Modellbildung, Simulation und Regelung dynamischer ... - Dieter Kraft

3.1.2 Die Reglermatrix
3.1.2.1 Polvorgabe
Während in der klassischen Regelungstechnik die Untersuchung des Führungs-
und Störverhalten eines Systems (Antwort des Systems auf Änderungen
der entsprechenden Eingangsgrößen) im Vordergrund steht, wird in
der modernen Regelungstechnik die Systemantwort auf Störungen der Zustandsgrößen
(Änderung von x 0 ) untersucht. Deshalb wird in aller Regel der
Eingang w(t) =0 gesetzt. Damit erhält das Regelgesetz die Form
u(t) =−Kx(t). (3.5)
Die klassische und die moderne Problemstellung sind bei entsprechender
Formulierung äquivalent.
Übung 14 Zeigen Sie, daß folgende Problemstellungen
a) Berechnung der Übergangsfunktion des geregelten Stabes
G(s) = Y (s)
W (s) = −(K D s + K P )
s 2 − K D s − (g/l + K P )
und
b) Antwort des Systems auf eine Störung des Anfangszustandes x 1 (t 0 )= 1
( ) (
)( ) ( ) ( )
ẋ1 (t)
0 1 x1 (t) x1 (t
=
,
0 ) 1
= ,
ẋ 2 (t)
g/l + K P K D x 2 (t) x 2 (t 0 ) 0
( )
x1 (t)
y(t) = (−K P − K D ) ,
x 2 (t)
äquivalent sind in dem Sinne, daß bei a) der Ausgang y(t) dem Eingang
w(t) folgt (stationär nicht genau, siehe dazu Übung 2) und daß bei b) der
Ausgang y(t) auf seinen ursprünglichen Wert y(t) =0geregelt wird.
Die Zustandsdarstellung dynamischer Systeme hat gegenüber der Frequenzbereichsdarstellung
den Vorteil, daß alle Verfahren vom Eingrößenfall (eine
Eingangsgröße, eine Ausgangsgröße) direkt auf den Mehrgrößenfall (mehrere
Eingangsgrößen und/oder Ausgangsgrößen) übertragen werden können.
Wenn im folgenden der Eingrößenfall behandelt wird, dann geschieht dies
nur der einfacheren Herleitungsweise wegen.
Das Regelgesetz
u(t) =−k T x(t)
führt den Systemzustand x(t) bewertet mit dem Reglervektor k auf den
Systemeingang zurück. Da k konstant ist, spricht man auch von konstanter
Zustandsvektorrückführung. Für die Bestimmung der Verstärkung k werden
zwei Verfahren angewendet: die Vorgabe wünschenswerter Pollagen des geregelten
Systems (Polvorgabe) und die Minimierung eines quadratischen Integralkriteriums,
das die Zustandsvariablen und die Eingangsvariablen beinhaltet,
unter der Zustandsdifferentialgleichung als linearer Nebenbedingung
(Linear-quadratischer Regler-Entwurf).
Gegeben sei die Übertragungsfunktion
G(s) = b(s)
a(s) = b n−1 s n−1 + ···+ b 0
s n + a n−1 s n−1 + ···+ a 0
,
Dynamische Systeme 29