7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE - Mathe Online

Vektorrechnung, Analytische Geometrie
Den Abstand der Punkte P 1 und P 2 bezeichnet man als den Betrag des Vektors.
Der Betrag eines Vektors a
r ax
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ist:
a ⎠
y
r
a = a + a
2 2
x y
Durch Ergänzen der Koordinate a z sind die obigen Aussagen über Vektoren der Ebene auf den Raum
erweiterbar.
Vektoren im Raum:
r
a
⎛ x
⎯→ ⎯ ⎜
= PP
1 2=
y
⎜
⎝ z
− x ⎞ ⎛a
⎞
x
⎟
− y
ay
⎟ = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
− z ⎠ ⎝a
⎠
2 1
2 1
2 1
z
r
a = a + a + a
2 2 2
x y z
(b)
Rechenoperationen mit Vektoren
Vektoren werden addiert bzw. subtrahiert, indem die jeweiligen Koordinaten addiert bzw. subtrahiert werden.
r a r
x
b
x
a = ⎛ b
⎝ ⎜ ⎞
⎟ = ⎛ a ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
, ⎟
b ⎠
y
y
r r ⎛a
a+ b = ⎜
⎝a
x
y
+ bx⎞
⎟
+ b ⎠
y
r r ⎛a
a− b = ⎜
⎝a
x
y
− bx⎞
⎟
− b ⎠
y
Graphisch ist die Addition von Vektoren als eine aufeinanderfolgende Verschiebung eines Punktes zu
verstehen. Die Subtraktion ist dann eine Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung des Vektors. Das
Ergebnis der Addition bzw. der Subtraktion ist wieder ein Vektor.
Vektoren werden mit einer reellen Zahl multipliziert, indem die jeweiligen Koordinaten mit dieser Zahl
multipliziert werden.
r
a
ax
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
a ⎠
y
r ⎛ t⋅
ax
⎞
t⋅ a = ⎜ ⎟
⎝ t⋅
a ⎠
y
t ∈ R
Die Multiplikation ist graphisch als wiederholte Verschiebung eines Punktes zu verstehen. Ein negativer
Faktor bewirkt eine Richtungsänderung des Vektors in die entgegengesetzte Richtung. Das Ergebnis der
Multiplikation mit einer Zahl ist wieder ein Vektor.
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