Abschlussbericht - PTB

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
Nr.: 05 /09
BMWi
Kurztitel des Projekts:
Abschlussbericht
Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei
kartesischen Koordinatenmessgeräten
Bundesanstalt:
PTB
Projektbeginn: 1.9.2010 Projektende 31.12.2011
1 Projektergebnisse
1.1 Wissenschaftlich-technische Ergebnisse
Messungen auf Koordinatenmessgeräten (KMG) sind u. a. beeinflusst durch Geometrieabweichungen
entlang der Führungsbahnen des KMGs (Abb. 1) sowie durch Messabweichungen
verursacht durch das Tastsystem (Abb. 2). Um die Rückführung von Messungen auf
KMG (Abb. 3) mit höchster Genauigkeit bereitzustellen, müssen diese Fehlereinflüsse erfasst,
analysiert und korrigiert werden.
Abb. 1: Geometrieabweichungen
der Führungen
Abb. 2: Messabweichungen
des Tastsystems
1

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
Abb. 3: Rückführung von 3D-Messungen auf Koordinatenmessgeräten
1.1.1 Ermittlung von kurzperiodischen Fehlern der Führungsbahnen
Kurzperiodische Abweichungen können durchaus signifikant sein. Hier wird der Ansatz
verfolgt, die Abweichungen durch Messung an einer geneigten Fläche zu ermitteln. I. A. besteht
dabei das Problem, eindeutig zwischen kurzwelligen Messabweichungen aus dem
Positionsmesssystem und solchen aus der Geradheitsabweichung der Führungsbahnen zu
unterscheiden.
G
G
Abb. 4: Überlagerung von kurzwelligen Maßstabsabweichungen (a) und Geradheitsabweichungen
(b) bei Messung entlang eines geneigten Lineals
Unter der Annahme konstanter Abweichungen mit den Wellenlängen M für den Maßstab
und G für die Geradheit und den zugehörigen Amplituden AM und AG ergeben sich an einem
mit kleinem Winkel gegen die Führung geneigten Lineal die Wellenlängen bzw. Amplituden
2

Abweichung in µm
Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
wobei
gesetzt werden kann, wenn sehr klein gewählt wird. Wird das Lineal unter
zwei Winkeln 1 und 2 gemessen, verändert sich die Wellenlänge der Geradheitsabweichung
kaum, während sich die Wellenlänge der Maßstabsabweichung linear mit der
Änderung des Winkels ändert. Entsprechend der Theorie wurden Geradheitsmessungen
an verschiedenen geneigten Normalen parallel zu den Verfahrachsen des KMGs durchgeführt.
Die Neigung und Länge des aufgenommenen Profils orientieren sich dabei an der längsten
Wellenlänge M (z. B. 0,2 mm), die erfasst werden soll und die sich auch nach Möglichkeit
in voller Länge im Profil abbilden soll. Die maximal mögliche Messlänge entlang eines
Profils wird dabei durch die Länge des Normals bestimmt. Unter diesen Randbedingungen
wurde eine Messlänge von 100 mm festgelegt, die unter den Neigungen von 0,1° und 0,2°
an gleicher Stelle im Messvolumen gemessen wurden.
Ein erster Ansatz, die Geradheitsmessungen mittels Fast Fourier Transform (FFT) zu analysieren
und per Vergleich der Wellenlängenspektren den Anteil zu ermitteln, der aus den
Maßstabsabweichung stammt, führte nicht zum Ziel. Signifikante Unterschiede zwischen
den Wellenspektren unterschiedlicher Neigung konnten nicht detektiert werden.
Als zielführend erwies sich hingegen, die gemessenen Geradheitsabweichungen in einem
ersten Schritt zu filtern, um insbesondere hochfrequente Schwingungen mit einem
Gaußfilter bis zu einer Grenzwellenlänge S abzuschwächen. Die Grenzwellenlänge S richtet
sich dabei nach der kleinsten gesuchten Wellenlänge M. In Anhängigkeit vom Winkel
gilt S M//p mit p > 1, wobei p meist 2 gewählt wurde. Aufgrund des Signal-Rausch-Verhältnisses
erwiesen sich das Abtastintervall von 0,01 mm (im Scanning-Modus) bzw. 0,1
mm (bei Einzelpunktantastung) als ausreichend klein im Vergleich zu den Intervallen 0,5
mm und 1 mm. Abb. 5 zeigt beispielhaft ein im Einzelpunktmodus gemessenes Oberflächenprofil
(blau) bei einer Linealneigung von 0,1° und rot das mit einem Gaußfilter gefilterte
Geradheitsprofil (S = 5 mm).
0.2
Profil / Einzelpunktmessung 0.1 mm / Neigung 0.1° / 2 von 5
0.1
0.0
-0.1 470 490 510 530 550 570
-0.2
-0.3
Profillänge in mm
Abb. 5: Oberflächenprofil entlang eines Lineals (blau) und tiefpassgefiltertes Profil (rot)
3

