Lösungen Blatt 7
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MATHEMATISCHES INSTITUT/INSTITUT FÜR ANGEWANDTE<br />
MATHEMATIK<br />
DER UNIVERSITÄT ERLANGEN-NÜRNBERG<br />
Kurzweil/Kräutle<br />
<strong>Lösungen</strong> <strong>Blatt</strong> 7<br />
zur Vorlesung “Mathematik für Ingenieure I”<br />
Teil C – für Informatiker<br />
Abzugeben ist die Bearbeitung der Z-Aufgaben.<br />
Bitte zur Vorbereitung und zur Übung die A-Aufgaben schon anschauen/durchrechnen,<br />
bevor sie in der Übungsstunde vorgerechnet werden.<br />
Ausgabe dieses <strong>Blatt</strong>es: 05.12.2003 in der Vorlesung<br />
Abgabe der Z-Aufgaben: 12.12.2003 in der Vorlesung<br />
Vorrechnen der A-Aufgaben: 10.12.-12.12.2003 in den Übungsgruppen.<br />
A16) Seien<br />
v 1 = (1, 2, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1, 1), v 3 = (2, 3, −1, 1), v 4 = (−1, −1, 1, 0)<br />
a) Entscheide, ob {v 1, v 2, v 3, v 4} linear unabhängig sind.<br />
b) Bestimme eine möglichst große Teilmenge B ⊆ {v 1, v 2, v 3, v 4} von linear unabhängigen<br />
Vektoren.<br />
c) Liegt b = (1, 0, −1, 0) in der linearen Hülle von v 1, v 2, v 3, v 4?<br />
Lösung:<br />
a) v1, ..., vm heißen linear unabhängig :⇐⇒ ( n<br />
λivi = 0 =⇒ λ1 = ... = λm = 0)<br />
(’Nur die triviale Linearkombination ergibt den Nullvektor’).<br />
v 1, ..., v m heißen linear abhängig :⇐⇒ Es gibt λ1, ..., λm, nicht alle = 0, mit n<br />
(’Es gibt eine nichttriviale Linearkombination, die den Nullvektor erzeugt.’)<br />
Suche also nach den <strong>Lösungen</strong> des LGS 4<br />
λivi = 0. Gauß:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 2 −1<br />
2 1 3 −1<br />
0 1 −1 1<br />
1 1 1 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ →<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
i=0<br />
i=0<br />
1 0 2 −1<br />
0 1 −1 1<br />
0 1 −1 1<br />
0 1 −1 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ →<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 2 −1<br />
0 1 −1 1<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
=⇒ Das homogene LGS hat keine eindeutige Lösung (λ3, λ4 ∈R frei wählbar).<br />
=⇒ {v 1, v 2, v 3, v 4} linear abhängig.<br />
i=0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
λiv i = 0<br />
b) {v 1, v 2} sind linear unabhängig, denn führt man obigen Gauß-Algorithmus nur mit den<br />
Spalten v 1, v 2 durch, so erhält man ein eindeutig lösbares System. Jedes Teilsystem mit<br />
mehr als 2 Vektoren würde zu einer Stufenform führen mit Spalten ohne Pivot-Element<br />
führen.<br />
Allgemein: Ein maximales System linear unabhängiger Vektoren bekommt man, indem<br />
man Gauss durchführt, und alle Spalten wegstreicht, die in der Zeilenstufenform kein<br />
Pivot-Element haben. (Es kann natürlich noch andere maximale lin. unabh. Teilsysteme<br />
geben.)
