M07 Foucault-Pendel

FachHochschule Lausitz Foucault-Pendel Namen:
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Physikalisches Praktikum M 07 Datum:
1 Ziel des Versuches
Unter Verwendung eines Foucault-Pendels wird die Erdrehung nachgewiesen. Die auftretende
Corioliskraft und der Breitengrad des Versuchsortes werden bestimmt.
2 Grundlagen
2.1 Corioliskraft
In rotierenden Systemen tritt neben der Zentrifugalkraft noch eine zweite Scheinkraft auf, die
nach ihrem Entdecker Coriolis benannt ist. Wichtig ist die Corioliskraft vor allem in der Meteorologie
bei der Entstehung von Windsystemen.
Zur Herleitung: In der Mitte einer Drehscheibe, die sich mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω dreht (Bild1), befindet sich ein
Beobachter. Er schießt eine Kugel mit der Geschwindigkeit v ab.
Diese Kugel ist nach dem Abschuss mit der Scheibe durch keinerlei
Kräfte verbunden, sondern fliegt frei durch den Raum. Für
einen Beobachter außerhalb der Scheibe bewegt sich die Kugel
also geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit v nach außen.
Nach der Zeit t = r/
v ist sie im Abstand r vom Zentrum angelangt.
In dieser Zeit hat sich die Scheibe aber um den Winkel
α = ω ⋅ t weitergedreht. Daher stellt der Beobachter auf der
Scheibe fest, dass sich die Kugel nicht über dem Punkt A seiner
Scheibe befindet, sondern über dem Punkt B: Sie ist von der
Scheibe aus gesehen um die Strecke y = r⋅α nach rechts abgelenkt
worden, senkrecht zur erwarteten Flugrichtung. Die Strecke über
die Flugzeit ausgedrückt ergibt: y = r⋅α =v⋅t⋅ω t = v⋅ω⋅t 2 . Der Beobachter
auf der Scheibe muss diese Ablenkung auf eine Beschleunigung
zurückführen, die senkrecht zur Geschwindigkeit
wirkt. Der Bewegungsablauf y ∼ t 2 lässt auf eine konstante Beschleunigung
a schließen, denn diese führt zu y = ½ at 2 . Der
Vergleich liefert
a = 2⋅ω
⋅ v Coriolis-Beschleunigung (1)
Dieser Beschleunigung entspricht eine Kraft
r = vt
y=ra=vt⋅ωt
B
ω
A
Bild1: Zur Berechnung der
Coriolis-Kraft
F = m⋅ a = 2⋅m⋅ω
⋅ v Coriolis-Kraft (2)
C
Eine solche Kraft spürt der Beobachter auch, wenn er sich selbst oder einen seiner Körperteile
mit der Geschwindigkeit v bewegt.
An dem Ergebnis ändert sich nichts, wenn die Bahn der Kugel nicht durch den Mittelpunkt Z
der Scheibe geht. Wenn v nicht senkrecht zu Drehachse steht, sondern mit ihr den Winkel α
bildet, ist die Coriolis-Beschleunigung
a = 2⋅ v × ω a = 2 ⋅v⋅ω ⋅ sin α
(3)
C
C

2
2.2 Foucault-Pendel
L. Foucault hat Anfang 1851 im Pantheon zu Paris mit einem 67m langen Pendel die Erddrehung
einem größeren Zuschauerkreis vorgeführt. Er benutzte bei seinem Versuch die Tatsache,
dass sich die Schwingungsebene eines Fadenpendels bei Drehung seines Aufhängepunktes
nicht ändert, sofern der Beobachter an der Drehung nicht teilnimmt. Dreht sich dagegen
wie beim Foucaultschen Versuch der Beobachter mit, so dreht sich von dessen Standpunkt
aus die Schwingungsebene des Pendels. Wenn nämlich die Pendelaufhängung nicht starr,
sondern in jeder Richtung frei ist, gibt es im ruhenden System keine Kraft, die das schwingende
Pendel aus seiner Bahn ablenkt. Denn die auf den Pendelkörper einwirkende Kraft setzt
sich aus der Gewichtskraft und der Fadenspannung zusammen; und diese beiden Kräfte haben
keine Komponente quer zur Schwingungsebene.
