy − MBy(x)Iyz 

MBy(x)Iz − MBz(x)Iyz 

y (neutrale Faser mit σx(x, y, z) ≡ 0)


|σx|max liegt in dem Punkt (des Querschnitts mit |MBy(x)|max) vor, welcher am 

weitesten von neutralen Faser entfernt ist! 

Bereichseinteilung und RB/ÜB’en sind analog zum ebenen Fall zu formulieren! 

Euler Eulersche Knickfälle 

Euler Euler-Fall 1 2 3 4 

Stablänge ℓ 

(im ungeknickten Zustand) 

F krit = 

π 2 EI 

4ℓ 2 

π 2 EI 

ℓ 2 

Torsion einer Welle mit Kreis(ring)querschnitt 

GI0 ϑ ′ = MT(x) mit ϑ ′ := dϑ 

dx 

ϑ ′ (x) = MT(x) 

GI0 

ϑ(x) = 1 

GI0 

 

MT(x)dx + c⋆ 

20,19 EI 

ℓ 2 

4π 2 EI 

ℓ 2 

(DGl des Torsionsverlaufs) 

(Torsionsverlauf) 

ϑ(x = xν) = 0 (RB für die Lagerstelle x = xν) 

ϑ links(x = xµ) = ϑ rechts(x = xµ) (ÜB an der Bereichsgrenze x = xµ) 

τ(x, r) = MT(x) 

r (Schubspannungsverlauf) 

I0


τmax = |MT(x)|max 

I0 

Dynamik 

Bahnkurve 

d 

2 

= |MT(x)|max 

WT 

−→ r = −→ r (t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez = xi(t)ei 

(max. Schubspannung) 

(kartesisch) 

s = s(t) (Bahnkoordinate) 

|ds| = d −→ 

r = 

Geschwindigkeit 

−→ d 

v (t) = −→ r 

d t = 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

−→ dr 

v (t) = v(t) et s(t) , v(t) = 

dt 

Beschleunigung 

−→ a (t) = 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

d −→ v 

dt 

˙x 2 j (t) dt (Bogenelement) 

dx 

dt ex + dy 

dt ey + dz 

dt ez = dxi 

dt ei 

˙x ex + ˙y ey + ˙z ez = ˙xi ei 

vx ex + vy ey + vz ez = vi ei 

|v | = −→ v = 

dvx 

= 

dt ex + dvy 

dt ey + dvz 

dt ez = dvi 

dt ei 

= ˙vx ex + ˙vy ey + ˙vz ez = ˙vi ei 

 

ax ex + ay ey + az ez = ai ei 

d2−→ r 

dt2 = d2x dt2 ex + d2y dt2 ey + d2z dt2 ez = d2xi ei 

dt2 = ¨x ex + ¨y ey + ¨z ez = ¨xi ei 

−→ d 

 

a (t) = v(t) et s(t) 

dt 

 

at = dv 

dt 

an = v2 

R 

= dv 

dt et + v2 

R en 

˙x 2 j (t) 

(kartesisch) 

(Bahnkurve) 

(kartesisch) 

(Bahnkurve) 

(Tangential- oder Bahnbeschleunigung) 

(Normal- oder Zentripetalbeschleunigung)


Begleitendes Dreibein 

et = d−→ r 

ds 

en = R det 

ds = R d2−→ r 

ds 2 = d2−→ s /ds 2 

d 2−→ s /ds 2 

eb = et × en 

(Tangenteneinheitsvektor) 

(Hauptnormalenvektor) 

(Binormalenvektor) 

Es zeigt et in Richtung wachsender s -Werte, während en auf den Krümmungsmittelpunkt 

gerichtet ist. Die Orientierung von eb ergibt sich aus Forderung nach 

einem Rechtssystem. 

