1 Positive und einfache Systeme

Positive und einfache Systeme, Konjugation
Julia Budde
25. April 2011
1 Positive und einfache Systeme
Wir legen ein Wurzelsystem Φ im euklidischen Vektorraum V fest, sodass W die endliche
Spiegelungsgruppe ist, die von allen s α (α ∈ Φ) erzeugt wird. Während W durch die geometrische
Struktur Φ komplett bestimmt ist, gibt es einen Nachteil bei der Verwendung
von Φ als Werkzeug zur Klassikation möglicher Spiegelungsgruppen: Φ kann sehr groÿ
im Vergleich zur Dimension von V sein. Wenn zum Beispiel W die Diedergruppe ist,
kann Φ genau so viele Elemente wie W haben, obwohl dim V = 2.
Das führt uns dazu, nach einer linear unabhängigen Teilmenge von Φ (ein einfaches
System) zu suchen, mit der Φ irgendwie wiederhergestellt werden kann. Genauer gesagt,
wir fordern, dass jede Wurzel eine R-lineare Kombination der einfachen Wurzeln mit
Koezienten, die alle dasselbe Vorzeichen haben, ist. Dadurch teilt man das einfache
System Φ in positive und negative Wurzeln auf, wobei genau eins von jedem Paar
{α, −α} als positiv gekennzeichnet wird. Solche Aufteilungen sind einfach zu nden,
indem man V total ordnet. Deshalb ist dies der Ausgangspunkt der Suche nach einem
einfachen System.
Denition 1.1. Eine totale Ordnung des Vektorraums V ist eine transitive Relation
in V (bezeichnet durch 0, und
cν < cµ falls c < 0.
Ist so eine Ordnung gegeben, sagt man λ ∈ V ist positiv wenn 0 < λ. Die Summe
positiver Vektoren ist positiv, genauso wie das skalare Vielfache eines positiven Vektors
mit einer positiven reellen Zahl.
Eine totale Ordnung von V zu erstellen ist einfach: Wähle eine beliebige geordnete Basis
λ 1 , . . . , λ n von V und übernimm die zugehörige lexikographische Ordnung, wobei
∑
ai λ i < ∑ b i λ i bedeutet, dass a k < b k wenn k der niedrigste Index ist, für den a i ≠ b i .
Proposition 1.2. Für die lexikographische Ordnung gelten die oben aufgeführten Axiome.
Beweis.
(1) Sei ∑ a i λ i , ∑ b i λ i ∈ V .
1. Fall: a i = b i ∀i = 1, ..., n
Da alle Koezienten gleich sind, gilt: ∑ a i λ i = ∑ b i λ i
2. Fall: ∃m ∈ {1, ..., n} : a m ≠ b m . Sei k der niedrigste Index, für den a i ≠ b i . Dann
ist bekannt, dass einer der folgenden Fälle zutrit:
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a k < b k bzw. a k > b k
Daraus folgt direkt: ∑ a i λ i < ∑ b i λ i bzw. ∑ a i λ i > ∑ b i λ i
Da dies alle möglichen Fälle sind, erfüllt auch die lexikographische Ordnung das
erste Axiom.
(2) Sei ∑ a i λ i , ∑ b i λ i , ∑ c i λ i ∈ V . Es gelte ∑ a i λ i < ∑ b i λ i .
z.Z: ∑ a i λ i + ∑ c i λ i < ∑ b i λ i + ∑ c i λ i
Wenn a i < b i folgt a i + c i < b i + c i und aus a i = b i folgt a i + c i = b i + c i . D.h.
wenn k der niedrigste Index ist, für den a i < b i , dann gilt das gleiche auch für
a i + c i < b i + c i .
Damit gilt dann: ∑ a i λ i + ∑ c i λ i = ∑ (a i + c i ) λ i < ∑ (b i + c i ) λ i = ∑ b i λ i +
∑
ci λ i
(3) Sei ∑ a i λ i , ∑ b i λ i ∈ V und c ∈ R, c ≠ 0. Es gelte ∑ a i λ i < ∑ b i λ i .
