INSTITUT F¨UR REGELUNGSTECHNIK - Institut für Regelungstechnik

INSTITUT FÜR REGELUNGSTECHNIK
Regelungstechnik I
12. Übung
SoSe 2012
Jan Klöck
Aufgabe 12: Zeitoptimale Regelung
Das Bild 12.1 zeigt einen geschlossenen Regelkreis mit einer doppelt integrierenden
Strecke und einem unbekannten nichtlinearen Regler, der im weiteren Verlauf zu bestimmen
ist. Dabei gilt, dass die Regelung zeitoptimal erfolgen soll.
Bild 12.1: Regelkreis mit Doppel-Integrator
DieFührungsgrößew seistückweise konstant,wobeizumZeitpunktt = 0dieSollvorgabe
von w = w 0 auf w = w 0 +∆w umgeschaltet wird.
Entsprechend einer zeitoptimalen Regelung soll die Ausgangsgröße y in kürzestmöglicher
Zeit t e den neuen Führungswert annehmen und stationär halten. Es ist eine Regelvorschrift
derart zu entwerfen, dass die Stellgröße u(t) nur zwischen ±u 0 hin- und
herschalten kann. Die zeitoptimale Stellfunktion u(t) ist somit ebenfalls stückweise konstant.
Die Berechnung des zeitoptimalen Regelgesetzes erfolge mithilfe des Satzes von
Feldbaum.
a) Formulieren Sie das Problem in der Zustandsebene und berechnen Sie für die
eingeführten Zustandsgrößen die Trajektorien.
b) Wie lautet die optimale Schaltlinie?
c) WielautetdaszeitoptimaleRegelungsgesetz?ZeichnenSiedasresultierendeBlockschaltbild,
so dass die gefundene Reglerstruktur deutlich wird.

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Jan Klöck
Lösung
Satz 1 (Satz von Feldbaum) Für ein aperiodisches System G der Ordnung n
(pole{G} = s i , Re{s i } ≤ 0, Im{s i } = 0) gilt, dass
• eine Einschaltung,
• (n−1) Umschaltungen,
• eine Ausschaltung
zum jeweils richtigen Zeitpunkt genügen, um sämtliche Zustandsgrößen von einem beliebigen
Anfangszustand aus in der kürzest möglichen Zeit auf ihre stationären Werte
zu bringen, d.h. das System in den Abgleich zu führen. Man spricht in diesem Fall von
einer optimalen Regelung. Dazu ist eine stückweise konstante Stellfunktion u(t) nötig,
die abwechselnd zwischen einem oberen und einem unteren Maximalwert hin- und herschaltet.
Beispiel: Der Satz von Feldbaum lässt sich anschaulich für ein System dritter Ordnung
anhand der Zustandskurven des Bildes 12.2 demonstrieren.
Bild12.2:ZeitoptimalerSchaltvorgang imZustandsraumfüreinSystem dritterOrdnung
Die Schaltkurve ist durch die Strecke S-P-S’ gekennzeichnet. Man erkennt, dass es von
jedem Punkt der Schaltfläche F mit dem richtigen Vorzeichen der Stellgröße u möglich
ist, zur Schaltkurve zu gelangen. Beginnend bei einem beliebigen Anfangszustand (A)
wird die Stellgröße u mit dem richtigen Vorzeichen eingeschaltet, bis der Zustandspunkt

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12. Übung
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Jan Klöck
auf die Schaltfläche F trifft (B). Nun wird umgeschaltet, worauf sich der Punkt auf der
Schaltfläche zur Schaltkurve S-P-S’ bewegt. Im Schnittpunkt (C) wird die Stellgröße
erneut umgeschaltet, so dass der Systemzustand in den Ursprung läuft. Dort wird die
Stellgröße u schließlich abgeschaltet und das System verharrt im stationären Endwert.
Es wurde also erwartungsgemäß für ein System dritter Ordnung die Stellgröße:
• 1× eingeschaltet,
• 2× umgeschaltet und
• 1× ausgeschaltet.
Dieser Schaltvorgang ist optimal, d.h. es gibt keine andere Möglichkeit, den Ursprung
schneller zu erreichen.
a)
Es werden als Zustandsgrößen der Regelfehler e und seine zeitliche Ableitung ė gewählt.
Durch diese Wahl ist die Darstellung im Zustandsraum unabhängig von der Sollwertvorgabe
w 0 (vgl. Übung 8: Zustandskurven). Es ergeben sich aufgrund des doppelten
Integrators wieder parabelförmige Trajektorien.
Bild 12.3: Zustandskurven einer I2-Strecke
b)
Die zeitoptimale Schaltlinie folgt sofort aus den Zustandskurven:
ė = −sign(e) √ 2u 0 |e|