Abweichung in µm
Korrelation
Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
Zum Auffinden von Periodizitäten wurde dann in einem zweiten Schritt die Korrelation des
gefilterten Profils mit sich selbst bei unterschiedlichen Verschiebungen zwischen den
Stützstellen berechnet. Das Ergebnis ist eine Autokorrelationsfunktion wie in Bild 6 dargestellt.
Die Nulldurchgänge, Maxima bzw. Minima dieser Funktion lassen sich in einfacher
Weise detektieren. Die Abstände dazwischen spiegeln die Wellenlänge wider. In dem
gezeigten Beispiel beträgt im Mittel
, woraus sich für den kurzperiodischen
Teilungsfehler ergibt. Die Einzelwerte von variierten zwischen
den Grenzen
für die einzelnen Wiederholungsmessungen. Daraus
resultiert eine relative Unsicherheit für die Bestimmung von M von 10 % bzw. 2 µm.
1.0
0.5
Autokorrelation / Einzelpunktmessung 0.1 mm /
Neigung 0.1°/ 2 von 5
0.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.5
-1.0
Korrelationslänge in mm
Abb. 6: Autokorrelationsfunktion des gefilterten Profils
Abb. 7 zeigt beispielhaft ein Oberflächenprofil blau bei einer Linealneigung von 0,2° und
rot das gefilterte Geradheitsprofil (S = 2,6 mm). Die zugehörige Autokorrelationsfunktion
ist in Bild 8 dargestellt. Hier werden neben kurzperiodischen Fehleranteilen auch langwellige
Geradheitsabweichungen deutlich.
0.2
0.1
0.0
470
-0.1
490 510 530 550 570
-0.2
-0.3
Profil / Einzelpunktmessung 0.1 mm / Neigung 0.2° / 6 von 7
Profillänge in mm
Abb. 7: Oberflächenprofil bei einer Neigung von 0.2°
4

Korrelation
Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
1.0
0.5
Autokorrelation / Einzelpunktmessung 0.1 mm /
Neigung 0.2° / 6 von 7
0.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.5
-1.0
Korrelationslänge in mm
Abb. 8: Autokorrelationsfunktion aus kurz- und langwelligen Geradheitsabweichungen
Um die Amplituden der kurzwelligen Maßstabsabweichungen betragsmäßig abschätzen zu
können, wurde das gefilterte Profil durch eine trigonometrische Summe folgender Art approximiert.
Hierin sind i die aus der Autokorrelationsfunktion geschätzten Wellenlängen der lang-
und kurzperiodischen Geradheitsabweichungen. Im Allgemeinen ist n =
=
gleich der
Wellenlänge des kurzperiodischen Fehlers. Der Wert
für die Amplitude des kurzperiodischen
Fehlers ergibt sich dann aus , wobei . Die
Koeffizienten an und bn wurden bestimmt, indem für die gemessenen Geradheitsabweichungen
di die Quadratsumme der Widersprüche =(di-s(x)) 2 nach der Methode der
kleinsten Quadrate minimiert wurde.
Im Rahmen des Projekts sind intensive Untersuchungen auf der Koordinatenmessmaschine
PMM 866/Nr. 570 durchgeführt und – wie beschrieben - die kurzperiodischen Fehler analysiert
worden. An Linealen mit der Neigung 0,1°, 0,2° und 0,3° waren dazu Geradheitsmessungen
parallel zu den Achsen der Maschine durchgeführt wurden. Als Amplitude des
kurzperiodischen Teilungsfehlers wurden Werte 0,02 µm ermittelt bei einer mittleren
Wellenlänge von (20 2) µm.
1.1.2 Kompensation von kurzperiodischen Fehlern durch Mittelung
Der Einfluss von kurzperiodischen Fehlern lässt sich durch Mittelung reduzieren. Ein kurzperiodischer
Fehler mit der Amplitude und der Wellenlänge verursacht an der Position
eine Messabweichung . Für die Position ändert sich das Vorzeichen von
, so dass die Summe der Messabweichungen ist. Für die
praktische Anwendung heißt das, dass der Einfluss kurzperiodischer Fehler bei Messungen
verschwindet. Dies ist so, wenn quer zur Richtung der zu bestimmenden Messgröße eine
gerade Anzahl n von Messpunkten ( n = 2, 4, 6, 8, …) derart angeordnet wird, dass deren
5