1. Fall: c > 0.
2. Fall: c < 0.
z.Z: c · ∑ a i λ i < c · ∑ b i λ i
Wenn a i < b i folgt c · a i < c · b i und aus a i = b i folgt c · a i = c · b i . D.h.
wenn k der niedrigste Index ist, für den a i < b i , dann gilt das gleiche auch für
c · a i < c · b i .
Damit gilt dann: c · ∑ a i λ i = ∑ (c · a i )λ i < ∑ (c · b i )λ i = c · ∑ b i λ i
z.Z: c · ∑ a i λ i > c · ∑ b i λ i
Wenn a i < b i folgt c · a i > c · b i und aus a i = b i folgt c · a i = c · b i . D.h.
wenn k der niedrigste Index ist, für den a i < b i , dann gilt das gleiche auch für
c · a i > c · b i .
Damit gilt dann: c · ∑ a i λ i = ∑ (c · a i )λ i > ∑ (c · b i )λ i = c · ∑ b i λ i
Denition 1.3. Man nennt eine Teilmenge Π ein positives System, wenn es die Menge
aller positiven (bzgl. einer totalen Ordnung auf V ) Elemente von Φ ist. Es ist klar, dass
positive Systeme existieren. Φ ist eine disjunkte Vereinigung von Π und −Π, da Wurzeln
immer paarweise ({α, −α}) vorkommen und nach Proposition 1.2 (1) für jede Wurzel α
genau einer der Fälle α < 0 bzw. 0 < α zutrit (α = 0 ist ausgeschlossen). Man nennt
−Π negatives System. Wenn Π xiert ist, kann man α > 0 anstatt α ∈ Π schreiben.
Denition 1.4. Man nennt eine Teilmenge ∆ von Φ ein einfaches System (und ihre
Elemente einfache Wurzeln), wenn ∆ eine Vektorraumbasis des R-Spanns von Φ in V
ist und wenn darüber hinaus jedes α ∈ Φ eine Linearkombination von ∆ mit Koezienten
desselben Vorzeichens ist (alle nicht negativ oder nicht positiv). Es ist nicht klar und
ersichtlich, dass einfache Systeme existieren.
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Beispiel 1.5. Man ndet einfache Systeme für die verschiedenen, in 1.1 beschriebenen
Gruppen, indem für Φ eine geeignete Menge von Vektoren ausgewählt wird (nicht notwendigerweise
Einheitsvektoren).
(I 2 (m), m ≥ 3) Φ = {±(cos ( k m) π (
, sin k
π
m)
) | 0 ≤ k < m}
( )
∆ = {(1, 0), (cos (m−1)π
m
, sin ( (m − 1) m) π )}, denn es gilt:
( )
∆ ist linear unabhängig, denn sin (m−1)π
m
≠ 0, da (m−1)π
m
≠ 0 bzw. π. Darüber
hinaus kann jede Wurzel als Linearkombination mit Koezienten desselben Vorzeichens
von ∆ dargestellt werden:
für die positiven Wurzeln (die oben aufgelisteten Elemente von Φ mit positivem
Vorzeichen) gilt:
( (m−1)π
sin m
sin
m
Wenn k = 0: ( cos ( k m) π (
, sin k
π
m))
= (1, 0) = 1 · (1, 0). Wenn k ≠ 0:
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
cos k
π
m , sin k
π
m = a · (1, 0) + b · cos (m−1)π
m
, sin (m−1)π
m mit b =
sin( kπ m )
) und a = cos ( ) ( )
kπ sin(
m − kπ m )
( ) (m−1)π
· cos (m−1)π
m . Es gilt b > 0, da sowohl
Nenner als auch Zähler gröÿer Null sind. Auÿerdem a > 0, denn cos ( )
kπ
( ) ( ) ( )
m ≥
cos (m−1)π
m
> b · cos (m−1)π
m , weil cos (m−1)π
m
< 0.
