Versuch 7: Resonanz [pdf - 219 KB]

Versuchsbericht
Physik Labor (11503)
G1:
Pohland, Sandra
Wanner, Eugen
Versuchsdatum: 16.05.2007
Versuch 7: Resonanz

Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeiner Teil 3
1.1 Aufgabenstellungen 3
1.2 Liste beteiligter Geräte 3
1.3 Parameter und Messgrößen 3
1.4 Grundlagen/Versuchsprinzip 3
2 Versuch 1: Bestimmung der Eigenfrequenz f
eigen
4
2.1 Versuchsdurchführung 4
2.2 Messwerte und Auswertung 5
2.2.1 Tabelle mit Messwerten 5
2.2.2 Auswerteformeln und Beispielrechnung 5
2.2.3 Messwerte, Auswertung und Kommentar 5
2.2.4 Fehlerabschätzung und Endergebnis 5
2.2.5 Kommentar 6
3 Versuch 2: Drehfrequenz in Abhängigkeit von der Motorspannung 7
3.1 Versuchsdurchführung 7
3.2 Messwerte und Auswertung 7
3.2.1 Tabelle mit Messwerten und Auswertung 7
3.2.2 Grafik: f err über U mit Ausgleichsgerade 8
3.2.3 Berechnung der Ausgleichsgerade 9
3.2.4 Regressionsrechnung 9
3.2.5 Vergleich der Ergebnisse 10
4 Versuch 3: Resonanzkurve 11
4.1 Versuchsdurchführung 11
4.2 Messwerte und Auswertung 11
4.2.1 Tabelle mit Messwerten 11
4.2.2 Grafik 12
5 Fragen 13
6 Protokoll der Messwerte 13
- 2 -

1 Allgemeiner Teil
1.1 Aufgabenstellungen
Im ersten Versuchsteil soll die Eigenfrequenz f
eigen
des ungedämpft schwingenden Rades
bestimmt werden und bewiesen werden, dass die Eigenfrequenz unabhängig von der
Schwingungsweite des Rades ist. Anschließend wird durch Messung die Drehfrequenz in
Abhängigkeit von der Motorspannung ermittelt. Es soll bewiesen werden, dass dieser Bezug
linear ist. In der dritten und letzten Versuchsdurchführung werden die Messwerte des Systems
mit vordefinierter Dämpfung und den empfohlenen Stufen der Motorspannung in einer
Resonanzkurve abgebildet.
1.2 Liste beteiligter Geräte
Drehpendel mit Erregermotor und Wirbelstrombremse
Stoppuhr
Voltmeter
Amperemeter
zwei Netzgeräte
Verbindungskabel
1.3 Parameter und Messgrößen
Auslenkung (Skalenteile)
Berechnete Zeit T für eine Periode T in s
Gemessene Zeit T für 5 Perioden T
5
in s
Gemessene Zeit T für 10 Perioden T
10
in s
Gemessene Zeit T für 15 Perioden T
15
in s
Mittelwert für T
10
T
10
in s
Mittelwert für eine Periode T in s
Eigenfrequenz f
eigen
in Hz
Erregerfrequenz f
err
in Hz
Spannung U in V
Stromstärke I in A
1.4 Grundlagen/Versuchsprinzip
Die Resonanz wird in der Physik als das erzwungene Mitschwingen eines schwingungsfähigen
Systems (=Resonator), wenn dieses periodisch angeregt wird, beschrieben. Wird ein System
von außen mit einer Erregerfrequenz, welche mit der Eigenfrequenz des Systems
übereinstimmt angeregt, reagiert dieses mit besonders großen Amplituden. Diese Reaktion
wird als Resonanz und bei zerstörenden Auswirkungen als Resonanzkatastrophe bezeichnet.
Unter dem Begriff der Eigenfrequenz eines schwingungsfähigen Systems ist eine Frequenz
(=Anzahl der Schwingungen in der Zeiteinheit) zu verstehen, mit der das System nach
einmaliger Anregung schwingen kann. Bei Vernachlässigung der Dämpfung fällt die
Eigenfrequenz mit der Resonanzfrequenz des Systems zusammen. Die Eigenfrequenz f
eigen
1
lässt sich mithilfe der Periodendauer T wie folgt ermitteln: f eigen
= in Hz.
T
- 3 -

