1 Positive und einfache Systeme

Positive und einfache Systeme, Konjugation
Julia Budde
25. April 2011
Satz 1.7. (a) Wenn ∆ ein einfaches System in Φ ist, dann existiert ein eindeutiges
positives System, das ∆ enthält.
(b) Jedes positive System Π in Φ enthält ein eindeutiges einfaches System; insbesondere
existieren einfache Systeme.
Beweis. (a) Angenommen, das einfache System ∆ ist in einem positiven System Π enthalten.
Dann sind alle Wurzeln, die nichtnegative Linearkombinationen von ∆ sind, auch
in Π (und ihre Negativen nicht), da jedes α ∈ ∆ positiv und die Darstellung durch eine
Linearkombination einer Basis eindeutig ist (∆ ist eine Basis für span(Φ) und es gilt
Π ⊂ span(Φ)). Man kann auÿerdem ∆ zu einer geordneten Basis von V erweitern, wobei
die Elemente von ∆ zuerst aufgeführt werden. Da die Darstellung durch eine Linearkombination
eindeutig ist, sind in Π genau die Wurzeln, die positiv bzgl. der zugehörigen
lexikographischen Ordnung sind. Schlieÿlich haben die Linearkombiationen der positiven
Wurzeln nichtnegative Koezienten, mit denen die Elemente aus ∆ multipliziert werden
und den Koezienten 0 vor allen Elementen aus der Basis, die nicht in ∆ liegen. D.h.
alle positiven Wurzeln sind in dieser Ordnung gröÿer als die Null. Damit ergibt sich, dass
Π ⊃ ∆ das eindeutige positive System ist.
(b) Angenommen für einen Moment, dass das gegebene positive System Π (ausgehend
von einer totalen Ordnung von V ) ein einfaches System ∆ enthält. Dann kann ∆ als
die Menge charakterisiert werden, die alle Wurzeln α ∈ Π enthält, die nicht als Linearkombination
von zwei oder mehr Elementen von Π mit streng positiven Koezienten
darstellbar sind, da ∆ eine Basis ist und somit linear unabhängig sein muss. Darüber
hinaus sind die einzigen Vielfachen einer Wurzel α in Φ {±α} (vgl. R1); dh. die einzige
positive Linearkombination nur eines Elements, dass in Π liegen kann, ist das Element
selbst. Die Darstellung durch eine Linearkombination ist eindeutig. Also ist ∆ das eindeutige
einfache System in Π.
Doch wie kann man ein einfaches System in Π tatsächlich festlegen? Wähle eine minimale
Teilmenge ∆ ⊂ Π, die die Anforderung erfüllt, dass jede Wurzel in Π eine nichtnegative
Linearkombination von ∆ ist. Oensichtlich existieren solche minimalen Teilmenge. Es
muss nur gezeigt werden, dass ∆ linear unabhängig ist.
Mit Propostion 1.6, betrachte was passieren würde, wenn ∆ nicht linear unabhängig wäre:
∑
α∈∆ a αα = 0 mit nicht allen a α = 0. Formuliere dies um als ∑ b β β = ∑ c γ γ, wobei
die Summen über disjunkte Teilmengen von ∆ gebildet werden und alle Koezienten
streng positiv sind. Wenn σ die gerade genannten Summen bezeichnet, dann gilt σ > 0.
Allerdings, wegen Prop. 1.6,
(∑
0 ≤ (σ, σ) = bβ β, ∑ )
a α α ≤ 0
Dies liefert σ = 0, was ein Widerspruch zu σ > 0 ist. Deshalb muss ∆ linear unabhängig
sein. ✷
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