Splines

B-Spline Kurven
GEOMETRIE
B-Spline-Kurven
Eigenschaften
GEOMETRIE
• B-Spline-Kurven können offen oder geschlossen sein:
– Bei einer geschlossenen B-Spline-Kurve wird ein
geschlossenes Kontrollpolygon zur Gänze geglättet
– Im offenen Modus hat ein geschlossenes Polygon
einen Anfangspunkt und einen damit identischen
Endpunkt; dort wird nicht geglättet
• Bei offenen B-Spline Kurven: Endpunkte mit Tangenten
werden durch das Kontrollpolygon angegeben
• Kurve liegt in der konvexen Hülle des Kontrollpolygons
geschlossen
offen
offen
• Es gilt die variationsreduzierende
Eigenschaft
www.geometrie.tuwien.ac.at
29
www.geometrie.tuwien.ac.at
30
NURBS – Gewichte (weights)
Kegelschnitte als NURBS
GEOMETRIE
GEOMETRIE
• B-Spline-Kurven und somit auch die
Bézier-Kurven sind Spezialfälle von
NURBS (= Non-Uniform Rational B-
Splines)
• NURBS haben einen zusätzlichen
Designparameter ⇒ Gewichte.
• Standardmäßig sind alle Gewichte
gleich 1, dann stimmt die NURBS-
Kurve mit der gewöhnlichen B-Spline-
Kurve überein
• Das Erhöhen des Gewichtes eines
Kontrollpunktes bewirkt, dass die
Kurve zu diesem Kontrollpunkt
hingezogen wird
Multipliziert man die Gewichte aller
Punkte mit demselben Faktor, so
erhält man die ursprüngliche Kurve
b 1
w 1
> 1
w 1
= 1
0 < w 1
< 1
w 1 > 1 Hyperbelbogen
w 1 = 1 Parabelbogen
0 < w 1 < 1 Ellipsenbogen
b 0 b 2
Von den Kegelschnitten (Kreis, Ellipse,
Parabel, Hyperbel) kann nur die Parabel
als Bézier-Kurve (vom Grad 2)
repräsentiert werden.
Durch das Verwenden von Gewichten
können alle Kegelschnittstypen als
NURBS vom Grad 2 erhalten werden.
www.geometrie.tuwien.ac.at
31
www.geometrie.tuwien.ac.at
32