Modellbildung, Simulation und Regelung dynamischer ... - Dieter Kraft

1 Modellierung dynamischer Systeme
Der Entwurf eines Regelungssystems wird an einem mathematischen Ersatzmodell
des realen (meist physikalischen) Systems durchgeführt. Die Gründe
hierfür liegen u.a.
• in der permanenten und kostengünstigen Verfügbarkeit des Modells,
• an dem großen Umfang und der hohen Qualität mathematischer Werkzeuge
zum Reglerentwurf mit dem Digitalrechner.
Es ist im allgemeinen Aufgabe des Regelungsingenieurs, für ein geeignetes
Modell zu sorgen. Für die Modellierung technisch-physikalischer Systeme
benötigt er vertiefte Kenntnisse in den Grundlagenfächern Mechanik und
Fluidmechanik, Elektrotechnik und Thermodynamik.
In aller Regel sind die Modelle ein vereinfachtes Abbild der Wirklichkeit.
Einmal sind nicht alle Effekte bekannt, zum anderen dominieren einige
einflußreiche Eigenschaften andere minder bedeutende, deren Beitrag dann
schon aus Wirtschaftlichkeitsgründen der Berechnung unterdrückt wird. Im
folgenden werden Modellierungsbeispiele einfacher und mäßiger Komplexität
aus Gründen der Anschauung und der Übung laufend eingestreut werden.
1.1 Einführendes Beispiel: Balancieren eines Stabes
1.1.1 Modellgleichung
Zur Einführung und zur Wiederholung einiger Begriffe aus der regelungstechnischen
Grundvorlesung wird ein sehr einfaches mechanisches Modell
erläutert, an dem aber schon alle wichtigen Begriffe und Prinzipien eingeübt
werden können: das Balancieren eines Stabes auf der Fingerspitze.
Das Problem soll in der vertikalen ξ–η-Ebene nach Abbildung 1.1 betrachtet
werden. Die Masse m des zu balancierenden Stabes mit der Länge l sei in der
Stabspitze konzentriert, dem Schwerpunkt mit dem Koordinatenpaar (ξ,η).
Der Fußpunkt ξ F des Stabes (Auflage auf der Fingerspitze) bewege sich nur
horizontal, seine Lagekoordinate sei nicht vorgeschrieben. Die Auslenkung
des Stabes aus der gewünschten Vertikalposition sei durch den Winkel φ
angegeben. Dieser Winkel ist die Regelgröße, deren Sollgröße φ S =0ist.
Äußere Kräfte seien nur entlang der Stabachse aufgeprägt, es wirke keine
vertikale Beschleunigung, d.h. im Gleichgewicht gilt mg = f cos φ. Der
Winkel φ sei immer klein, da der Stab sich nicht weit aus seiner Sollrichtung
bewegen soll, d.h. es kann sin φ = φ und cos φ = 1 angenommen werden. 1
1 Mathematische Modelle realer Systeme sind im allgemeinen nichtlinear. In unserem
Beispiel wird Linearität durch die Annahme kleiner Winkelabweichungen von der Sollage
erreicht. Allgemeine Linearisierungsvorschriften werden in Anhang B beschrieben
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