Winkelgeschwindigkeit 

−→ ω(t) = 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

dϕx 

dt ex + dϕy 

dt ey + dϕz 

dt ez = dϕi 

dt ei 

˙ϕx ex + ˙ϕy ey + ˙ϕz ez = ˙ϕi ei 

ωx ex + ωy ey + ωz ez = ωi ei 

−→ ω(t) = ω(t) eD , ω(t) = dϕ 

dt 

Geschwindigkeit bei Rotation um festen Punkt 

(kartesisch) 

(Rotation um feste Drehachse(=D)) 

−→ v = −→ ω × −→ r (vektoriell) 

v = ω r (Bahngeschwindigkeit bei Rotation um feste Drehachse) 

˙ex = −→ ω × ex 

˙ey = −→ ω × ey 

˙ez = −→ ω × ez 

Relativkinematik 

−→ r = 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

−→ r0 + 

˙ei = −→ ω × ei 

−→ r ∗ 

xi(t) ei = x 0 

j (t) ej + x ∗ k (t) e∗ k (t) 

−→ v = ˙−→ r0 + −→ ω × −→ r ∗ + −→ v ∗ 

˙xi ei = ˙x 0 

j ej + −→ ω × x ∗ k e∗ k + ˙x∗ k e∗ k 

(rotierende Vektorbasis) 

(Ort) 

(Geschwindigkeit)


−→ a = ¨−→ r0 + ˙−→ ω × −→ r ∗ + −→ ω × −→ ω × −→ r ∗ + 2 −→ ω × −→ v ∗ + −→ a ∗ 

¨xi ei = ¨x 0 

j ej + ˙−→ ω × x∗ k e∗ k + −→ ω × −→ ∗ ω × xk e ∗ 

k + 2 

−→ ∗ ω × ˙x k e ∗ k + ¨x∗ k e∗ k 

mit 

Absolut- 

Relativ- 

⎧ 

⎪⎨ Ort 

−→ 

r (t) = xi(t) ei 

Geschwindigkeit 

⎪⎩ 

−→ v (t) = vi(t) ei = ˙xi ei 


−→ 

a (t) = ai(t) ei = ¨xi ei 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

Ort 

−→ r ∗ (t) = x ∗ k (t) e ∗ k (t) 

Geschwindigkeit −→ v∗ (t) = v∗ k (t) e∗ k (t) = ˙x∗ k e∗ k (t) 


−→ ∗ ∗ a (t) = ak (t) e ∗ k (t) = ¨x∗ k e∗ k (t) 

Führungsgeschwindigkeit ˙−→ r0 + −→ ω × −→ r ∗ = ˙x 0 

j ej + −→ ω × x ∗ k e∗ k 

(Beschleunigung) 

Führungsbeschleunigung ¨−→ 

r0 + ˙−→ ω × −→ r ∗ + −→ ω × −→ ω × 

−→ ∗ 

r = 

= ¨x 0 j ej + ˙−→ ω × x ∗ k e∗ k + −→ ω × −→ ∗ 

ω × xk e ∗ k 

Coriolis-Beschleunigung 2 −→ ω × −→ v ∗ = 2 −→ ω × ˙x ∗ k e∗ k 

Körperfeste Ableitung 

d ∗ 

dt 

d ∗ 

dt 

−→ r ∗ (t) = d ∗ 

dt 

 

−→ v ∗ (t) = d ∗ 

dt 

 

x ∗ k(t) e ∗ 

k(t) 

˙x ∗ k(t) e ∗ 

k(t) 

= d ∗ 

x 

dt 

k(t) e ∗ k = ˙x ∗ k e∗ k = −→ v ∗ (t) 

= d ∗ 

˙x 

dt 

k(t) e ∗ k = ¨x ∗ k e∗ k = −→ a ∗ (t) 

Bei dieser Operation wird also die Zeitabhängigkeit der Relativbasis e ∗ k (t) definitionsgemäß 

ignoriert, so wie es der Sichtweise des mitbewegten Beobachters 

entspricht! 