Die Resonanz ist in vielen Bereichen der Physik, insbesondere in der Akustik und der
Elektrodynamik von großer Bedeutung.
Zur Versuchsdurchführung steht ein Drehpendel nach Prof. R.W. Pohl zur Verfügung (s.
Abbildung 1), mit dessen Hilfe exemplarisch erzwungene Schwingungen und
Resonanzphänomene untersucht werden sollen. Dieses schwingende System ist ein
kugelgelagertes Rad aus Kupfer mit einer an dessen Achse befestigten Spiralfeder. Das Ende der
Spiralfeder ist über einen Hebel, und dieser Hebel über einen Pleuel, mit der Kurbel eines Motors
(=Erreger) verbunden.
Befindet sich der Motor in Ruhe und fehlte die Stromversorgung der Wirbelstrombremse, führt
das schwingende System freie Drehschwingungen im Bereich der Eigenfrequenz aus. Bei der
erzwungenen Schwingung fungiert der Motor als Erreger und die Wirbelstrombremse als
Dämpfung des Systems.
Die für den dritten Versuchsteil zu ermittelnde Resonanzkurve veranschaulicht die
Schwingungsamplitude in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz.
1: Skala
2: Zeiger des schwingenden Systems
3: schwingendes System
4: Spiralfeder
5: Elektromagnet (Wirbelstrombremse)
6: Drehzahleinstellung, fein
7: Drehzahleinstellung, grob
8: Antriebsrad und Exzenter
Abb. 1: Drehpendel nach Prof. R.W. Pohl
2 Versuch 1: Bestimmung der Eigenfrequenz f
eigen
2.1 Versuchsdurchführung
Im ersten Versuchsteil soll der Nachweis erbracht werden, dass die Eigenfrequenz des
Drehpendels unabhängig von der Schwingungsweite des Rades ist. Hierbei werden je zwei
Zeitmessungen bei den Anfangsamplituden von 2, 4, 6, …, 20 Skalenteilen notiert.
Damit das Drehpendel freie Drehschwingungen ausführen kann muss der Motor ruhen und
auch die Wirbelstrombremse nicht über die Stromversorgung angeschlossen sein.
Die Messungen erfolgen mit einer Stoppuhr für 10 Bewegungsperioden. Die Genauigkeit des
Ergebnisses lässt sich durch Bildung des Mittelwertes, aus den zwei Zeitmessungen für die
Periodendauer, verbessern.
- 4 -

2.2 Messwerte und Auswertung
2.2.1 Tabelle mit Messwerten
Messung i Skalenteil 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
T in s 18,6 18,6 18,6 18,6 18,7 18,8 18,8 18,85 18,7 18,8
1 101
2 T
10
in s 18,5 18,6 18,7 18,65 18,6 18,8 18,8 18,8 18,8 18,7
2
2.2.2 Auswerteformeln und Beispielrechnung
Unter der Eigenfrequenz f
eigen
ist die Anzahl der Schwingungen in der Zeiteinheit (hier:
1
Sekunde s) zu verstehen. Somit ergibt sich die Formel: f eigen
= in Hz.
T
T10
Zur Berechnung einer Periode wird die Formel T = verwendet.
10
Der Mittelwert T
10
errechnet sich wie folgt: T10 = 1 ⋅ ( T10 + T )
1 102
n
Beispielrechnung für den ersten Tabellenwert:
1
T10
= ⋅ ( 18,6 + 18,5 ) = 18,55 s
2
18,55s
T = = 1,855s
10
1
f = eigen
0,5391Hz
1, 855 s
=
2.2.3 Messwerte, Auswertung und Kommentar
Messung i Skalenteil 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
T in s 18,6 18,6 18,6 18,6 18,7 18,8 18,8 18,85 18,7 18,8
1 101
2 T
10
in s 18,5 18,6 18,7 18,65 18,6 18,8 18,8 18,8 18,8 18,7
2
T10
in s 18,55 18,6 18,65 18,625 18,65 18,8 18,8 18,825 18,75 18,75
T in s 1,855 1,86 1,865 1,8625 1,865 1,88 1,88 1,8825 1,875 1,875
f
eigen
in
Hz
0,5391 0,5376 0,5362 0,5369 0,5362 0,5319 0,5319 0,5312 0,5333 0,5333
Die ermittelten Messwerte ( T und
10 1
T
10 2
) und die damit errechneten Eigenfrequenzen f
eigen
liegen dicht beieinander und lassen erkennen, dass die Eigenfrequenz unabhängig von der
Schwingungsweite des Rades ist.
2.2.4 Fehlerabschätzung und Endergebnis
Um aus den einzelnen Ergebnissen der Eigenfrequenzen eine klare Aussage zu erhalten wird
eine statistische Fehlerrechnung durchgeführt.
- 5 -

