Modellbildung, Simulation und Regelung dynamischer ... - Dieter Kraft

3.1.3 Quadratische Gütefunktion
3.1.3.1 Lyapunov-Gleichung
auf die Geschwindigkeit der Regelung als auch in Bezug auf das Überschwingen
eine deutliche Verbesserung durch die Optimierung. Diese Verbesserung
wird allerdings durch eine größere Stellamplitude erreicht.
Der Wert der minimalen Gütefunktion J min = 1 / 2 x T 0 Px 0 ist, für x 0 =
(1 0) T , J min =27.208.
Die quadratische Gütefunktion im linear-quadratischen Problem
∫ tf
J = 1 (y 2 + ru 2 )dt, (3.29)
2 t 0
hat für den stationären Fall, d.h. t 0 =0, t f →∞, die besonders einfache
semi-analytische Lösung
J min = 1 2 xT 0 Px 0 ,
mit P als Lösung der algebraischen Riccati-Gleichung und den Anfangswerten
x(0) = x 0 des Zustandsvektors.
Kann eine ähnlich einfache Lösung für den Wert einer quadratischen Gütefunktion
auch für allgemeinere Problemstellungen mit vorgegebener Reglerstruktur
u = −k T x (z.B. für das Problem der Polvorgabe) angegeben
werden? Für Probleme der Struktur
J = 1 2
∫ ∞
0
x T (t) ¯Qx(t)dt
mit positiv semidefiniter Gewichtungsmatrix ¯Q,d.h. ¯Q ist symmetrisch, und
unter der Bedingung
ẋ(t) =Āx(t), x(0) = x 0,
mit Ā einer stabilen Matrix, ist die Antwort positiv und lautet ebenfalls
J = 1 2 xT 0 Sx 0,
wobei jetzt S die Lösung der Matrix-Gleichung
SĀ + ĀT S + ¯Q = 0, (3.30)
der sogenannten Lyapunov-Gleichung ist. Die Matrix S ist symmetrisch. Das
Ergebnis folgt nach Einsetzen der Lösung der homogenen Differentialgleichung
x(t) =eĀt x 0 und x T (t) =x T 0 eĀT t
in die Gütefunktion
J = 1 2 xT 0
∫ ∞
0
eĀT t ¯Qe Āt dtx 0 = 1 2 xT 0 Sx 0 .
Dynamische Systeme 39