Newton Newtonsches Grundgesetz (im Inertialsystem) 

 

i 

 

i 

−→ Fi = d−→ I 

dt 

d 

= m 

−→ 

v 

dt 

(allgemein) 

−→ Fi = m d−→ v 

dt = m −→ a (Standardfall für m(t) ≡ const) 

 

Fx,i = m ¨x, 

Fy,i = m ¨y , 

Fz,i = m ¨z (komponentenweise) 

i 

i 

i


 

i 

Ft,i = m at = m dv 

dt , 

 

i 

Fn,i = m an = m v2 

R 

Newton Newtonsches Grundgesetz im Relativsystem 

 

i 

−→ Fi + −→ F tr + −→ F rot + −→ F Z + −→ F C 

 

Scheinkräfte 

= m −→ a ∗ 

−→ F tr = − m ¨−→ r0 (translat. Trägheitskraft) 

−→ F rot = − m ˙−→ ω × −→ r ∗ (rot. Trägheitskraft) 

−→ F Z = − m −→ ω × −→ω × −→ r ∗ 

−→ F C = − 2 m −→ ω × −→ v ∗ 

(Zentrifugalkraft) 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

(Bahnkurve) 

(Führungskraft) 

(Coriolis-Kraft) 

Gedämpftes Feder-Masse-System mit harmonischer Kraftanregung 

¨x + 2 D ˙x + ω 2 0 

x = F0 

m 

sin [Ω t] (lineare Bewegungs-DGl) 

¨xh + 2 D ˙xh + ω 2 0 xh = 0 (zugehörige homogene DGl) 

xh(t) = e λt 

(Ansatz) 

λ 2 + 2 D λ + ω 2 0 = 0 (Charakteristische Gleichung) 

λ1,2 = − D ± 

 

D 2 − ω 2 0 

x1(t) = e λ1t , x2(t) = e λ2t 

(Eigenwerte der homogenen DGl) 

(Basislösungen der homogen. DGl) 

xh(t) = c1 x1(t) + c2 x2(t) ( Homogene“ Lösung) 

” 

a) Zwei reelle Eigenwerte λ1 = λ2 

D2 > ω2 0 

 

λ1,2 = − D ± D2 − ω2 0 ∈Ê 

xh(t) = c1 e λ1t + c2 e λ2t


b) Ein (doppelter) reeller Eigenwert λ1 = λ2 

D2 = ω2 ∈Ê 

0 

λ1,2 = − D 

xh(t) = c1 e λ1t + c2 t e λ2t = (c1 + c2 t ) e −Dt 

c) Konjugiert komplexe Eigenwerte D 2 < ω 2 0 

λ1,2 = − D ± jω1 ∈ 

mit 

ω1 := 

 

ω 2 0 

− D2 

xh(t) = c ∗ 1 exp (−D + jω1)t + c ∗ 2 exp (−D − jω1)t 

= e−D t c∗ 1 e j ω1t + c∗ 

ω1t 

2 e−j 

−D t ∗ = e c1 + c∗ 

2 cos[ω1 t] + j c∗ 1 − c∗ 

2 sin [ω1 t] 

 

 

−D t = e c1 cos[ω1 t] + c2 sin [ω1 t] 

xp(t) = A sin[Ω t] + B cos[Ω t] 

 

 

−D t 

x(t) = e c1 cos[ω1 t] + c2 sin[ω1 t] 

 

= xh(t) 

D2 < ω2 0 

H := 

ϕ = arccos 

F0 

m (2DΩ) 2 + (ω 2 0 − Ω2 ) 2 

 

ω 2 0 − Ω 2 

(2DΩ) 2 + (ω 2 0 − Ω 2 ) 2 

Sonderfall: Keine Anregung (F0 = 0) 

H = 0 , xp(t) ≡ 0 

 

 

Faustregelansatz für F0 

m 

+ H sin [Ω t − ϕ] 

 

= xp(t) 

 

sin [Ω t] 

x(t) ≡ xh(t) = e −D t c1 cos[ω1t] + c2 sin[ω1 t] (abklingende 

Schwingung) 

Sonderfall: Keine Dämpfung (D = 0) 

ω1 = ω0 , xh(t) = c1 cos[ω0 t] + c2 sin [ω0 t]


H = 

F0 

m ω 2 0 − Ω2 

, ϕ = 

 

0 für Ω < ω0 

π für Ω > ω0 

Achtung! H → ∞ für Ω → ω0 (Resonanzfall) 

x(t) = c1 cos[ω0 t] + c2 sin [ω0 t] + H sin[Ω t − ϕ] 

Sonderfall: Keine Anregung und keine Dämpfung 

x(t) ≡ xh(t) = c1 cos[ω0 t] + c2 sin [ω0 t] 

