Lösungen Blatt 7

Zum Abgeben:
Z21) Die 4 Vektoren
v 1 = (1, 2, 3), v 2 = (2, 2, 2), v 3 = (0, −1, −2), v 4 = (1, 0, 1)
im R 3 sind laut Vorlesung linear abhängig.
a) Man bestimme alle Linearkombinationen von v 1, v 2, v 3, v 4, die den Nullvektor erzeugen.
b) Man entscheide für jeden der 4 Vektoren, ob man ihn als Linearkombination der jeweils
3 anderen Vektoren schreiben kann. (Geometrische Deutung?)
Lösung:
a) Gesucht sind alle Lösungen des LGS
Mit Gauß:
⎛
1 2 0
⎞
1
⎛
⎝ 2 2 −1 0 ⎠ → ⎝
3 2 −2 1
λ1v 1 + λ2v 2 + λ3v 3 + λ4v 4 = 0.
1 2 0 1
0 −2 −1 −2
0 −4 −2 −2
⎞
⎛
⎠ → ⎝
1 0 −1 −1
0 1 1/2 1
0 0 0 2
⎞
⎛
⎠ → ⎝
(8 Punkte)
1 0 −1 0
0 1 1/2 0
0 0 0 1
=⇒ λ3 = µ ∈ R beliebig, λ4 = 0, λ2 = − 1
2 µ, λ1 = µ
=⇒ (λ1, λ2, λ3, λ4) = (µ, − 1
2 µ, µ, 0), wobei µ ∈ R beliebig. Die Menge aller LK, die den
Nullvektor erzeugen, ist also
µv 1 − 1
2 µv 2 + µv 3 + 0 · v 4 = 0, µ∈R (∗)
b) Wähle z.B. µ = 1. Es folgen die Darstellungen
Z22) Sei
v 1 = 1
2 v 2 − v 3, v 2 = 2v 1 + 2v 3, v 3 = 1
2 v 2 − v 1.
Eine entsprechende Darstellung für v 4 gibt es nicht, denn angenommen, es gibt eine
Darstellung
v 4 = αv 1 + βv 2 + γv 3,
so wäre αv 1 + βv 2 + γv 3 − v 4 = 0, was ein Widerspruch zu (*) in a) ist, denn in (*) hat
v 4 immer den Koeffizienten 0.
Geometrische Deutung:
v 1, v 2, v 3 liegen in einer Ebene (denn sie sind linear abhängig, wie der Gaussalgorithmus
aus a) zeigt). v4 liegt außerhalb dieser Ebene (er lässt sich nicht als LK der 3 Vektoren
schreiben).
P2 := {p : R −→ R, x ↦−→ a + bx + cx 2 , a, b, c∈R}
die Menge aller Polynomfunktionen vom Grad ≤2.
a) Zeige: P2 ist ein Unterraum vom Vektorraum R R aller Funktionen von R nach R.
b) Gib eine Basis des Vektorraums P2 an.
⎞
⎠