f in Hz
( ) ( ) 2
eigen
Skalenteil eigen
feigen
− feigen
feigen
− f
in Hz in Hz 2
2 0,5391 0,0043 0,000019
4 0,5376 0,0029 0,000008
6 0,5362 0,0014 0,000002
8 0,5369 0,0021 0,000005
10 0,5362 0,0014 0,000002
12 0,5319 -0,0029 0,000008
14 0,5319 -0,0029 0,000008
16 0,5312 -0,0036 0,000013
18 0,5333 -0,0014 0,000002
20 0,5333 -0,0014 0,000002
feigen
in Hz 0,5348 Σ 0,000069
Arithmetischer Mittelwert:
n
1 1
feigen
= ∑ feigen
= ⋅ 5,3477 Hz = 0,5348 Hz
10
n i = 1
Standardabweichung:
n
1 1
sf = 0,000069 7,6187 10
eigen
∑ feigen − feigen
= ⋅ Hz = ⋅
n −1 10−1
i=
1
( ) 2 −6
Standardabweichung des Mittelwerts:
s
−6
feigen
7,6187⋅10
Hz
−6
s = = = 2,40924⋅10
Hz
feigen
n 10
Vertrauensgrenze für 95%ige Sicherheit bei n=10:
−6 −6
u95% = s ⋅ t = 2,40924⋅10 Hz⋅ 2,26 = 5,445⋅10
Hz
f eigen
Endergebnis:
( )
f = feigen
± u95% ⇒ f = 0,534772 ± 0,000006 Hz
2.2.5 Kommentar
Wie bereits bei den einzelnen Eigenfrequenzen zu erkennen ist, lässt sich anhand der
statistischen Fehlerrechnung belegen, dass die ermittelte Abweichung minimal schwankt und
somit die Aussage gemacht werden darf, dass die Eigenfrequenz des schwingenden Systems
unabhängig von der Schwingungsweite des Rades ist.
Hz
- 6 -

3 Versuch 2: Drehfrequenz in Abhängigkeit von der Motorspannung
3.1 Versuchsdurchführung
In diesem Versuch soll der Zusammenhang zwischen der Erregerfrequenz f
err
und der
angeschlossenen Spannung U des Motors (=Erreger) untersucht werden. Die Messung erfolgt
in 1V-Schritten von 2V bis 12V.
Der Motor wird durch ein regelbares Netzgerät mit Gleichspannung von max. 24V versorgt.
Mit Hilfe eines digitalen Voltmeters, welches an den Buchsen „Motorprüfspannung“
angeschlossen wird, lässt sich die Motorspannung ablesen. Die Spannungsregelung erfolgt,
durch eingebaute Widerstände, über die Knöpfe „Drehzahleinstellung, fein“ und
„Drehzahleinstellung, grob“. Mit den erhaltenen Messwerten lässt sich die Erregerfrequenz
f bestimmen.
err
3.2 Messwerte und Auswertung
3.2.1 Tabelle mit Messwerten und Auswertung
Spannung U T5, T10,
T
15
in s T in s f
err
in Hz
2 45,20 9,040 0,1106
3 28,00 5,600 0,1786
4 19,70 3,940 0,2538
5 30,80 3,080 0,3247
6 24,90 2,490 0,4016
7 20,80 2,080 0,4808
8 17,85 1,785 0,5602
9 23,65 1,577 0,6342
10 21,00 1,400 0,7143
11 18,90 1,260 0,7937
12 17,40 1,160 0,8621
T
5
T
10
T
15
Die Werte wurden wie in Teil 2.2.2 ermittelt.
- 7 -

3.2.2 Grafik: f err über U mit Ausgleichsgerade
1,0000
0,9000
0,8000
0,7000
0,6000
0,5000
0,4000
0,3000
0,2000
0,1000
0,0000
Grafische Auswertung
0,7937
0,8621
0,7143
0,6342
0,5602
0,4808
0,4016
0,2538
0,3247
df
0,1106
0,1786
dU
0 2 4 6 8 10 12 14
Spannung in V
Einzelwerte der Erregerfrequenz
Erregerfrequenz in Hz
- 8 -