= A cos[ω0 t − ε ] 

Hauptsätze der Körperdynamik 

 

ν 

−→ I := 

 

ν 

 

ν 

−→ L0 := 

 

ν 

−→ LS := 

−→ Fν = d−→ I 

dt 

 

K 

−→ v dm = m −→ vS 

−→ Fν = m d−→ vS 

dt 

−→ 

Mν [ 0] = 

 

K 

ν 

−→ r0m × −→ v0m dm 

−→ 

Mν [ S ] = 

 

K 

ν 

−→ rSm × −→ vSm dm 

−→ L0 = −→ LS + m −→ r0S × −→ v0S 

−→ r0ν × −→ Fν = d−→ L0 

dt 

−→ rSν × −→ Fν = d−→ LS 

dt 

(ungedämpfte 

Dauerschwingung) 

(Impulssatz) 

(Impuls) 

(Schwerpunktsatz) 

(Impulsmomentensatz bezügl. 

raumfestem (Lager-)Punkt 0) 

(Impulsmoment bezügl. 

raumfestem (Lager-)Punkt 0) 

(Impulsmomentensatz bezügl. 

(bewegtem) Schwerpunkt S) 

(Impulsmoment bezügl. 

(bewegtem) Schwerpunkt S) 

(Zusammenhang zwischen 

den Impulsmomenten)


Einachsige Rotation (x3-Achse sei Drehachse(=D)) 

−→ ω = ω e3 = ˙ϕ e3 

−→ L0 = J13 ω e1 + J23 ω e2 + JD ω e3 

 

i Mν,1[ 0 ] = J13 ¨ϕ − J23 ˙ϕ 2 

 

i Mν,2[ 0 ] = J23 ¨ϕ + J13 ˙ϕ 2 

 

i Mν,3[ 0 ] = 

ν Mν [ D] = JD ¨ϕ 

JD = J33 := 

 

K 

2 

x1 + x 2 2 dm = 

 

K 

r 2 dm (Massenträgheitsmoment) 

Hier ist r der (Orthogonal-)Abstand von dm zur Drehachse! 

 

J13 := − 

 

J23 := − 

x1 x3 dm 

K 

x2 x3 dm 

K 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

(Deviationsmomente) 

Häufiger Sonderfall: Rotor ist dynamisch ausgewuchtet (J13 = J23 = 0) 

−→ 

L0 = JD −→ ω 

 

ν Mν,1[ 0 ] = 0 , 

ν Mν,2[ 0 ] = 0 , 

ν Mν [ D] = JD ¨ϕ 

J0 = JS + m s 2 

Das Massenträgheitsmoment JS ist immer das kleinstmögliche! 

Mehrachsige Rotation (allgemeiner Fall) 

Es gelten gleichermaßen für den raumfesten (Lager-)Punkt 0 mit 

−→ L0, −→ J (2) 

0 

/ L0i, J 0 ij 

sowie für den (bewegten) Schwerpunkt S mit 

−→ LS, −→ J (2) 

S / LSi, J S ij 

(unter Fortlassung der Indizes 0 bzw. S) die folgenden Gleichungen: 

(Satz von Steiner)


−→ ω = ω1 e1 + ω2 e2 + ω3 e3 = ωj ej 

−→ L = Liei 

−→ J (2) = Jij eiej 

Jij := 

 

Hier ist r mit 

(x 

K 

2 k δij − xi xj)dm = 

x 2 k = x2 1 + x2 2 + x2 3 =: r2 = 

 

K 

(r 2 δij − xi xj)dm 

−→ r0m 2 

−→ rSm 2 

der Abstand von dm zum Punkt 0 bzw. S. Im einzelnen sind: 

J11 = 

J22 = 

J33 = 

 

 

 

K 

K 

K 

2 

x2 + x 2 3 dm 

2 

x1 + x 2 3 dm 

2 

x1 + x 2 2 dm 

 

J12 = J21 = − x1 x2 dm 

K 

 

J13 = J31 = − 

 