Abbildung 1: I 2(5) und I 2(6) (positive Wurzeln hervorgehoben und einfache Wurzeln in rot)
(A n−1 , n ≥ 2) Φ = {±(e i − e j ) | 1 ≤ i < j ≤ n}
∆ = {e i − e i+1 | 1 ≤ i ≤ n − 1}, denn es gilt:
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Jedes Element von Φ kann als Linearkombination mit Koezienten desselben Vorzeichens
dargestellt werden, denn: e i −e j = (e i −e i+1 )+(e i+1 −e i+2 )+. . .+(e j−1 −e j )
Auÿerdem ist ∆ linear unabhängig:
Sei 0 = ∑ n−1
i=1 c i(e i −e i+1 ) = c 1 e 1 + ∑ n−1
i=2 (c i−c i−1 )e i −c n−1 e n . Da bekannt ist, dass
{e 1 , . . . , e n } linear unabhängig ist, muss gelten c 1 = 0, c n−1 = 0 und c i − c i−1 = 0
∀i = 2, . . . , n−1. Damit ergibt sich dann schrittweise, dass c i = 0 ∀i = 1, . . . , n−1:
c 2 − c 1 = 0 ⇔ c 2 = c 1 = 0, c 3 − c 2 = 0 ⇔ c 3 = c 2 = 0 usw.
e2-e3
e1-e3
e1-e2
Abbildung 2: A 2, also n = 3, dargestellt in der Ebene V = {v ∈ R 3 | ∑ v i = 0}
(positive Wurzeln hervorgehoben und einfache Wurzeln in rot)
(B n , n ≥ 2) Φ = {±e i | 1 ≤ i ≤ n} ∪ {±(e i − e j ) | 1 ≤ i < j ≤ n}
∆ = {e n , e i −e i+1 | 1 ≤ i ≤ n−1}, denn alle Wurzeln der Art e i −e j sind, wie schon
im vorherigen Beispiel erläutert, als Linearkombination von ∆ mit Koezienten
desselben Vorzeichens darstellbar. Darüber hinaus lassen sich auch die anderen
Wurzeln wie gefordert darstellen: e n−1 = (e n−1 − e n ) + e n ,
e n−2 = (e n−2 − e n−1 ) + e n−1 = (e n−2 − e n−1 ) + (e n−1 − e n ) + e n usw.
∆ ist zudem linear unabhängig:
Sei 0 = ∑ n−1
i=1 c i(e i − e i+1 ) + c n e n = c 1 e 1 + (c 2 − c 1 )e 2 + . . . + (c n − c n−1 )e n . Da
{e 1 , . . . , e n } linear unabhängig ist, muss gelten: c 1 = 0 und (c i − c i−1 ) = 0
∀i = 2, . . . , n. Daraus folgt schrittweise c i = 0 ∀i = 1, . . . , n: c 2 = c 1 = 0,
c 3 = c 2 = 0 usw.
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e2
e1
e1-e2
Abbildung 3: B 2 (positive Wurzeln hervorgehoben und einfache Wurzeln in rot)
(D n , n ≥ 4) Φ = {±(e i + e j ) | i ≠ j, 1 ≤ i < j ≤ n} ∪ {±(e i − e j ) | 1 ≤ i < j ≤ n}
∆ = {e n−1 + e n , e i − e i+1 | 1 ≤ i ≤ n − 1}, denn alle Wurzeln der Art e i − e j
sind, wie schon in den vorherigen Beispielen erläutert, als Linearkombination von
∆ mit Koezienten desselben Vorzeichens darstellbar. Darüber hinaus lassen sich
auch die anderen Wurzeln wie gefordert darstellen: e n−2 + e n−1 = (e n−2 − e n−1 ) +
(e n−1 −e n )+(e n−1 +e n ), e n−3 +e n−2 = (e n−3 −e n−2 )+(e n−2 −e n−1 )+(e n−2 +e n−1 )
usw. Im allgemeinen Fall gilt dann: e i + e j = (e i − e i+1 ) + (e i+1 − e i+2 ) + . . . +
(e j−2 − e j−1 ) + (e j−1 + e j ).