3.2.3 Berechnung der Ausgleichsgerade
Die Messwerte wurden in ein Koordinatensystem mit U für die waagrechte Achse und f
err
für
die senkrechte Achse eingetragen. Durch diese Punkte wird eine Ausgleichsgerade gezeichnet,
dessen Funktion mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermittelt werden kann.
Geradengleichung der Ausgleichsgerade: gx ( ) = mx ⋅ + b
Die Steigung m wird mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmt werden:
Δy
Δf
m = =
Δx
ΔU
Für
Δ f ergibt sich aus der Grafik; Δ f = y2 − y1 = 0,41− 0,26 = 0,15 Hz
und für ΔU
ebenfalls aus der Grafik; Δ U = x2 − x1 = 6− 4=
2V
damit lässt sich die Steigung wie folgt berechnen:
Δf
0,15 Hz
m = = = 0,075
ΔU
2 V
b=−0,05
Hz
Geradengleichung: yˆ = g( x) = 0,075 Hz ⋅U − 0,05Hz
V
3.2.4 Regressionsrechnung
Mit der linearen Regressionsfunktion yˆ = g( x) = ayx + byx
⋅ U lässt sich die Ausgleichsgerade
rechnerisch ermitteln, wobei der Achsenabschnitt;
a
yx
=
n n n n
2
∑xi ∑yi ∑xi ∑xi
i= 1 i= 1 i= 1 i=
1
n
n
2
2 ⎛ ⎞
n⋅∑xi
− ⎜ ∑xi
⎟
i= 1 i=
1
⋅ − ⋅ ⋅y
und der Regressionskoeffizient (Steigung);
b
yx
ist.
i i i i
i= 1 i= 1 i=
1
n
n
2
2 ⎛ ⎞
n⋅∑xi
− ⎜ ∑xi
⎟
i= 1 i=
1
⎝
n n n
∑ ∑ ∑
n⋅ x ⋅y − x ⋅ y
=
⎝
⎠
⎠
i
- 9 -

Tabelle mit Werten für die Regressionsrechnung:
i x in V y in Hz x
i
i
2
i
x ⋅ y
2
y
i
i i
1 2 0,1106 4 0,0122 0,22123894
2 3 0,1786 9 0,0319 0,53571429
3 4 0,2538 16 0,0644 1,01522843
4 5 0,3247 25 0,1054 1,62337662
5 6 0,4016 36 0,1613 2,40963855
6 7 0,4808 49 0,2311 3,36538462
7 8 0,5602 64 0,3139 4,48179272
8 9 0,6342 81 0,4023 5,70824524
9 10 0,7143 100 0,5102 7,14285714
10 11 0,7937 121 0,6299 8,73015873
11 12 0,8621 144 0,7432 10,3448276
Σ 77 5,3145 649 3,2058 45,5785
Rechnung für den Achsenabschnitt:
649⋅5,3145 −77⋅45,5785
a yx
= = − 0,049945
2
11⋅649 −77
Rechnung für den Regressionskoeffizient:
11⋅45,5785 −77 ⋅5,3145
b yx
= = 0,0761545
2
11⋅649 −77
Ergebnis:
yˆ = g( x) = a + b ⋅ U =− 0,04995 + 0,07615⋅
U
yx
yx
Mit dem Korrelationskoeffizient (nach Pearson) lässt sich der Grad des linearen Zusammenhangs
beschreiben:
n n n
1
∑xi⋅yi − ∑xi∑yi
i= 1 n i= 1 i=
1
r =
n n
2
n n
2
⎡
2 1⎛ ⎞ ⎤ ⎡
2 1⎛ ⎞ ⎤
⎢∑xi − xi yi
y
i= 1 n
⎜∑ ⎟ ⎥⋅⎢∑ −
i= 1 i= 1 n
⎜∑ i⎟
⎥
⎢⎣
⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣
⎝ i=
1 ⎠ ⎥⎦
1
45,5785 − ⋅77⋅5,3145
r = 11 = 0,99982
⎡ 1 2⎤ ⎡ 1
2⎤
⎢
649 − ⋅( 77) ⋅ 3,2058 − ⋅( 5,3145)
⎣ 11 ⎥
⎦
⎢
⎣ 11 ⎥
⎦
Der erhaltene Wert sagt aus, dass ein vollständig positiver linearer Zusammenhang zwischen
den betrachteten Merkmalen besteht.
3.2.5 Vergleich der Ergebnisse
Über grafische Ermittlung:
yˆ = g( x) = 0,075 Hz ⋅U − 0,05Hz
V
Über Regressionsrechnung:
yˆ = g( x) = 0,07615 Hz ⋅U − 0,04995 Hz
V
- 10 -