J23 = J32 = − 

J = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

J11 J12 J13 

J21 J22 J23 

J31 J32 J33 

x1 x3 dm 

K 

x2 x3 dm 

K 

⎞ 

−→ L = −→ J (2) · −→ ω / Li = Jij ωj 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

L = J ω oder ausgeschrieben 

(Impulsmomentenvektor) 

(Trägheitstensor) 

(Massenmomente 

2. Ordnung) 

(Massenträgheitsmomente) 

(Deviationsmomente) 

⎟ 

⎠ (Trägheitsmatrix) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

L1 

L2 

L3 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

J11 J12 J13 

J21 J22 J23 

J31 J32 J33 

⎞⎛ 

⎟⎜ 

⎠· ⎝ 

ω1 

ω2 

ω3 

⎞ 

⎟ 

⎠


−→ 

Mν [ 0/S ] = 

ν 

d⋆ −→ 

L 0/S + 

dt 

−→ ω × −→ L 0/S 

 

Mν,i = Jij ˙ωj + Jkℓ ωℓ ωn εnki 

ν 

Sonderfall: Koordinatensystem x1, x2, x3 nur teilweise körperfest 

−→ ω = ωj ej 

−→ ω ⊕ = ω ⊕ 

k ek 

 

ν 

 

ν 

−→ 

Mν [ 0/S] = d⋆ −→ 

L 0/S + 

dt 

−→ ω ⊕ × −→ L 0/S 

Mν,i = Jij ˙ωj + Jkℓ ωℓ ω ⊕ 

k εnki 

Mehrachsige Rotation um Hauptträgheitsachsen 

(Impulsmomentensatz) 

(Rotation des Körpers (wie bisher)) 

(Rotation des Koordinatensystems (neu!)) 

(Impulsmomentensatz bei 

teilweise körperfestem 

Koordinatensystem) 

Da der Trägheitstensor reell besetzt und symmetrisch ist, hat dieser die gleichen 

mathematischen Eigenschaften wie der Spannungstensor. Es existiert daher stets 

ein (orthogonales) Hauptachsensystem mit 

−→ J (2) = J1 e1 + e1 + + J2 e2 + e2 + + J3 e3 + e3 + 

J + = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

J1 

0 

0 

J2 

⎞ 

0 

⎟ 

0 ⎠. 

0 0 J3 

(Trägheitsmatrix bei Rotation 

um Hauptträgheitsachsen) 

Dynamisches Auswuchten bedeutet, eine durch Lagerung erzwungene Drehachse 

gewissermaßen ” nachträglich“ durch geeignete Massenmanipulation zu einer 

durch den Schwerpunkt verlaufenden Hauptträgheitsachse zu machen. Dieses 

schließt statisches Auswuchten mit ein! 

 

Mν,1 = J1 ˙ω1 − (J2 − J3) ω2 ω3 

ν 

 

Mν,2 = J2 ˙ω2 − (J3 − J1) ω1 ω3 

ν 

 

Mν,3 = J3 ˙ω3 − (J1 − J2) ω1 ω2 

ν 

(Eulersche Gleichungen)


Arbeit und Leistung (Translation) 

dW := −→ F · d −→ r 

W1→2 = 

W1→2 = 

W1→2 = 

= −→ F d −→ r cosα mit α = ∢ −→ F, d −→ r 

= F cosα |ds| 

r2 

r1 

t2 

t1 

s2 

s1 

−→ F · d −→ r (Arbeit) 

−→ F(t) · dr 

dt 

dt = 

−→ dr 

F(s) · ds = 

ds 

t2 

t1 

s2 

s1 

−→ F · −→ v dt 

−→ F · et ds 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

(Kurvenparametrisierung) 

P := dW 

dt = −→ F · dr 

dt = −→ F · −→ v (Leistung) 

W1→2 = 

r2 

r1 

r2 

r1 

 

i 

−→ Fi 

 

alle Kräfte! 

 

i 

−→ Fi 

 

ohne Schwerkraft! 

E kin := m 

2 v2 

t2 

t1 

P(t) dt 

· d −→ r = E kin 

2 − E kin 

1 

· d −→ r = E kin 

2 − E kin 

1 + E pot 

2 − Epot 1 

(Arbeitssatz) 

(Arbeitssatz) 

(kinetische Energie) 

E pot := m g z + E pot 

0 mit E pot 

0 = Epot (z = 0) (potentielle Energie) 

Hier ist z die der Schwerkraft entgegengerichtete Vertikalkoordinate!