Ursache der beobachteten Änderung der Schwingungsebene ist die im vorigen Abschnitt behandelte
Coriolis-Kraft.
2.3 Messprinzip
ω
ω
ω ϕ =ω⋅sinϕ
Die Winkelgeschwindigkeit für ein auf
einem geografischen Pol aufgestellten
Fadenpendel ist für einen nicht an der
Erdrotation (mit T E als Rotationsdauer der
Erde) beteiligten Beobachter die gleiche
wie für den an der Rotation teilnehmenden
Beobachter:
ϕ
2π ⎛360° 15° 0,25° ⎞
ω = ≈ ⎜ = = ⎟
⎝ 24h 1h 1min ⎠
T e
(4)
Bild2: Für die Drehung der Schwingungsebene wirksame
Komponente der Winkelgeschwindigkeit ω
(siehe auch Abschnitt 4.3) Befindet sich
das Pendel nicht am geografischen Pol,
sondern an einem Ort der geografischen
Breite ϕ, so schwingt es als Schwerependel
in der Ebene eines Großkreises. In
dieser Ebene wirkt von der Rotationsgeschwindigkeit
ω der Erde die Komponente
ωϕ
= ω⋅sinϕ (5)
Die durch den Großkreis festgelegte Schwingungsebene des Pendels dreht sich daher an diesem
Ort mit der Winkelgeschwindigkeit ω ϕ .
Über diese Drehung der
Schwingungsebene eines Fadenpendels
wird die Erdrotation
nachgewiesen. Wenn die Winkelgeschwindigkeit
ω bekannt
ist, kann aus der Messung von
ω ϕ der Breitengrad des Versuchsortes
ermittelt werden.
α
A
P 1
Hat das Pendel die Amplitude A,
so verschiebt sich der Umkehr-
Bild3: Verschiebung des Umkehrpunktes
P 2
l

3
punkt P 1 des Pendels bei n Vollschwingungen um l nach P 2 (Bild3). n wird klein gewählt, so
dass für l statt des Bogens die gerade Verbindung zwischen P 1 und P 2 genommen werden
kann.
Die Zeit für diese Drehung ist
l
= A⋅ α
(6)
Tn
= n⋅T
(7)
wenn T die Dauer einer Vollschwingung ist.
Damit ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit der Drehung zu
α
ω
ϕ
= =
nT ⋅
l
AnT ⋅ ⋅
Der Umkehrpunkt des Pendelfadens
wird mithilfe einer Halogenleuchte P
projiziert und so die kleine Länge l
messbar gemacht. Wenn β der Vergrößerungsfaktor
der Projektion ist
(Bild4), dann ergibt sich
L= β ⋅ l
(9)
(L: gemessene Länge in der Projektion)
. (8)
A
G
L
Für die Winkelgeschwindigkeit des
Labors gegen die räumlich konstante
Schwingungsebene des Pendels ergibt
sich:
l
Bild4: Verschiebung des Umkehrpunktes in der Projektion
3 Versuch
ω ϕ
3.1 Verwendete Geräte
L
= (10)
n ⋅ A ⋅ β ⋅ T
Mathematisches Pendel:
l : am Versuchsplatz angegeben
m = (840 ± 5)g
Halogenleuchte, Stromversorgungsgerät, Linse f = 50mm, Haltemagnet; Stoppuhr, Projektionswand
3.2 Aufgabenstellung
1.Aufgabe:
Die Schwingungsgleichung eines mathematischen Pendels (Fadenpendels) ist in der Vorbereitung
auf den Versuch herzuleiten. Dazu ist eine Skizze mit den auftretenden Kräften am
Fadenpendel anzufertigen.