c) Lineare Hülle von v1, ..., vm = 〈v1, ..., vm〉 := { m<br />
λi vi | λi ∈R} = Menge aller Linear-<br />
kombinationen der v i<br />
Es ist zu prüfen, ob es <strong>Lösungen</strong> des LGS 4<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 2 −1 1<br />
2 1 3 −1 0<br />
0 1 −1 1 −1<br />
1 1 1 0 0<br />
⎞<br />
i=0<br />
⎟<br />
⎠ → ... →<br />
i=1<br />
λiv i = b gibt. Gauß:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 2 −1 1<br />
0 1 −1 3 −2<br />
0 0 0 0 1<br />
0 0 0 0 1<br />
=⇒ LGS hat keine Lösung =⇒ b ∈ 〈v1, v 2, v 3, v 4〉<br />
Bem.: Man hätte die Spalten v 3, v 4 in dieser Berechnung streichen können, denn aus b)<br />
geht hervor, dass v 3, v 4 ∈ 〈v1, v 2〉, d.h. 〈v 1, v 2, v 3, v 4〉 = 〈v 1, v 2〉<br />
A17) Sei α : R4 −→ R4 die zu der Matrix<br />
⎛<br />
1 −1 0<br />
⎞<br />
3<br />
⎜<br />
A = ⎜ 2<br />
⎝ 0<br />
−2<br />
6<br />
0<br />
3<br />
6 ⎟<br />
3 ⎠<br />
0 2 1 1<br />
gehörende lineare Abbildung.<br />
Bestimme eine Basis für Kern(α), Bild(α). Ist α injektiv, surjektiv?<br />
Lösung:<br />
Bem.: Kern und Bild einer linearen Abbildung sind immer Unterräume der betreffenden<br />
Vektorräume.<br />
• Kern(α) ist definiert als die Lösungsmenge des homogenen LGS Ax = 0. Also Gauß:<br />
⎛<br />
1 −1 0<br />
⎞<br />
3<br />
⎜ 2<br />
⎝ 0<br />
−2<br />
6<br />
0<br />
3<br />
6 ⎟<br />
3 ⎠<br />
0 2 1 1<br />
→<br />
⎛<br />
1 −1 0<br />
⎞<br />
3<br />
⎜ 0<br />
⎝ 0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0 ⎟<br />
1 ⎠<br />
0 0 0 0<br />
→<br />
⎛<br />
1 0 1/2<br />
⎞<br />
7/2<br />
⎜ 0<br />
⎝ 0<br />
1<br />
0<br />
1/2<br />
0<br />
1/2 ⎟<br />
0 ⎠<br />
0 0 0 0<br />
=⇒ x3 = λ, x4 = µ ∈ R frei wählbar, x2 = − 1 1<br />
2λ − 2 µ, x1 = − 1 7<br />
2λ − 2 µ<br />
⎧⎛<br />
⎪⎨<br />
−<br />
⎜<br />
=⇒ L = ⎜<br />
⎝<br />
⎪⎩<br />
1 7<br />
2λ − 2 µ<br />
− 1 1<br />
2λ − 2 µ<br />
⎞ ⎫ ⎛ ⎞<br />
⎪⎬<br />
−1/2<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
λ ⎠ | λ, µ∈R = R ⎜ −1/2 ⎟<br />
⎝<br />
⎪⎭<br />
1 ⎠<br />
µ<br />
0<br />
+<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
−7/2<br />
⎜ −1/2 ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ = 〈 ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1/2<br />
1/2<br />
−1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
⎜<br />
⎝<br />
(Was man auch direkt an der Zeilenstufenform ablesen kann, wenn man die Ergänzung<br />
zum Gauß-Algorithmus, die in der Musterlösung zu A5c), <strong>Blatt</strong> 2, beschrieben ist.)<br />
α ist nicht injektiv, da Kern(α) = {0}.<br />
• Ein Erzeugendensystem (EZS) von Bild(α) anzugeben, ist trivial:<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
⎜<br />
Bild(α) = 〈 ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
0<br />
,<br />
⎛ ⎞<br />
−1<br />
⎜ −2 ⎟<br />
⎝ 6 ⎠<br />
2<br />
,<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
1<br />
,<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
⎜ 6 ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
1<br />
〉<br />
Um daraus eine Basis von Bild(α) zu erhalten, muss man ein maximales linear unabhängiges<br />
Teilsystem auswählen. Das geht wie in A16b) mit Gauß (diejenigen Spalten<br />
7/2<br />
1/2<br />
0<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ 〉
aus A auswählen, die in der Zeilenstufenform ein Pivot-Element haben):<br />
⎧⎛<br />
⎞<br />
⎪⎨<br />
1<br />
⎜<br />
=⇒ ⎜ 2 ⎟<br />
⎝<br />
⎪⎩<br />
0 ⎠<br />
0<br />
,<br />
⎛ ⎞⎫<br />
−1<br />
⎪⎬ ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ 6 ⎠<br />
⎪⎭<br />
2<br />
ist eine Basis von Bild(α).<br />
Surjektivität: Bild(α) wird von 2 Vektoren erzeugt (’hat die Dimension 2’); der R 4 von<br />
4 Vektoren, also Bild(α) ist eine echte Teilmenge von R 4 =⇒ α nicht surjektiv.<br />
A18) Welche der folgenden Mengen ist ein Unterraum des R 2 ?<br />
a) U = {(x, y) | 2x − 3y = 0}<br />
b) U = {(x, y) | x + y = 1}<br />
c) U = {(x, y) | xy = 0}<br />
Lösung: Eine Teilmenge U eines Vektorraums V ist Unterraum, falls (i) u, v ∈U ⇒ u + v ∈U<br />
und (ii) u∈U, λ∈K ⇒ λu∈U<br />
a) (i) Seien (x1, y1), (x2, y2) ∈ U =⇒ 2x1 − 3y1 = 0, 2x2 − 3y2 = 0<br />
=⇒(Addition) 2(x1 + x2) − 3(y1 + y2) = 0 =⇒ (x1 + x2, y1 + y2)∈U.<br />
(ii) Seien (x, y)∈U, λ∈R =⇒ 2x − 3y = 0 =⇒ 2(λx) − 3(λy) = 0 =⇒ (λx, λy)∈U.<br />
b) Offensichtlich ist 0 ∈ U =⇒ U kein Unterraum<br />
c) Es ist (0, 1), (1, 0) ∈ U, aber (0, 1) + (1, 0) = (1, 1) ∈ U =⇒ U kein Unterraum.