Beide Ergebnisse stimmen nahezu überein. Die feinen Unterschiede sind auf die
Ableseungenauigkeit bei der grafischen Ermittlung der Geradengleichung zurückzuführen.
4 Versuch 3: Resonanzkurve
4.1 Versuchsdurchführung
Im letzten Versuch soll eine Resonanzkurve des schwingenden Systems (=Resonator) erstellt
werden. Das System soll dabei durch eine Wirbelstrombremse gedämpft werden wobei die
Dämpfung durch eine bestimmte Stromstärke (0,1A; 0,3A und 0,5A)vorgegeben wird. Die
Stromstärke wird anhand eines in Reihe geschalteten Amperemeters überwacht. Anschließend
wird der maximale Ausschlag bei vorgegebenen Stromstärken in einer Messwerttabelle notiert.
4.2 Messwerte und Auswertung
4.2.1 Tabelle mit Messwerten
Motorspannung
in V
Stromstärke in A
0,1 A 0,3A 0,5A f
err
in Hz
Skalenteile
5 0,7 0,8 0,8 0,331
6 1,1 1,1 1,3 0,407
7 3,6 3,1 2,2 0,483
7,5 13,2 8,8 3 0,521
7,6 >20 8,9 3,2 0,529
7,7 18,5 7,9 2,9 0,536
7,8 13,5 5,7 3 0,544
7,9 8,8 4,4 2,7 0,552
8 6,1 4,1 2,3 0,559
8,1 4,5 3,3 2,2 0,567
8,2 3,9 2,8 2,1 0,574
9 1,7 1,4 1,1 0,635
10 0,8 0,8 0,8 0,712
11 0,5 0,7 0,4 0,788
12 0,4 0,6 0,3 0,864
Beispielrechnung für U=5V:
Hz
ferr
= 0,07615 ⋅U −0,04995
Hz
V
Hz
ferr
= 0,07615 ⋅5V −0,04995
Hz
V
= 0,3308 Hz
ferr
- 11 -

4.2.2 Grafik
25
20
15
10
5
0
Resonanzkurven
5 6 7 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8 8,1 8,2 9 10 11 12
0,331 0,407 0,483 0,521 0,529 0,536 0,544 0,552 0,559 0,567 0,574 0,635 0,712 0,788
086
Erregerfrequenz und Spannung
V
Hz
0,1A
0,3A
0,5A
Skalenteile
- 12 -

5 Fragen
Frage 1:
Warum ist die Gerade für die Erregerfrequenz f
err
in Abhängigkeit von der Motorspannung U
keine Ursprungsgerade?
Der Elektromotor benötigt zur Überwindung der Startreibung eine geringe Mindestspannung.
Erst wenn diese Reibung überwunden wird fängt das Antriebsrad an sich zu drehen.
Frage 2:
Erklären Sie, wieso die Motorspannung während des Versuchs häufig nicht konstant bleibt?
Die Motorspannung ist abhängig von der Belastung des Motors. Durch Reibungen, welche
durch die mechanische Verbindung von Motor und Drehpendel verursacht werden, schwankt
die Beanspruchung des Motors. Diese Schwankungen werden durch die fluktuierende
Motorspannung sichtbar.
Frage 3:
Warum werden in der Tabelle zu Teil 3 nicht die gemessenen sondern die gerechneten Frequenzen
eingetragen?
Wie im 2. Versuch bewiesen wurde, hängt die Spannung linear mit der Frequenz zusammen.
Um Messfehler zu vermeiden wird daher die Geradengleichung über die Regressionsrechnung
verwendet.
Frage 4:
Im Diagramm zu Teil 3 sollen Sie gemäß Aufgabenstellung die Achse doppelt beschriften. Welche
der beiden Größen ist als wesentlich, welche nur als Hilfsgröße anzusehen?
Die Erregerfrequenz wird hier als wesentliche Größe gesehen. Mit ihr wird die Amplitude
bestimmt. Die Spannungsangabe ist nur eine Hilfsgröße. Die Erregerfrequenz wird sich bei
einem anderen Motor und gleicher Spannung anders verhalten.
Frage 5:
Versuchen Sie dem Schaubild mit den Resonanzkurven zu entnehmen, ob sich die Frequenzwerte
der Maxima mit zunehmender Dämpfung verschieben. Falls ja, in Richtung tieferer oder höherer
Frequenz?
Mit Hilfe des Schaubildes lässt sich nicht eindeutig sagen, dass die Kurve sich verschiebt.
Jedoch kann man einen leichten Trend nach links vermuten. Somit würde sich die Kurve mit
Zunahme der Dämpfung in die tieferen Frequenzen verschieben.
6 Protokoll der Messwerte
- 13 -