Beweis der linearen Unabhängigkeit von ∆:
Sei 0 = ∑ n−1
i=1 c i(e i − e i+1 ) + c n (e n−1 + e n ) = c 1 e 1 + (c 2 − c 1 )e 2 + . . . + (c n−1 +
c n )e n−1 + (c n −c n−1 )e n . Da {e 1 , . . . , e n } linear unabhängig ist, muss gelten: c 1 = 0,
c n−1 + c n = 0 = c n − c n−1 woraus folgt: c n = 0 und c n−1 = 0 und somit dann auch
schrittweise c n−2 = c n−1 = 0, c n−3 = c n−2 = 0 usw.
Proposition 1.6. Es gilt:
(α, β) ≤ 0 für alle Paare α ≠ β in ∆
Beweis. Angenommen, es stimmt nicht für ein Paar α, β. Da s α β ∈ Φ, muss entweder
dies oder sein Negatives in Π liegen. Dann liefert die Formel für eine Spiegelung s α β =
1 · β + (−c) · α mit c = 2(β, α)/(α, α) > 0. Da die Darstellung eines Elements durch eine
Linearkombination (einer Basis) eindeutig ist, kann s α β weder in Π, noch in −Π liegen,
schlieÿlich haben die Koezienten 1 und −c unterschiedliche Vorzeichen, allerdings sind
die Elemente von Φ Linearkombinationen von ∆ mit Koezienten desselben Vorzeichens.
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Satz 1.7. (a) Wenn ∆ ein einfaches System in Φ ist, dann existiert ein eindeutiges
positives System, das ∆ enthält.
(b) Jedes positive System Π in Φ enthält ein eindeutiges einfaches System; insbesondere
existieren einfache Systeme.
Beweis. (a) Angenommen, das einfache System ∆ ist in einem positiven System Π enthalten.
Dann sind alle Wurzeln, die nichtnegative Linearkombinationen von ∆ sind, auch
in Π (und ihre Negativen nicht), da jedes α ∈ ∆ positiv und die Darstellung durch eine
Linearkombination einer Basis eindeutig ist (∆ ist eine Basis für span(Φ) und es gilt
Π ⊂ span(Φ)). Man kann auÿerdem ∆ zu einer geordneten Basis von V erweitern, wobei
die Elemente von ∆ zuerst aufgeführt werden. Da die Darstellung durch eine Linearkombination
eindeutig ist, sind in Π genau die Wurzeln, die positiv bzgl. der zugehörigen
lexikographischen Ordnung sind. Schlieÿlich haben die Linearkombiationen der positiven
Wurzeln nichtnegative Koezienten, mit denen die Elemente aus ∆ multipliziert werden
und den Koezienten 0 vor allen Elementen aus der Basis, die nicht in ∆ liegen. D.h.
alle positiven Wurzeln sind in dieser Ordnung gröÿer als die Null. Damit ergibt sich, dass
Π ⊃ ∆ das eindeutige positive System ist.
(b) Angenommen für einen Moment, dass das gegebene positive System Π (ausgehend
von einer totalen Ordnung von V ) ein einfaches System ∆ enthält. Dann kann ∆ als
die Menge charakterisiert werden, die alle Wurzeln α ∈ Π enthält, die nicht als Linearkombination
von zwei oder mehr Elementen von Π mit streng positiven Koezienten
darstellbar sind, da ∆ eine Basis ist und somit linear unabhängig sein muss. Darüber
hinaus sind die einzigen Vielfachen einer Wurzel α in Φ {±α} (vgl. R1); dh. die einzige
positive Linearkombination nur eines Elements, dass in Π liegen kann, ist das Element
selbst. Die Darstellung durch eine Linearkombination ist eindeutig. Also ist ∆ das eindeutige
einfache System in Π.
Doch wie kann man ein einfaches System in Π tatsächlich festlegen? Wähle eine minimale
Teilmenge ∆ ⊂ Π, die die Anforderung erfüllt, dass jede Wurzel in Π eine nichtnegative
Linearkombination von ∆ ist. Oensichtlich existieren solche minimalen Teilmenge. Es
muss nur gezeigt werden, dass ∆ linear unabhängig ist.