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
Projektion auf die Maschinenachsen in ein Intervall der Länge
kurzperiodischen Messabweichungen paarweise tilgen.
fällt und sich die
Angewendet auf die Messung eines Endmaßes bedeutet dies, dass das Endmaß nicht exakt
parallel zu den Maschinenachsen des KMGs ausgerichtet werden sollte, sondern leicht
schräg mit dem Winkel zu einer der Maschinenachsen. Die Größe des Winkels ergibt sich
dabei aus
Längsachse des Endmaßes in der Ebene des Winkels
, wobei b die Länge des Bereichs bezeichnet, in dem quer zur
die n Messpunkte auf den Messflächen
äquidistant anzuordnen sind. Angenommen die Wellenlänge des kurzperiodischen
Fehlers beträgt 20 µm, b = 10 mm und n = 6, so ergibt sich für den Winkel ein Wert
von 0,095°. Auf den Messflächen werden dann entlang einer Linie sechs Punkte äquidistant
im Abstand von 2 mm ( = b/(n-1) ) angetastet, um den Einfluss des kurzperiodischen
Fehlers zu minimieren.
Auch bei Messung eines Kugelstabes kann der Einfluss der kurzperiodischen Fehler durch
eine angepasste Messstrategie reduziert werden. Der Kugelstab wird dazu annähernd parallel
zu einer Maschinenachse ausgerichtet ( 1°). Abhängig vom Radius R der Kugeln
des Stabes und der Wellenlänge des kurzperiodischen Fehlers werden auf beiden
Kugeln Punkte auf einem Kugelabschnitt bzw. Kreisabschnitt zusätzlich angetastet. Für die
Länge der Sehne a des Kreisabschnitts gilt: . Mit = 20 µm und R =
15 mm ergibt sich beispielsweise a 1,55 mm. Entlang des Bogens sind auf den Kugeln n
Antastpunkte wie folgt zu verteilen. Beginnend mit dem Polpunkt, in dem die Gerade durch
die Mittelpunkte der beiden Kugeln des Stabs die Kugeloberfläche schneidet, werden auf
der einen Hälfte des Kreisbogenabschnitt Einzelpunkte im Abstand von ai = a/2/(i-1) mit i
= 2, 4, 6, … n angetastet, auf dem anderen Halbbogen im Abstand von aj = a/2/(j-1) mit j =
1, 3, 5, … n, um den Einfluss kurzperiodischer Fehler zu minimieren. Der Kreisbogenabschnitt
liegt dabei wahlweise in einer der beiden Ebenen, die durch die beiden Maschinenachsen
nahezu rechtwinklig zur Längsrichtung des Kugelstabs aufgespannt wird
(Bild 9).
Abb. 9: Messtechnische Elimination von kurzperiodischen Fehlern (Prinzipskizze)
1.1.3 Richtungsabhängige Antastabweichungen
Das kurzperiodische Abweichungsverhalten von Koordinatenmessgeräten wird außer von
Teilungsfehlern der Linearachsen zusätzlich durch Messabweichungen des Tastsystems
bestimmt. Letztere werden üblicherweise mit Hilfe einer Prüf- oder Kalibrierkugel bestimmt.
Die Rundheitsabweichung der Prüfkugel ist bei neuen, hoch-präzisen Koordinatenmessgeräten
nicht zu vernachlässigen. Durch Kalibrierung der vollständigen Oberflächentopographie
der Prüfkugeln soll erreicht werden, dass eine genaue und zuverlässige Tren-
6