Zum Abgeben:<br />
Z21) Die 4 Vektoren<br />
v 1 = (1, 2, 3), v 2 = (2, 2, 2), v 3 = (0, −1, −2), v 4 = (1, 0, 1)<br />
im R 3 sind laut Vorlesung linear abhängig.<br />
a) Man bestimme alle Linearkombinationen von v 1, v 2, v 3, v 4, die den Nullvektor erzeugen.<br />
b) Man entscheide für jeden der 4 Vektoren, ob man ihn als Linearkombination der jeweils<br />
3 anderen Vektoren schreiben kann. (Geometrische Deutung?)<br />
Lösung:<br />
a) Gesucht sind alle <strong>Lösungen</strong> des LGS<br />
Mit Gauß:<br />
⎛<br />
1 2 0<br />
⎞<br />
1<br />
⎛<br />
⎝ 2 2 −1 0 ⎠ → ⎝<br />
3 2 −2 1<br />
λ1v 1 + λ2v 2 + λ3v 3 + λ4v 4 = 0.<br />
1 2 0 1<br />
0 −2 −1 −2<br />
0 −4 −2 −2<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ → ⎝<br />
1 0 −1 −1<br />
0 1 1/2 1<br />
0 0 0 2<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ → ⎝<br />
(8 Punkte)<br />
1 0 −1 0<br />
0 1 1/2 0<br />
0 0 0 1<br />
=⇒ λ3 = µ ∈ R beliebig, λ4 = 0, λ2 = − 1<br />
2 µ, λ1 = µ<br />
=⇒ (λ1, λ2, λ3, λ4) = (µ, − 1<br />
2 µ, µ, 0), wobei µ ∈ R beliebig. Die Menge aller LK, die den<br />
Nullvektor erzeugen, ist also<br />
µv 1 − 1<br />
2 µv 2 + µv 3 + 0 · v 4 = 0, µ∈R (∗)<br />
b) Wähle z.B. µ = 1. Es folgen die Darstellungen<br />
Z22) Sei<br />
v 1 = 1<br />
2 v 2 − v 3, v 2 = 2v 1 + 2v 3, v 3 = 1<br />
2 v 2 − v 1.<br />
Eine entsprechende Darstellung für v 4 gibt es nicht, denn angenommen, es gibt eine<br />
Darstellung<br />
v 4 = αv 1 + βv 2 + γv 3,<br />
so wäre αv 1 + βv 2 + γv 3 − v 4 = 0, was ein Widerspruch zu (*) in a) ist, denn in (*) hat<br />
v 4 immer den Koeffizienten 0.<br />
Geometrische Deutung:<br />
v 1, v 2, v 3 liegen in einer Ebene (denn sie sind linear abhängig, wie der Gaussalgorithmus<br />
aus a) zeigt). v4 liegt außerhalb dieser Ebene (er lässt sich nicht als LK der 3 Vektoren<br />
schreiben).<br />
P2 := {p : R −→ R, x ↦−→ a + bx + cx 2 , a, b, c∈R}<br />
die Menge aller Polynomfunktionen vom Grad ≤2.<br />
a) Zeige: P2 ist ein Unterraum vom Vektorraum R R aller Funktionen von R nach R.<br />
b) Gib eine Basis des Vektorraums P2 an.<br />
⎞<br />
⎠
c) Sind die Elemente p1, p2, p3 ∈P2, gegeben durch<br />
p1(x) = (x − 1)(2x − 1), p2(x) = (2x + 1)(x − 1), p3(x) = x 2 + x + 1,<br />
linear unabhängig?<br />
d) Bestimme Bild und Kern der linearen Abbildung<br />
Lösung:<br />
D : P2 −→ P2, a + bx + cx 2 ↦−→ b + 2cx<br />