Mit Propostion 1.6, betrachte was passieren würde, wenn ∆ nicht linear unabhängig wäre:
∑
α∈∆ a αα = 0 mit nicht allen a α = 0. Formuliere dies um als ∑ b β β = ∑ c γ γ, wobei
die Summen über disjunkte Teilmengen von ∆ gebildet werden und alle Koezienten
streng positiv sind. Wenn σ die gerade genannten Summen bezeichnet, dann gilt σ > 0.
Allerdings, wegen Prop. 1.6,
(∑
0 ≤ (σ, σ) = bβ β, ∑ )
a α α ≤ 0
Dies liefert σ = 0, was ein Widerspruch zu σ > 0 ist. Deshalb muss ∆ linear unabhängig
sein. ✷
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Die Kardinalität von jedem einfachen System ist eine Invariante von Φ, da es die Dimension
des Spanns von Φ in V ist. Man nennt es den Rang von W . Zum Beispiel hat D m
den Rang 2, während S n den Rang n − 1 hat.
Beispiel 1.8. Wenn Φ den Rang 2 hat, zeige, dass W eine Diedergruppe ist. [Dies wird
nach Satz 1.5 einfacher sein.]
Es gilt: Card(∆) = 2, also dim(span(Φ)) = 2.
Z.Z: W = {s α | α ∈ Φ} bildet die Diedergruppe.
Das Wurzelsystem der Diedergruppe besteht aus Wurzeln, die ein ganzzahliges Vielfaches
π
des Winkel
m
einschlieÿen. Da die Diedergruppe den Rang 2 hat, besteht ihr einfaches
System ∆ D aus zwei Elementen (α und β). Die Verknüpfung der beiden Spiegelungen
s α , s β entspricht einer Drehung um einen Winkel γ, der das doppelte des Winkels zwischen
α und β beträgt: s α s β = r γ . Um alle möglichen Spiegelungen der Gruppe zu erhalten,
müssen die zwei gegebenen in allen möglichen Weisen verknüpft werden. Allerdings macht
es nur Sinn nach der Spiegelung s α s β auszuführen, da s α s α = id, und andersherum. D.h.
die einzigen sinnvollen Kombinationen sind von der Form s q β (s αs β ) k s p α wobei q, p ∈ {0, 1},
je nachdem mit welcher Spiegelung angefangen bzw. aufgehört werden soll. Allerdings
gilt zusätzlich s β (s α s β ) k s α = (s β s α ) k+1 = (s α s β ) −(k+1) und (s β s α ) k = (s α s β ) −k , also
kann man alle möglichen Kombination auch durch (s α s β ) k s p α ausdrücken, wenn man
ganzzahlige Koezienten zulässt.
Nun sollen die möglichen Abbildungen betrachtet werden: Es gilt γ = c 2π m wobei
m die Anzahl der Ecken ist, d.h. rγ
m = id. Es ergeben sich 2m Abbildungen:
id, r γ , rγ, 2 . . . , rγ
m−1 , r γ s α , rγs 2 α , . . . , rγ
m−1 s α . Dies sind alle, da Card(W ) = 2m, schlieÿlich
dürfen Ecken des m-Ecks nur auf Ecken abgebildet werden, d.h. es existieren m
Möglichkeiten wohin eine Ecke abgebildet werden kann. Da auch die Abstände in der
Diedergruppe erhalten werden, kann eine benachbarte Ecke nur auf eine benachbarte
Ecke abgebildet werden, dafür gibt es dann zwei Möglichkeiten (benachbarte Ecke im
und gegen den Uhrzeigersinn). Also existieren insgesamt 2m Möglichkeiten.
Ist nun ein einfaches System ∆ mit zwei Elementen δ, ɛ gegeben, so ndet man alle Spiegelungen
der Gruppe, wie auch schon oebn, durch Verknüpfungen der schon bekannten
s δ und s ɛ , die nur die Form (s δ s ɛ ) k s p δ
haben können (Begründung siehe oben). Es muss
noch gezeigt werden, dass es nur eine bestimmte Anzahl verschiedener Abbildungen gibt.
Behauptung: Es existiert ein minimales k mit (s δ s ɛ ) k = id.