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
nung zwischen Fehlern des Antastsystems und Unrundheiten der Prüfkugel mit bislang
einmaliger Ortsauflösung möglich wird.
Zur Erprobung des Fehlertrennverfahrens und zur quantitativen Abschätzung von Fehlerbeiträgen
sind Testmessungen an bekannten, herkömmlich kalibrierten Stahl- und Keramikkugeln
durchgeführt worden. Für einzelne Großkreise beträgt deren sphärische Rundheitsabweichung
0,1 µm bei einer Kalibrierunsicherheit von gleichfalls 0,1 µm. Bei den
Messungen wurde jeweils die obere Halbkugel der Prüfkugeln in einem konstanten Gitterabstand
von 7,5° an 577 Positionen angetastet. Um relative Verschiebungen der Kugelposition
gegenüber den mechanischen Geräteachsen während der Dauer der Messung (ca. 1
Std) zu erkennen und ggfs. zu eliminieren, sind die Messpunkte im Vor- und Rücklauf angetastet
worden. Ausgeprägte, zeitabhängige Driften wurden vereinzelt bei den Wiederholungsmessungen
beobachtet und durch Mittelung von Vor- und Rücklauf eliminiert. Zur
Bestimmung von Messabweichungen in Abhängigkeit von der Antastrichtung sind die
Messpunkte einer Ausgleichung nach der Methode der Kleinsten Quadrate unterzogen
worden. Die orthonormalen Abstände der Messpunkte (Abweichungen) zur besteingepassten
Kugel wurden statistisch untersucht. Dazu standen je Versuchsreihe Daten aus 20
gleichartigen Wiederholungsmessungen zur Verfügung. Die Messungen fanden auf zwei
ultrapräzisen Geräten mit hochgenau messendem Tastkopf statt. Die Geräte stammten von
unterschiedlichen Herstellern. Bei einem Gerät wurden die Messungen mit zwei unterschiedlichen
Antastkräften (Normalkraft und „LowForce“) wiederholt. Es zeigte sich, dass
die ermittelten Messabweichungen tendenziell für beide Geräte ähnliche Charakteristiken
aufweisen. Signifikant unterschiedliche Messabweichungen in Abhängigkeit von der Antastkraft
wurden bei Standardtastern nicht festgestellt. Für beide Messmaschinen wurden
relativ kleine systematische Messabweichungen analysiert.
Die Wiederholgenauigkeit für Punkte gleicher Position liegt bei 0,04 µm (Standardmessunsicherheit
berechnet aus jeweils 20 Wiederholungsmessungen, quadratisch gemittelt über
Messungen an 577 unterschiedlichen Positionen auf der Kugeloberfläche). Die Standardmessunsicherheit
berechnet aus 577 Messabweichungen zur jeweils besteingepassten
Kugel liegt bei 0,10 µm (Mittelwert aus 20 Wiederholungsmessungen). Bild 10 zeigt exemplarisch
die auf einem KMG vom Typ PMM 12106 ermittelten, mittleren Antastabweichungen.
Zu erkennen ist, dass die maximale Messabweichung bei ca. ± 0,3 µm liegt. Ursachen
für die Abweichungen können sein: (1) Rundheitsabweichungen der Prüfkugel, (2) Rundheitsabweichungen
der Tastkugel am Koordinatenmessgerät, (3) unvollständig korrigierte
systematische Fehler des Tastsystems.
7

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
Molweide-Projektion
Polar-Projektion
Abb. 10: Antastabweichungen auf einer Halbkugel in µm
Bild 11: Korrelation der Antastabweichungen für „steifen“ Taster
8

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
Die Analyse der Antastabweichungen zeigt, dass die verschiedenen Messreihen durchschnittlich
mit r = 0,7 korreliert sind. Bild 11 zeigt beispielhaft die Auswertung für eine
Messung auf einem KMG vom Typ UPMC 1200 mit Standardtaststift und Standardantastkraft.
Ähnliche Korrelationen konnten auch für Maschinen vom Typ PMM 866 und
PMM 12106 nachgewiesen werden. Dies ist ein klares Indiz für systematische,
positionsabhängige Restabweichungen.
Bild 12: Korrelation der Antastabweichungen für einen „weichen“ Taster -
Standardantastkraft vs. „Low Force“
Die Untersuchungen zeigten, dass das Korrelationsverhalten bei Messung mit Standardtastern
in erster Näherung unabhängig von der Antastkraft ist. Bild 12 zeigt demgegenüber
die Auswertung für Messungen mit einem „weichen Taster“ (Taststift abgewinkelt um 45°)
bei zwei unterschiedlichen Antastkräften (Standardantastkraft vs. Low-Force). Deutlich ist
zu erkennen, dass die Korrelation der Antastabweichungen zwischen normaler und kleiner
Antastkraft („low force“) relativ gering ist.
1.1.4 Neuartiges Kalibrierverfahren für Prüfkugeln
Die obigen Untersuchungen zum Antastverhalten wurden mit kalibrierten Kugeln durchgeführt,
wie sie standardmäßig zum Einmessen oder Prüfen von Tastsystemen auf KMGs
benutzt werden. Die Rundheit dieser Kugeln wird üblicherweise entlang ausgewählter
Schnitte (Großkreise) mit herkömmlichen Rundheitsmessgeräten geprüft. Die gemessenen
Rundheitsabweichungen in diesen Schnitten lagen bei den verwendeten Kugeln bei 0,1
µm. Es konnte jedoch experimentell gezeigt werden, dass diese kleinen Rundheitsabweichungen
signifikant die Messungen beeinflussen. Wie oben berichtet, sind Messreihen
zur Ermittlung systematischer Antastabweichung sehr gut reproduzierbar. Der Korrelationskoeffizient
beträgt durchschnittlich r = 0,7. Für Messungen, bei denen die Prüfkugel
gegenüber dem Maschinen-Koordinatensystem nur gedreht wurde, fällt der Korrelations-
9

