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Beispiele von Bézier-Kurven Bézier-Kurven – Eigenschaften Kurven vom Grad 3 GEOMETRIE Endpunktinterpolation + Tangenteneigenschaft (endpoint interpolation): GEOMETRIE b 0 Eine Bézier-Kurve interpoliert den ersten und den letzten Punkt des Kontrollpolygons und besitzt dort die erste bzw. letzte Strecke des Kontrollpolygons als Tangente. Kurven vom Grad 4 Kontrollpolygon b n www.geometrie.tuwien.ac.at 13 Linienelement Bézier-Kurve Linienelement www.geometrie.tuwien.ac.at 14 Wiederholung: Konvexe Hülle konvexer Bereich ist eine Punktmenge, welche die Verbindungsstrecken aller ihrer Punktepaare enthält GEOMETRIE Bézier-Kurven – Eigenschaften Konvexe Hülle Eigenschaft (convex hull property): Eine Bézier-Kurve liegt in der konvexen Hülle ihres Kontrollpolygons. GEOMETRIE konvexe Hülle ist der “kleinste” konvexe Bereich, welcher eine gegebene (Punkt-) Menge enthält www.geometrie.tuwien.ac.at 15 www.geometrie.tuwien.ac.at 16
Bézier-Kurven – Eigenschaften GEOMETRIE Variationsreduzierende Eigenschaft in der Ebene [im Raum] (variation diminishing property): Geg: Bézier-Kurve, beliebige Gerade [Ebene] Eine Bézier-Kurve wechselt die Seite jeder beliebigen Gerade [Ebene] nicht öfter als das Kontrollpolygon. Bézier-Kurven – Eigenschaften Lineare Präzision (linear precision): Liegen die Kontrollpunkte b 0 ,...,b n einer Bézier- Kurve kollinear (= auf einer Geraden), dann liegt die Bézier-Kurve auf der Strecke b 0 b n GEOMETRIE 2 Testgeraden 1 3 3 Kontrollpolygon b n 1 2 1 3 2 Bézier-Kurve 1 b 0 www.geometrie.tuwien.ac.at 17 www.geometrie.tuwien.ac.at 18 Unterteilung (subdivision): Gegeben sei eine Bézier- Kurve mit Kontrollpolygon (b 0 ,...,b n ) bzgl. [0,1]. Manchmal ist es notwendig, eine einzelne Bézier-Kurve so in zwei Teilstücke zu zerlegen, dass sie gemeinsam identisch sind zur Ausgangskurve. 1. Unterteilungsalgorithmus von de Casteljau liefert auch die Kontrollpolygone (c 0 ,...,c n ) und (d 0 ,...,d n ) der Bézier-Kurve bzgl. der Intervalle [0,t] bzw. [t,1]. Bézier-Kurven – Eigenschaften www.geometrie.tuwien.ac.at GEOMETRIE b 1 b 2 c 1 c 2 c 3 d 1 d 2 b 3 c 0 b 0 Beispiel: n=3 19 Unterteilung (subdivision): Gegeben sei eine Bézier- Kurve mit Kontrollpolygon (b 0 ,...,b n ) 2. Wiederholte Unterteilung mit de Casteljau liefert eine rasch gegen die Kurve konvergierende Polygonfolge. Bézier-Kurven – Eigenschaften b 0 www.geometrie.tuwien.ac.at GEOMETRIE b 1 b 2 b 3 d 0 d 3 20
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