Beweis: ∃k 1 , k 2 mit (s δ s ɛ ) k 1
= (s δ s ɛ ) k 2 . Daraus folgt (sδ s ɛ ) k 1−k 2
= id. Dann kann man
ein minimales k = k 1 − k 2 nden.
Damit ergeben sich die Abbildungen id, r ϕ , rϕ, 2 . . . , rϕ
k−1
gilt (insbesondere für l > k) rϕ l = rϕ
m
, r ϕ s δ , rϕs 2 δ , . . . , rϕ
k−1
wobei m = l mod k, 0 ≤ m ≤ k. Diese bilden
s δ , schlieÿlich
eine Diedergruppe, denn die Abbildungen erhalten ein k-Eck (vgl. Abbildungen einer
Diedergruppe).
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2 Konjugation positiver und einfacher Systeme
Es ist gezeigt, dass positive und einfache Systeme sich gegenseitig in Φ eindeutig festlegen.
Allerdings ist die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass verschieden gewählte einfache
Systeme sich als geometrische Struktur drastisch unterscheiden. Hier soll die Beziehung
zwischen verschiedenen Systemen untersucht werden.
Es folgt direkt aus der Denition, dass für jedes einfache System ∆ und jedes w ∈ W , w∆
auch wieder ein einfaches System mit dazugehörigem positivem System wΠ ist (wenn Π
das durch ∆ bestimmte positive System ist). Um den Übergang von Π zu wΠ besser zu
verstehen, betrachte den Spezialfall w = s α (α ∈ ∆). Man beobachtet, dass Π und s α Π
sich nur in einer Wurzel unterscheiden:
Proposition 2.1. Sei ∆ ein einfaches System, das im positiven System Π enthalten ist.
Wenn α ∈ ∆, dann s α (Π \ {α}) = Π \ {α}.
Beweis. Sei β ∈ Π, β ≠ α mit β = ∑ γ∈∆ c γγ (alle c γ ≥ 0). Die einzigen Vielfachen von α
in Φ sind ±α, d.h. einige c γ > 0 für γ ≠ α in der vorherigen Summe. Jetzt wendet man
s α an: s α β = β −cα = ∑ γ≠α c γγ +(c α −c)α ist eine Linearkombination von Π, die γ mit
dem gleichen Koezienten c γ beinhaltet, weil nur der Koeezient c α durch die Spiegelung
verändert wird. Da alle Koezienten in einem solchen Ausdruck das gleiche Vorzeichen
haben (c α − c > 0, da c α , −c > 0), muss s α β positiv sein. Es kann nicht gelten s α β = α,
da ja c γ > 0, γ ≠ α existieren und eine Darstellung durch eine Linearkombination von ∆
eindeutig ist. Daher wird Π \ {α} von s α (injektiv) in sich selbst abgebildet. ✷
Auÿer der Schlüsselschritt im Beweis des folgenden Satzes zu sein, ist dieses Ergebnis auch
oft hilfreich um zu erkennen, ob eine Wurzel gleich einer gegebenen einfachen Wurzel α
ist: Es charakterisiert α als einzige positive Wurzel, die durch s α negativ gemacht wird.
Satz 2.2. Je zwei positive (bzw. einfache) Systeme in Φ sind konjugiert unter W .
Beweis. Seien Π und Π ′ positive Systeme, sodass jedes genau die Hälfte aller Wurzeln
enthält. Man führt eine Induktion über r = Card(Π∩−Π ′ ) durch. Wenn r = 0, dann gilt
Π = Π ′ und man ist fertig. Wenn r > 0, dann ist klar, dass das einfache System ∆ in Π
nicht komplett in Π ′ enthalten ist. Wähle α ∈ ∆ mit α ∈ −Π ′ . Die vorherige Proposition
impliziert, dass Card(s α Π ∩ −Π ′ ) = r − 1, da s α (Π) = Π \ {α} ∪ {−α} und −α /∈ −Π ′ .
Induktion auf die positiven Systeme s α Π und Π ′ weiter angewendet liefert ein Element
w ∈ W für das w(s α Π) = Π ′ . ✷
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