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
koeffizient auf r = 0,5 ab. Dies verdeutlich, dass für die hochpräzise Prüfung von Tastern
Prüfkugeln benötigt werden, deren Rundheitsabweichungen flächenhaft mit kleiner Messunsicherheit
bekannt ist, um diese beim Prüfen von Tastern für jeden einzelnen Messpunkt
korrigieren zu können.
Da kommerziell erhältliche Einmesskugeln zur Bestimmung von Rundheitsabweichungen
im Kugelinterferometer der PTB ungeeignet sind, wurden drei präzise Stahlkugeln mit
geeigneter Oberfläche (Rauheit, Formabweichung) beschafft.
Um die Oberflächentopographie von Kugeln mit einem Durchmesser von 30 mm im Kugelinterferometer
der PTB zu bestimmen, ist ein spezieller Adapter zur Lagerung und Zentrierung
der Kugeln in der Mitte der Messapparatur notwendig. Ein derartiger Adapter (Bild
13) wurde im Wissenschaftlichen Gerätebau der PTB gefertigt und Anfang des Sommers
fertig gestellt. Messungen mit dem Adapter zeigten jedoch, dass die Fertigungsabweichungen
zum Teil zu groß waren. Der Adapter musste daher nachgearbeitet werden, so dass die
Kalibrierung der Prüfkugel im Kugelinterferometer erst im Herbst begonnen werden
konnte.
Bild 13: Adapter zur Aufnahme der Prüfkugel im Kugelinterferometer
Die Durchführung der Messungen im Kugelinterferometer war sehr zeitaufwendig, da die
gesamte Kugeloberfläche nicht in einem einzigen Messprozess vollständig erfasst werden
konnte. Das Kugelinterferometer musste immer wieder geöffnet werden, um die Kugel
manuell neu auszurichten und um so sukzessive die Kugeloberfläche in mehreren Teilabschnitten
komplett zu erfassen. Dabei ging stets das Vakuum verloren. Das Aufbauen eines
neuen Vakuums kostete stets viel Zeit.
Bild 14 zeigt das Ergebnis der Messungen im Kugelinterferometer: Die rekonstruierte
Oberflächentopographie mit einzelnen Fehlstellen (schwarz), die nicht erfasst werden
konnten, wie z. B. die Sackbohrung mit Gewinde zum Aufstielen der Kugel. Die Unsicherheit
der Rundheitsabweichungen beträgt weniger als 50 nm.
10

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
Molweide-Projektion
Bild 14: Rekonstruktion der Oberflächentopografie der Prüfkugel
1.1.5 Beschreibung der Form der Prüfkugel durch Kugelflächenfunktionen
Die Oberflächentopographie einer Kugel, d. h. deren Rundheitsabweichungen r zum mittleren
Radius r0, lässt sich durch Kugelflächenfunktionen in Abhängigkeit von Breite und
Länge beschreiben.
In der angegebenen Funktion (Bild 15) sind die Legendre-Polynome
als
Funktion der Poldistanz (Winkel zwischen Breitenkreis und Pol) bekannt. Hingegen sind
die Koeffizienten Aim und Dim zunächst unbekannt. Liegen diskrete Messpunkte vor, die die
Oberfläche der Kugel beschreiben, so lassen sich die Koeffizienten nach der Methode der
Kleinsten Quadrate schätzen, indem die Quadratsumme der Widersprüche zwischen den
gemessenen Abständen der Oberflächenpunkte zum Kugelmittelpunkt und den Radien aus
der Kugelflächenfunktionen minimiert wird. Von Vorteil ist, dass die Funktion zur Besteinpassung
zu linearen Fehlergleichungen führt und daher keine Iteration notwendig ist. Zu
beachten ist, dass die Legendre-Polynome normiert werden, da sonst deren Zahlwerte
recht groß werden können.
11

