Bildklassifikation unter Verwendung kompressionsbasierter Methoden

2.4. Ähnlichkeitsmetriken
Damit ergibt sich die Notwendigkeit einer Normalisierung, die Vergleiche auch
über die Grenzen von Metrikräumen hinaus zulässt. Li et al definieren in [LCL + 04]
Bedingungen für eine in diesem Sinne normalisierte Distanz:
Definition 2.15. Eine normalisierte Distanz oder Ähnlichkeitsdistanz ist eine
Funktion d : Ω × Ω → [0, 1], die symmetrisch ist (d(x, y) = d(y, x)) und bei der
für jedes x ∈ {0, 1} ∗ und jede Konstante e ∈ [0, 1] gilt:
|{y : d(x, y) e 1}| < 2 eK(x)+1 . (2.29)
Die Anzahl der Strings innerhalb des Ähnlichkeitsradius e um x hängt damit
direkt von K(x) ab. Eine geringe Komplexität von x geht mit einer geringen
Anzahl von Strings mit d(x, y) e einher. Bei höherer Komplexität werden
entsprechend mehr Strings innerhalb des gleichen Radius zugelassen. Ferner
schreibt Ungleichung (2.29) eine Normalisierung der Distanz auf d(x, y) ∈ [0, 1]
vor, wobei d(x, y) = 0 maximale Ähnlichkeit und d(x, y) = 1 maximale Verschiedenheit
bedeutet. Offenbar erfüllt die in Beispiel 2.14 verwendete Kodierung
diese Kriterien nicht.
Wir zeigen nun, dass eine normalisierte Variante der Kraft-Ungleichung diese
Eigenschaften entsprechend Ungleichung (2.29) impliziert [LCL + 04].
Lemma 2.16. Sei Ω ein beliebiger Metrikraum. Wenn die Funktion d : Ω×Ω →
[0, 1]
∑
2 −d(x,y)K(x) 1 (2.30)
y
erfüllt, dann erfüllt d ebenfalls die in Ungleichung (2.29) definierte Bedingung
für Ähnlichkeitsdistanzen.
Beweis. Wir beginnen mit Ungleichung (2.30). Unter der Annahme, es gäbe ein
e ∈ [0, 1], so dass die Ungleichung (2.29) nicht erfüllt ist, erzeugen wir einen
Widerspruch.
1 ∑ y
2 −d(x,y)K(x)
∑
y:d(x,y)e1
2 eK(x)+1 2 −eK(x) > 1
2 eK(x) (unter Verwendung von (2.29):)
Basierend auf dieser Erkenntnis leiten Li et al die normalisierte Informationsdistanz
Nid ab.
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