7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE - Mathe Online

Vektorrechnung, Analytische Geometrie
r r r
2 2 2
Der Betrag des vektoriellen Produkts beträgt: c = a× b = ( aybz − byaz) + ( axbz − bxaz) + ( axby −bxay)
Betrachtet man den Flächeninhalt eines Parallelogramms, das durch zwei Vektoren r r
a, b aufgespannt wird,
2 2 2
so gilt: A = a⋅ ha
= b⋅ hb
bzw. A = a ⋅ h a
Die Höhe h a ist nach dem pythagoräischen Lehrsatz mit r s a als Projektion von r r
2 2 2
b auf a : h = b − s
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Somit gilt für den Flächeninhalt: A = a ⋅( b − sa) = ab − asa = ab −( a⋅sa)
r r r r
In der vektoriellen Schreibweise ergibt sich also: A = a b −( a⋅b)
a
a
2 2 2 2
Berechnet man diesen Flächeninhalt mit den entsprechenden Koordinaten im Raum, so folgt:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z x y z x x y y z z y z z y x z z x x y y x
A = ( a + a + a )( b + b + b ) − ( ab + ab + ab) = ... = ( ab − ab) + ( ab − ab) + ( ab −ab)
Der Flächeninhalt des durch die Vektoren r r
a und b aufgespannten Parallelogramms ist
gleich dem Betrag des vektoriellen Produkts r r r
r r
c = a× b: A = a×
b
(c)
Normalvektoren
Ein Vektor n
r ≠ o
r , der auf einen gegebenen Vektor a
r ≠ o
r normal steht, heißt Normalvektor
zu a r .
Für die Vektoren a r und n r gilt die Orthogonalitätsbedingung:
r r
an ⋅ = 0
Der Normalvektor zu a
r ax
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ in der Ebene lautet:
a ⎠
y
r
n
ay
r a
y
= ⎛−
⎞
⎜ und n
⎝ a ⎠
⎟ = ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ − a ⎠
1 2
x
x
Im Raum können jedem Vektor unendlich viele Normalvektoren zugeordnet werden. Legt man diese
Normalvektoren in eine Ebene, so ergibt sich eine sogenannte Normalebene. Jedem Vektorpaar läßt sich im
Raum ein Normalvektor zuordnen. Es ist dies der Vektor r r r
n= a× b.
Der Normalvektor im Raum zu einem Vektorpaar r r
a und b lautet:
r r r
n= a×
b
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