Vielecke

Vorlesungsübersicht Wintersemester 2012/13 Mi 10-12 HS 1
Geometrie Modul 4b
benötigte Materialien: Geometrieheft – DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches
Faltpapier/Zettelblock; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
• 17.10. V1 Geometrische Grundbegriffe
• 24.10 V2 Winkelarten (nur Übung)
• 31.10. V3 Grundkonstruktionen und geometrische Örter (Bestimmungslinien)
• 07.11. V4 Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze,
Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
• 14.11. V5 Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung,
besondere Vierecke, Haus der Vierecke, Symmetrien)
• 21.11. V6 Dreiecke (Flächensätze)
• 28.11. V7 Vielecke (Diagonalen, Winkel, Symmetrien, Beziehungen Kreis/n-Ecke)
• 05.12. V8 Kreis (Geraden, Winkel)
• 12.12. V9 Kongruenzabbildungen in der Ebene.
• 19.12. V10 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen
• 09.01. V11 Typisierung von Körpern(Quader, Prismen,
Spitzkörper, Platonische Körper, Kugel)
• 16.01. V12 Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern,
Rauminhalt und Oberfläche von Kugeln)
• 23.01. V13 Ähnliche Figuren (Ähnlichkeitssätze, Ähnlichkeitsbeziehungen)
• 30.01. V14 Zusammenfassung
• 06.02.V15 Klausur
1

Folie aus V6 zur Ähnlichkeit von Dreiecken
Übereinstimmung in zwei
Winkeln
Übereinstimmung in einem
Winkel und dem Verhältnis
der anliegenden Seiten
Übereinstimmung in zwei
entsprechenden
Seitenverhältnissen
Übereinstimmung im Verhältnis
zweier Seiten und dem
Gegenwinkel der größeren Seite
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V7 Vielecke (Polygone)
• 1 Begriffe
• 2 Eigenschaften konvexer Vielecke
– Anzahl der Diagonalen
– Winkelsumme im n-Eck
• 3 Eigenschaften regelmäßiger konvexer
Vielecke
• 4 Falten regelmäßiger Vielecke
Quellen: Krauter. Erlebnis
Elementargeometrie; Duden.
Mathematik; Kusch Mathematik.
3

1 Begriffe
Vielecke (Polygone) sind
abgeschlossene ebene Streckenzüge
aus endlich vielen Strecken.
4

Beispiele: Arten von Fünfecken
• Liegt jede Verbindungsstrecke
zweier Eckpunkte im Inneren (als
Diagonale) oder auf dem Rand (als
Seite), dann ist das n-Eck konvex. Es
hat keinen Innenwinkel, der größer
als 180° ist.
• Ein konkaves n-Eck besitzt
mindestens einen Innenwinkel, der
größer als 180° ist.
• Schneiden sich zwei Seiten, so heißt
das Vieleck überschlagen.
• Ein n-Eck heißt regelmäßig, wenn
alle Seiten gleichlang und alle
Winkel gleichgroß sind.
Polygonion (griech.)-Vieleck; polys – viel;
gonos - Winkel
convexus (lat.) - gewölbt
5

2 Eigenschaften konvexer
Vielecke
-Anzahl der Diagonalen
-Winkelsumme im n-Eck
6

Anzahl der Diagonalen in Vielecken
• Ein Viereck hat 2
Diagonalen.
• Ein Fünfeck hat 5
Diagonalen.
• Ein Sechseck hat 9
Diagonalen.
Mit welchem
Zusammenhang lassen
sich die Diagonalen in
Vielecken ableiten?
7

Ausgangsüberlegung:
Wie viele Strecken lassen sich
ausgehend von einer Ecke
zeichnen?
• Man kann in alle anderen Ecken
außer die eigene Strecken
zeichnen, also n-1 Strecken zu den
übrigen Ecken ziehen.
• Jedoch sind 2 davon keine
Diagonalen sondern Seiten des
Vielecks, also gehen n-3
Diagonalen von jeder Ecke aus.
• Im gesamten Vieleck also n mal
n-3 Diagonalen: n · (n-3)
• Allerdings wird auf diese Weise
jede Diagonale zweimal gezählt. Da
eine Diagonale immer zwei Ecken
miteinander verbindet, muss der
gefundene Term noch durch 2
dividiert werden:
n(n
2
3)
8