4
Die theoretisch erwartete Schwingungsdauer ist aus den Kenndaten des Fadenpendels zu berechnen.
Im Experiment ist aus 3 Versuchsreihen
(mindestens 20 Schwingungen verwenden) über die
Schwingungsdauer
die Pendellänge zu bestimmen.
Die maximale Messunsicherheit ist anzugeben und das Ergebnis im Vergleich mit dem gegeω
ϕ ist entsprechend (10) zu bestimmen. Dazu sind die Amplitude
A, der Vergrößerungsfaktor β und die Länge in der Projektion L zu messen. Die Schwin-
benen Wert zu diskutieren.
2.Aufgabe:
Die Winkelgeschwindigkeit gungsdauer T wurde in der 1.Aufgabe bestimmt.
Der Abstand des Umkehrpunktes L nach
einer Zahl von n Schwingungen
vom Umkehrpunkt
bei Beginn der Schwingung ist grafisch als Funktion L = f(n) darzustellen. Dazu ist
L nach
jeweils 5Schwingungen zu messen. Insgesamt sollten mindestens 30Schwingungenn erfasst
werden.
Es sind
mindestens drei Versuchsreihen aufzunehmen.
3.Aufgabe:
Aus den
Messergebnissen sind der Breitengrad des Versuchsortes und die Corioliskraft zu
berechnen.
Die maximale Messunsicherheit ist für den bestimmten Breitengrad anzugeben.
3.3 Hinweise zur Versuchsdurchführung
Zur 1.Aufgabe:
Auslenkung des Pendels nicht
über 10° - 20°, Begründung
da-
Zur 2.Aufgabe:
für ist im
Protokolll anzugeben!
Vorbereitung der Messung:
Abbildungslinse f = 50mm etwa
in der Mitte der optischen Bank
(Markierung 28 – 30cm) anbrin-
des Lampeneinsatzes auf der
gen.
Leuchtwendel durch Verschieben
Mitte der Abbildungslinse scharf
abbilden
(evtl. Papier anhalten).
Bild5: Versuchsaufbau
Bei ruhig hängenden Pendel die gesamte optische Bank so verschieben, dass
a. der Pendelfaden in der Mitte des
Leuchtfleckes an der
Wand scharf abgebildet wird
und
b. die optische
Achse genau senkrecht auf die Projektionsfl
fläche zeigt.
Durchführung der
Messung:
Hinweise:
- Luftzug während der gesamten Versuchsdauer unbedingt vermeiden!
- Der Ring, an dem
das Pendel
hängt, darf den Aufhänge-Hakenn nicht berühren!

5
Einstellen der Amplitude A:
Position der Abbildungslinse auf der Skala der optischen Bank ablesen (Muffenaußenkante
zum Peilen verwenden). Danach Abbildungslinse an das Ende der optischen Bank schieben.
Neue Position ablesen, Verschiebung A ausrechnen und notieren.
Bestimmung des Vergrößerungsfaktors β:
Leuchtwendel der Experimentierleuchte wieder auf der Mitte der Abbildungslinse abbilden.
Abbildungsmaßstab mit Halter mittels Muffe an der optischen Bank anbringen und in die
Brennebene der Linse verschieben. Dieser Abbildungsmaßstab ist dann auf der Projektionsfläche
scharf abgebildet und kann ausgemessen werden. Daraus wird der Vergrößerungsmaßstab
β berechnet.
Abbildungsmaßstab wieder abbauen.
Um im folgenden das ausgelenkte Fadenstück wieder scharf abbilden zu können, muss es
etwas über die Ebene hinaus ausgelenkt werden, in der auch der Maßstab scharf abgebildet
wird.
