Modellbildung, Simulation und Regelung dynamischer ... - Dieter Kraft

wird. Die Lösungen s 1,2 der charakteristischen Gleichung
q(s) =s 2 − K D s − (g/l + K P )=0
→ Kompendium: Abschnitt
2.3.3
▽!
sind durch geeignete Wahl von K D und K P beide links von der imaginären
Achse zu plazieren, d.h. mit dem PD-Regler läßt sich der Stab stabilisieren.
Was sagt dieses Ergebnis über die Fähigkeit des Menschen als Regler aus?
Die Lösungen der quadratischen Gleichung q(s) können Sie sofort explizit
bestimmen. Gleichungen höherer Ordnung können Sie numerisch mit dem
Digitalrechner lösen und damit die Stabilität des Systems überprüfen. Mit
Hilfe des Routh-Schemas können Sie aber schon allein unter Betrachtung
der Koeffizienten des Polynoms über die Stabilität des Systems entscheiden.
Im Beispiel des PD-geregelten Stabes ergibt sich folgende Anordnung im
Routh-Schema:
s 2 1 −g/l − K P
s 1 −K D
s 0 −g/l − K P
Notwendige und hinreichende Bedingung für Systemstabilität ist, daß die
Vorzeichen der Koeffizienten in der ersten Spalte im Routh-Schema nicht
wechseln und die Werte der Koeffizienten nicht Null werden.
Für unser Beispiel bedeutet dies
1.1.5 Simulation des Stabes
K D < 0 und K P < −g/l.
Übung 1 Wie müssen Sie K D und K P wählen, damit beide Pole bei s 1,2 = −1 liegen?
Versuchen Sie für diesen Fall mit g/l =9die Sprungantwort zu berechnen
und den Graphen der Übergangsfunktion zu skizzieren. Was können Sie über
die stationäre Genauigkeit aussagen?
Die Wahl der Regler-Koeffizienten nach Pol-Vorgabe wie in Übung 1 wird
später als ein wichtiges Regler-Entwurfsverfahren eingehend behandelt.
Übung 2 Mit dem PD-Regler erreichen Sie Stabilität aber keine stationäre Genauigkeit.
Diese bewirkt erst der I-Anteil eines PID-Reglers.
a) Verifizieren Sie für diesen folgendes Ergebnis:
−(K D s 2 + K P s + K I )
G(s) =
s 3 − K D s 2 − (g/l + K P )s − K I
b) Bestimmen Sie die Stabilitätsbedingungen für die drei Regler-Koeffizienten.
Ein wichtiges Werkzeug bei der Untersuchung dynamischer Systeme ist deren
Simulation. Darunter versteht man die Berechnung (und graphische Darstellung)
des Ausgangs des Systems, wenn dieses durch einen beliebigen Eingang
angeregt wird. Die Simulation ist ein Hilfsmittel zur Beurteilung von
Strecke und Regler im Zeitbereich. Man unterscheidet analoge, digitale und
hybride (d.h. eine Verbindung von analoger und digitaler) Simulation. In
Dynamische Systeme 5