Modellbildung, Simulation und Regelung dynamischer ... - Dieter Kraft

1.2.2.1 Regler-Normalform
Um die Regler-Normalform der Gleichung (1.13) zu erhalten seien sämtliche
Ableitungen der Eingangsfunktion u(t) zunächst zu Null gesetzt, d.h.
d n y(t)
dt n
+ a n−1
d n−1 y(t)
dt n−1
+ ···+ a 1
dy(t)
dt
+ a 0 y(t) =u(t).
Für dieses System betrachten wir das Analogschaltbild entsprechend Abbildung
1.4 und weisen wie in Abschnitt 1.1.5.3 jedem Integrator-Ausgang eine
Komponente x i des Zustandsvektors entsprechend folgender Zuordnungsvorschrift
zu:
x 1 = y,
x 2 = ẏ,
.
x n = (n−1)
y .
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
ẋ 1 = x 2
ẋ 2 = x 3
.
.
.
ẋ n−1 = x n
ẋ n = −a 0 x 1 − a 1 x 2 −···−a n−1 x n + u,
y = x 1 ,
oder in Matrix-Schreibweise:
⎛
⎜
⎝
ẋ 1
.
.
.
.
.
ẋ n
⎞
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
⎞ ⎛
0 1 0 ··· ··· 0
.
. 0 1 .. . .
.
. . .. . .. . .. .
. . . .. 1 0
⎟
0 ··· ··· ··· 0 1 ⎠ ⎜
⎝
−a 0 −a 1 −a 2 ··· ··· −a n−1
x 1
.
.
.
.
.
x n
⎞ ⎛
0
.
+
.
⎟ ⎜ .
⎠ ⎝ 0
1
⎞
u
⎟
⎠
(1.15a)
⎛
⎜
y = (1 0···0) ⎝
x 1
.
x n
⎞
⎟
⎠
(1.15b)
Für die allgemeine Form (1.13) ist der Berechnungsgang umständlicher, das
Ergebnis aber formal nur geringfügig gegenüber (1.15) abgewandelt. Es wird
der folgende Ansatz (1.16) betrachtet:
(n)
ξ +a n−1
(n−1)
ξ + ···+ a 1 ˙ξ + a0 ξ = u (1.16a)
Dynamische Systeme 9