• Ein Viereck hat also 2
Diagonalen: 4(4 3)
2
• Ein Fünfeck hat 5
Diagonalen:
5(5 3)
2
• Ein Sechseck hat 9
Diagonalen:
6(6 3)
2
• Ein Siebeneck hat 14
7(7 3)
Diagonalen:
2
• Ein Achteck hat 20
Diagonalen: 8(8 3)
2
9

Winkelsumme des n-Ecks
• Die Winkelsumme in Dreiecken beträgt 180°, in
Vierecken 360°. Wie kann man die
Innenwinkelsumme für ein beliebiges n-Eck
bestimmen?
• Ausgangsüberlegung: Zerlegen eines n-Ecks in
Dreiecke bzw. Aufbau eines n-Ecks aus
Dreiecken
10

• Denkt man sich von einem
beliebigen Punkt P innerhalb
eines n-Ecks Strecken zu allen
Eckpunkten gezeichnet, so
entstehen n Dreiecke. Deren
Innenwinkelsumme beträgt
n · 180°.
• Diese Summe ist jedoch größer
als die gesuchte, denn sie
enthält nicht nur die
Winkelgrößen in den Ecken des
Vielecks sondern auch die
Dreieckswinkel, rund um den
Scheitel P. Diese für die
Innenwinkelsumme nicht
benötigten Winkelgrößen bilden
um P einen Vollwinkel, also
360°.
• Die Summe der Winkelgrößen
im n-Eck beträgt also
n · 180° - 360°.
Überlegung 1
11

• Den auf der
vorangegangen Folie
gewonnenen Term
(n · 180° - 360°) kann man
noch geschickt
umformen, indem man
360° als 2 · 180° schreibt,
also
n · 180° - 2 · 180° und
180° ausklammert:
180° · (n – 2) oder
S n = (n-2) · 180°.
• Die Summe der
Innenwinkel eines n-Ecks
beträgt (n-2) · 180°.
12

Überlegung 2
13

Überlegung 3
Ein konvexes n-Eck kann in (n-2)
Dreiecke zerlegt werden.
Das Zerlegen in Dreiecke
erfolgt ausgehend von
einem Eckpunkt. (s.
Beispiel unregelmäßiges
Sechseck).
Für die Innenwinkelsumme
S n eines beliebigen n-Ecks
ergibt sich S n = (n-2) · 180°.
14

• Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt also (3-2) ·
180° = 180°.
• Die Innenwinkelsumme im Viereck beträgt (4-2) · 180°
= 360°.
• Die Innenwinkelsumme im Fünfeck beträgt (5 – 2) ·
180° = 540°.
• Die Innenwinkelsumme im Sechseck beträgt (6-2) ·
180° = 720°.
15

3 Eigenschaften regelmäßiger
konvexer Vielecke
- Innenwinkel im regelmäßigen n-Eck
- In- und Umkreis
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• Ein n-Eck ist dann
regelmäßig, wenn es n
gleichgroße Winkel und n
gleichlange Seiten besitzt.
(Eine Bedingung allein
genügt nicht.)
• Wir wissen, dass die
Winkelsumme im n-Eck
(n-2) · 180° beträgt. Im
regelmäßigen n-Eck ist diese
Winkelsumme gleichmäßig auf
alle n Innenwinkel des n-Ecks
verteilt.
• Für die Größe jedes Innenwinkels
in einem regelmäßigen n-Eck gilt
demzufolge:
(n-2) · 180°
n
• Jedes regelmäßige n-Eck weist
genau n Achsenspiegelungen und
n Drehungen (einschließlich der
Identität) auf. Nur regelmäßige
Vielecke mit gerader Eckenzahl
sind auch punktsymmetrisch.
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• Jedes regelmäßige n-Eck besitzt
einen Inkreis und einen Umkreis.
• Inkreis und Umkreis besitzen
denselben Mittelpunkt.
• Dieser Mittelpunkt ist ausgehend
vom Umkreis konstruktiv
bestimmbar. Weil jede Seite des
n-Eckes Sehne des Umkreises ist,
geht Ihre Mittelsenkrechte durch
den Mittelpunkt des Kreises.
• Verbindet man den
Kreismittelpunkt mit jedem
Eckpunkt, so wird das n-Eck in n
gleichschenklige, zueinander
kongruente Dreiecke
Die am Mittelpunkt
liegenden Winkel der
Dreiecke sind alle gleich
groß:
(Bestimmungsdreiecke) zerlegt. α = 360°
n
Umkreisradius r 2
Inkreisradius r 1
18

