1 Positive und einfache Systeme

Positive und einfache Systeme, Konjugation
Julia Budde
25. April 2011
2 Konjugation positiver und einfacher Systeme
Es ist gezeigt, dass positive und einfache Systeme sich gegenseitig in Φ eindeutig festlegen.
Allerdings ist die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass verschieden gewählte einfache
Systeme sich als geometrische Struktur drastisch unterscheiden. Hier soll die Beziehung
zwischen verschiedenen Systemen untersucht werden.
Es folgt direkt aus der Denition, dass für jedes einfache System ∆ und jedes w ∈ W , w∆
auch wieder ein einfaches System mit dazugehörigem positivem System wΠ ist (wenn Π
das durch ∆ bestimmte positive System ist). Um den Übergang von Π zu wΠ besser zu
verstehen, betrachte den Spezialfall w = s α (α ∈ ∆). Man beobachtet, dass Π und s α Π
sich nur in einer Wurzel unterscheiden:
Proposition 2.1. Sei ∆ ein einfaches System, das im positiven System Π enthalten ist.
Wenn α ∈ ∆, dann s α (Π \ {α}) = Π \ {α}.
Beweis. Sei β ∈ Π, β ≠ α mit β = ∑ γ∈∆ c γγ (alle c γ ≥ 0). Die einzigen Vielfachen von α
in Φ sind ±α, d.h. einige c γ > 0 für γ ≠ α in der vorherigen Summe. Jetzt wendet man
s α an: s α β = β −cα = ∑ γ≠α c γγ +(c α −c)α ist eine Linearkombination von Π, die γ mit
dem gleichen Koezienten c γ beinhaltet, weil nur der Koeezient c α durch die Spiegelung
verändert wird. Da alle Koezienten in einem solchen Ausdruck das gleiche Vorzeichen
haben (c α − c > 0, da c α , −c > 0), muss s α β positiv sein. Es kann nicht gelten s α β = α,
da ja c γ > 0, γ ≠ α existieren und eine Darstellung durch eine Linearkombination von ∆
eindeutig ist. Daher wird Π \ {α} von s α (injektiv) in sich selbst abgebildet. ✷
Auÿer der Schlüsselschritt im Beweis des folgenden Satzes zu sein, ist dieses Ergebnis auch
oft hilfreich um zu erkennen, ob eine Wurzel gleich einer gegebenen einfachen Wurzel α
ist: Es charakterisiert α als einzige positive Wurzel, die durch s α negativ gemacht wird.
Satz 2.2. Je zwei positive (bzw. einfache) Systeme in Φ sind konjugiert unter W .
Beweis. Seien Π und Π ′ positive Systeme, sodass jedes genau die Hälfte aller Wurzeln
enthält. Man führt eine Induktion über r = Card(Π∩−Π ′ ) durch. Wenn r = 0, dann gilt
Π = Π ′ und man ist fertig. Wenn r > 0, dann ist klar, dass das einfache System ∆ in Π
nicht komplett in Π ′ enthalten ist. Wähle α ∈ ∆ mit α ∈ −Π ′ . Die vorherige Proposition
impliziert, dass Card(s α Π ∩ −Π ′ ) = r − 1, da s α (Π) = Π \ {α} ∪ {−α} und −α /∈ −Π ′ .
Induktion auf die positiven Systeme s α Π und Π ′ weiter angewendet liefert ein Element
w ∈ W für das w(s α Π) = Π ′ . ✷
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