Pendel in Ausgangsstellung bringen (Bild5):
Pendel auslenken und über eine kleine Stahlkugel an den Haltemagneten hängen. Haltemagnet
so verschieben, dass der Pendelfaden wieder in der Mitte des Leuchtflecks auf der Projektionswand
scharf abgebildet wird. Position des Pendelfadens im Projektionsbild markieren.
Haltemagnet etwas weiter verschieben, so dass auch nach 30 Schwingungen der Pendelfaden
durch die Markierungsposition schwingt.
Strom für den Haltemagneten soweit verringern, dass die Pendelkugel gerade noch gehalten
wird.
Anmerkung: Die Verschiebung der Linse um die Strecke A entspricht der Amplitude
des projizierten Fadenstücks, denn wenn die Abbildungslinse um A verschoben wurde,
muss der Pendelfaden um die gleiche Strecke ausgelenkt werden, um ihn wieder
scharf abbilden zu können.
Die kleine Stahlkugel zwischen Pendelkugel und Haltemagnet soll ein Abrollen und
damit eine Seitwärtsauslenkung des Pendels bei der Auslösung verhindern.
Bestimmung von L:
Pendelschwingung starten. Dazu Strom durch den Haltemagneten durch herausziehen der
Versorgungsleitung aus dem Energieversorgungsgerät unterbrechen.
Anzahl der Schwingungen mitzählen und Fadenposition im Projektionsbild nach 5, 10, ... 30
Schwingungen markieren (Auswertung nach Beendigung des Versuches)
Zur Bestimmung von L sind mindestens drei Versuchsreihen aufzunehmen!
Der zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit benötigte Wert von L ist mit Hilfe eines Diagrammes
L = f(n) zu bestimmen. Verwendet dazu wird der Mittelwert aus den Anstiegen der
sich aus den Messwerten ergebenden drei Geraden.
Zur 3.Aufgabe:
Bei der Berechnung des Breitengrades von Senftenberg als Versuchsort sind die Gleichungen
(4) und (5) zu verwenden.
Gegeben ist die Dauer eines Sternentages („tatsächliche“ Rotationsdauer der Erde) mit T E =
86164s.

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Das Ergebnis ist einschließlich der bestimmten Messunsicherheit mit dem Tabellenwert für
Senftenberg zu vergleichen: Φ = 51°31´20´´.
Die Corioliskraft ist für den Nulldurchgang des Pendels zu berechnen. Dabei wird eine Auslenkung
von 10° angenommen.
4 Ergänzungen
4.1 Ergänzende Bemerkungen
Dieses Experiment wurde bereits 1661 von Viviani in Florenz und 1833 von Bartholini in
Rimini beschrieben.
Beide Versuche waren Foucault unbekannt, als er 1850 in der Pariser Sternwarte und 1851
sehr eindrucksvoll im Pantheon in Paris das nach ihm benannte Experiment durchführte. Er
benutzte eine ca. 30kg schwere Kupferkugel an einem 67,0m langen Faden.
4.2 Vertiefende Fragen
1. Bei der Zerlegung der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich neben der bisher betrachteten
Komponente ω = ω⋅sinϕ eine weitere. Erläutern Sie deren Bedeutung und Auswirkung.
ϕ
2. Worin besteht der Unterschied zwischen einem „Sonnentag“ und einem „Sterntag“? Weshalb
wird bei der Angabe der Winkelgeschwindigkeit der Erde (Gl.(4)) der „Sterntag“
verwendet?
3. Geben Sie die Schwingungsdauer des Pendels im Originalexperiment von Foucault an!
4. Warum verwendet man beim Foucaultschen Pendelversuch einen schweren Aufhängekörper
an einem langen Pendelfaden?
5. Die Ausdehnung der Stadt Senftenberg beträgt rund 4km. Auf wie viel Bogensekunden
(1´´) ist die Angabe der Breite Φ = 51°31´20´´ nur sinnvoll, wenn die Lage des Messortes
innerhalb der Stadt nicht weiter spezifiziert wird?