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
f ( ,
) ( A
00
cos0 D
00
sin 0) P
0
0
( A
10
cos0 D
10
sin 0) P
0
1
( A
11
cos
D
11
sin )
P
1
1
( A
20
cos0 D
20
sin 0) P
0
2
( A
21
cos
D
21
sin )
P
1
2
( A
22
cos 2
D
22
sin 2
) P
2
2
( A
30
cos0 D
30
sin 0) P
0
3
( A
31
cos
D
31
sin )
P
1
3
( A
32
cos 2
D
32
sin 2
) P
2
3
( A
33
cos3
D
33
sin 3
) P
3
3
( A
40
cos0 D
40
sin 0) P
0
4
( A
41
cos
D
41
sin )
P
1
4
( A
42
cos 2
D
42
sin 2
) P
2
4
( A
43
cos3
D
43
sin 3
) P
3
4
( A
44
cos 4
D
44
sin 4
) P
4
4
...
f ( ,
) r
0
n
i1
( A
i1
cos
D
i1
sin )
P
1
i
n
i2
( A
i2
cos2
D
i2
sin 2
) P
2
i
n
i3
( A
i3
cos3
D
i3
sin 3
) P
3
i
n
i4
( A
i4
cos4
D
i4
sin 4
) P
4
i
n
i5
( A
i5
cos5
D
i5
sin 5
) P
5
i
n
i6
( A
i6
cos6
D
i6
sin 6
) P
6
i
n
i7
( A
i7
cos7
D
i6
sin 7
) P
7
i
...
Bild 15: Kugelflächenfunktion zur Ermittlung, Interpolation und rechnerischen Korrektur von sphärischen Rundheitsabweichungen
12

Aufnahme und Elimination kurzperiodischer Fehler bei kartesischen Koordinatenmessgeräten
1.1.6 Korrektur von räumlichen Antastabweichungen aufgrund von Rundheitsabweichung
der Prüfkugel
Sind aus den diskreten Messpunkten die Koeffizienten für die Kugelflächenfunktion nach
der Methode der Kleinsten Quadrate geschätzt worden, kann für jeden beliebigen Punkt auf
der Kugeloberfläche eine Rundheitsabweichung ri(,) rechnerisch bestimmt werden.
Bild 16 (rechts) zeigt die Antastabweichungen für die obere Halbkugel der kalibrierten
Prüfkugel, ermittelt an 577 Positionen in einem konstanten Gitterabstand von 7,5°.
Bild 16 (links) zeigt die für die Antastpunkte berechneten Rundheitsabweichungen der
Prüfkugel.
Zu beachten ist, dass sich die Anzahl und Verteilung der Messpunkte bei der Ermittlung der
Antastabweichung deutlich von der Anordnung der Messpunkte bei der Kalibrierung im
Kugelinterferometer unterscheidet. Dies führt i. A. dazu, dass sich – abgesehen von Messabweichungen
- der Radius, der als Bezug für die Antastabweichungen die Kugeloberfläche
festlegt, allein aufgrund der Oberflächentopographie zwischen beiden Messungen unterscheidet.
Um diesen Unterschied auszugleichen, müssen die beiden Radien angepasst
werden. Dies geschieht durch Berechnung eines Offsets r0. An den 577 Positionen, an
denen die Antastabweichung ermittelt wurde, muss die Summe der Rundheits- und die der
Antastabweichungen gleich null sein. Für die Antastabweichungen ist dies durch das Messund
Auswerteverfahren erfüllt. Für die im Kugelinterferometer gemessenen Rundheitsabweichungen
ist dies nicht der Fall. Der Offset ergibt sich dann aus der Bedingung
für j = 1, …, 577, wobei die Rundheitsabweichungen sind,
die an jenen Positionen bestimmt wurden, an denen auch die Antastabweichungen ermittelt
wurden. Bild 16 (links) zeigt die so angepassten Rundheitsabweichungen, rechts
daneben die an der gleichen Prüfkugel auf einem Koordinatenmessgeräte ermittelten
Antastabweichungen.
Polar-Projektion
Bild 16: links: Rundheitsabweichungen der Prüfkugel
rechts: gemessene Antastabweichungen (in µm)
13