a) Zu zeigen: (i) p, q ∈P2 ⇒ p + q ∈P2; (ii) p∈P2, λ∈R ⇒ λp∈P2<br />
(14 Punkte)<br />
(i) Seien p, q ∈ P2. Dann gibt es eine Darstellung p(x) = a + bx + cx 2 , q(x) = a ′ +<br />
b ′ x + c ′ x 2 , a, b, c, a ′ , b ′ , c ′ ∈ R. Nach Definition der Addition in R R ist (p + q)(x) =<br />
p(x) + q(x) = (a + a ′ ) + (b + b ′ )x + (c + c ′ )x 2 . Aus dieser Darstellung folgt, dass<br />
p + q ∈ P2.<br />
(ii) Sei p ∈ P2, λ ∈ R. =⇒ p(x) = a + bx + cx 2 , a, b, c ∈ R =⇒ (λp)(x) = λ · p(x) =<br />
λ · (a + bx + cx 2 ) = (λa)x + (λb)x + (λc)x 2 . Aus dieser Darstellung folgt λp∈P2.<br />
b) Die Elemente b1, b2, b3 ∈ P2 mit b1(x) := 1, b2(x) := x, b3(x) := x 2 sind ein Erzeugendensystem<br />
von P2, denn jedes p(x) = a + bx + cx 2 läßt sich als Linearkombination<br />
ab1 + bb2 + cb3 schreiben.<br />
b1, b2, b3 sind ferner linear unanhängig, denn aus λ1b1 + λ2b2 + λ3b3 = 0 ∀x ∈ R, also<br />
λ1 + λ2x + λ3x 2 = 0 ∀x∈R, folgt per Koeffizientenvergleich λ1 = λ2 = λ3 = 0.<br />
Es gibt natürlich noch andere Basen von P2. Die obige Basis nennt man die Standard-<br />
Basis von P2.<br />
c) Ausmultiplizieren: p1(x) = 2x 2 − 3x + 1, p2(x) = 2x 2 − x − 1<br />
λ1p1 + λ2p2 + λ3p3 = 0<br />
⇔ λ1(2x 2 − 3x + 1) + λ2(2x 2 − x − 1) + λ3(x 2 + x + 1) = 0 ∀ x∈R<br />
⇔ (2λ1 + 2λ2 + λ3)x 2 + (−3λ1 − λ2 + λ3)x + (λ1 − λ2 + λ3) = 0 ∀ x∈R<br />
Koeffizientenvergleich:<br />
2λ1 + 2λ2 + λ3 = 0<br />
−3λ1 − λ2 + λ3 = 0<br />
λ1 − λ2 + λ3 = 0<br />
Gauß-Verfahren:<br />
⎛<br />
2 2<br />
⎞<br />
1<br />
⎛<br />
⎝ −3 −1 −1 ⎠ → ⎝<br />
1 −1 1<br />
1 −1 1<br />
2 2 1<br />
−3 −1 −1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ → ⎝<br />
1 −1 1<br />
0 4 −1<br />
0 −4 4<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ → ⎝<br />
1 −1 1<br />
0 4 −1<br />
0 0 3<br />
=⇒ Es gibt nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ3 = 0 =⇒ die Elemente sind linear<br />
unabhängig.<br />
d) Kern: Sei p ∈ P2, p(x) = a + bx + cx 2 mit D(p) = 0, d.h. b + 2cx = 0 ∀x ∈ R.<br />
=⇒ b = c = 0, a∈R beliebig.<br />
Also Kern(D) = {x ↦−→ a, a∈R}.<br />
Bild: Bild(D) = {x ↦−→ b + 2cx | b, c∈R}, also Bild(D) = P1 ⊂ P2.<br />
[Deutung: Beim ’Differenzieren’ (siehe 2. Semester) werden die konstanten Funktionen<br />
auf die Nullfunktion abgebildet, und werden Polynome 2. Grades auf Polynome 1.<br />
Grades abgebildet.]<br />
⎞<br />
⎠