• regelmäßiges Fünfeck
• Alle regelmäßigen
n-Ecke haben jeweils
gleich große
Innenwinkel. Beim
regelmäßigen Fünfeck
beträgt die Größe eines
Innenwinkels 108°.
Innenwinkelsumme:
(n-2) · 180°
3 · 180° = 540°
Größe eines
Innenwinkels:
540° : 5 = 108°
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• Besonderheit: regelmäßiges
Sechseck
• Jedes regelmäßige n-Eck kann man in
n gleichschenklige Dreiecke zerlegen.
• Beim regelmäßigen Sechseck sind die
Winkel an jeder Dreieckspitze 60°
(360°: 6), dann müssen die beiden
Winkel an der Basis auch jeweils 60°
sein. Die Bestimmungsdreiecke im
regelmäßigen Sechseck sind also
gleichseitig.
• Deshalb entspricht auch die Seite des
6-Ecks dem Radius des Umkreises
(sonst nur die Schenkel).
Die am Mittelpunkt
liegenden Winkel der
Dreiecke sind alle gleich
groß: α = 360°
n
• So ist jeder Kreis durch seinen Radius
in ein regelmäßiges Sechseck
zerlegbar. Wenn man also einen Kreis
zeichnet und seinen Radius 5 mal
abträgt, erhält man immer ein
regelmäßiges Sechseck.
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• Quadrat und regelmäßiges
Achteck
• Zwei beliebige, aber
senkrecht aufeinander
stehende Durchmesser
schneiden einen Kreis in
vier Punkten, den vier
Seiten eines regelmäßigen
Vierecks (Quadrat).
• Halbiert man die
Quadratseiten und zeichnet
durch die Seitenmitten
Durchmesser, so erhält man
vier weitere Ecken, die uns
zum regelmäßigen Achteck
führen.
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• regelmäßiges Neuneck
• Die Gleichheit der
Winkel am Mittelpunkt
der Figur ermöglicht das
Zeichnen regelmäßiger
Vielecke.
360°: 9 = 40°
22

Konstruieren mit Hilfe des Kreises
• Durch sechsmaliges Abtragen des
Radius eines Kreises auf der
Kreislinie entsteht ein
regelmäßiges Sechseck.
• Verbindet man drei nicht
benachbarte Punkte, so erhält
man ein gleichseitiges Dreieck.
• Über das Prinzip der
Seitenhalbierung lässt sich
ausgehend vom Quadrat ein
Achteck usf. konstruieren.
Konstruieren mit Hilfe des Quadrates
• Regelmäßige Achtecke kann man
unter Nutzung der Seitenmitten
des Quadrates konstruieren.
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4 Falten regelmäßiger Vielecke
Sechseck – gleichseitiges Dreieck – Ecken zur
Mitte
Achteck aus dem Zauberquadrat
Fünfeck – Papierstreifen knoten
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egelmäßiges Achteck
Quelle: Besuden
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egelmäßiges Fünfeck
s. auch V6, Pentagramm
(Drudenfuß) – Zeichen der
Pythagoräer
Quelle: Besuden
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Aufgabe zur Übung, Woche vom 03.12.-07.12.
• Falten oder zeichnen Sie ein Vieleck.
– Berechnen Sie die Anzahl der Diagonalen und die
Innenwinkelsumme Ihres Vielecks.
– Leiten Sie eine der beiden Formeln gedanklich her.
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