Lösungen Blatt 7

c) Sind die Elemente p1, p2, p3 ∈P2, gegeben durch
p1(x) = (x − 1)(2x − 1), p2(x) = (2x + 1)(x − 1), p3(x) = x 2 + x + 1,
linear unabhängig?
d) Bestimme Bild und Kern der linearen Abbildung
Lösung:
D : P2 −→ P2, a + bx + cx 2 ↦−→ b + 2cx
a) Zu zeigen: (i) p, q ∈P2 ⇒ p + q ∈P2; (ii) p∈P2, λ∈R ⇒ λp∈P2
(14 Punkte)
(i) Seien p, q ∈ P2. Dann gibt es eine Darstellung p(x) = a + bx + cx 2 , q(x) = a ′ +
b ′ x + c ′ x 2 , a, b, c, a ′ , b ′ , c ′ ∈ R. Nach Definition der Addition in R R ist (p + q)(x) =
p(x) + q(x) = (a + a ′ ) + (b + b ′ )x + (c + c ′ )x 2 . Aus dieser Darstellung folgt, dass
p + q ∈ P2.
(ii) Sei p ∈ P2, λ ∈ R. =⇒ p(x) = a + bx + cx 2 , a, b, c ∈ R =⇒ (λp)(x) = λ · p(x) =
λ · (a + bx + cx 2 ) = (λa)x + (λb)x + (λc)x 2 . Aus dieser Darstellung folgt λp∈P2.
b) Die Elemente b1, b2, b3 ∈ P2 mit b1(x) := 1, b2(x) := x, b3(x) := x 2 sind ein Erzeugendensystem
von P2, denn jedes p(x) = a + bx + cx 2 läßt sich als Linearkombination
ab1 + bb2 + cb3 schreiben.
b1, b2, b3 sind ferner linear unanhängig, denn aus λ1b1 + λ2b2 + λ3b3 = 0 ∀x ∈ R, also
λ1 + λ2x + λ3x 2 = 0 ∀x∈R, folgt per Koeffizientenvergleich λ1 = λ2 = λ3 = 0.
Es gibt natürlich noch andere Basen von P2. Die obige Basis nennt man die Standard-
Basis von P2.
c) Ausmultiplizieren: p1(x) = 2x 2 − 3x + 1, p2(x) = 2x 2 − x − 1
λ1p1 + λ2p2 + λ3p3 = 0
⇔ λ1(2x 2 − 3x + 1) + λ2(2x 2 − x − 1) + λ3(x 2 + x + 1) = 0 ∀ x∈R
⇔ (2λ1 + 2λ2 + λ3)x 2 + (−3λ1 − λ2 + λ3)x + (λ1 − λ2 + λ3) = 0 ∀ x∈R
Koeffizientenvergleich:
2λ1 + 2λ2 + λ3 = 0
−3λ1 − λ2 + λ3 = 0
λ1 − λ2 + λ3 = 0
Gauß-Verfahren:
⎛
2 2
⎞
1
⎛
⎝ −3 −1 −1 ⎠ → ⎝
1 −1 1
1 −1 1
2 2 1
−3 −1 −1
⎞
⎛
⎠ → ⎝
1 −1 1
0 4 −1
0 −4 4
⎞
⎛
⎠ → ⎝
1 −1 1
0 4 −1
0 0 3
=⇒ Es gibt nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ3 = 0 =⇒ die Elemente sind linear
unabhängig.
d) Kern: Sei p ∈ P2, p(x) = a + bx + cx 2 mit D(p) = 0, d.h. b + 2cx = 0 ∀x ∈ R.
=⇒ b = c = 0, a∈R beliebig.
Also Kern(D) = {x ↦−→ a, a∈R}.
Bild: Bild(D) = {x ↦−→ b + 2cx | b, c∈R}, also Bild(D) = P1 ⊂ P2.
[Deutung: Beim ’Differenzieren’ (siehe 2. Semester) werden die konstanten Funktionen
auf die Nullfunktion abgebildet, und werden Polynome 2. Grades auf Polynome 1.
Grades abgebildet.]
⎞
⎠