Arbeit und Leistung (Einachsige Rotation) 

dW := M dϕ 

W1→2 = 

W1→2 = 

P := dW 

dt 

ϕ2 

ϕ1 

t2 

t1 

W1→2 = 

ϕ2 

ϕ1 

 

i 

M dϕ (Arbeit) 

M(t) dϕ 

dt 

= M dϕ 

dt 

t2 

t1 

dt = 

t2 

t1 

M ω dt (Parametrisierung) 

= M ω (Leistung) 

P(t) dt 

kin rot 

Mi[D] dϕ = E2 E kin rot := JD 

2 ω2 

Stoßvorgänge 

kin rot 

− E1 (Arbeitssatz) 

(kinetische Energie der 

einachsigen Rotation) 

t = 0 (Zeitpunkt unmittelbar vor dem Stoß) 

t = τ (Zeitpunkt unmittelbar nach dem Stoß) 

τ 

τ 

−→ −→ 

lim F(t) dt und lim M(t) dt sind endlich (Stoßannahme) 

τ →0 

0 

τ →0 

0 

−→ S := 

−→ R := 

τ 

0 

τ 

0 

−→ F(t) dt (Stoßantrieb) 

−→ 

M(t) dt (Drehantrieb)


−→ 

Si = −→ I (τ) − −→ I (0) 

i 

= m −→ vS(τ) − −→ vS(0) 

(Impulssatz in Integralform) 

−→ 

Ri [ 0/S] = −→ L 0/S(τ) − −→ L 0/S(0) (Impulsmomentensatz in Integralform) 

i 

 

 

Ri [ 0/S ] = J0/S ω(τ) − ω(0) 

i 

−→ SK , −→ SR 

ε := −→ SR 

−→ SK 

ε 

= SR 

SK 

(dto., ebene Bewegung) 

(Stoßantrieb in der Kompressions-/Restitutionsphase) 

= − v2n(τ) − v1n(τ) 

v2n(0) − v1n(0) 

⎧ 

⎪⎨ 

= 0 (vollkommen unelastisch) 

∈ ] 0, 1[ (teilweise elastisch) 

⎪⎩ 

= 1 (vollkommen elastisch) 

E1(τ) + E2(τ) = E1(0) + E2(0) 

−→ v1(τ) = −→ v2(τ), ω1(τ) = ω2(τ) 

Version: 2.1 (02/2008) 

∈ [0, 1] (Stoßziffer) 

(Erhaltung der kinetischen Energie 

beim vollkommen elastischen Stoß) 

( ” Kleben“ beim vollkommen 

unelastischen Stoß)

Hauptsätze der Körperdynamik 

Bewegung Ursache Trägheit Bewegungsgröße Satz Spezialfälle 

Translation 

einachsige 

Rotation 

um 

Hauptträgheitsachse D 

mehrachsige 

Rotation 

um 0/S 

result. Kraft Impuls Impulssatz Schwerpunktsatz 

−→ −→ 

Fν m I = m 

−→ −→ 

v Fν = d−→ I 

m ≡ const 

dt 

−→ 

Fν = m d−→ v 

dt 

ν 

ν 

result. Moment Impulsmoment Impulsmomentensatz Impulsmomentensatz 

 

Mν[D] JD LD = JD ω 

ν 

 

ν 

Mν[D] = dLD 

d t 

JD ≡ const 

Mν[D] = JD 

result. Moment Impulsmoment Impulsmomentensatz Indexschreibweise für 0/S 

−→ 

Mν[0/S] 

ν 

−→ J (2) 

−→ L0/S = −→ J (2) 

0/S bedeutet ” raumfester Lagerpunkt 0 oder Schwerpunkt S“ 

0/S · −→ ω −→ 

Mν[0/S] = d−→ L0/S d t 

ν 

ν 

ν 

dω 

dt 

 

Mν,i = Jij ˙ωj + Jkℓ ωℓ ωk εnki 

ν

Formelsammlung V2.1

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