Übung 05 - CDC - Technische Universität Darmstadt

Die ShiftRows-Transformation ist
⎛
⎞ ⎛
⎞
s 0,0 s 0,1 s 0,2 s 0,3 s 0,0 s 0,1 s 0,2 s 0,3
s
ShiftRows: −→ : ⎜ 1,0 s 1,1 s 1,2 s 1,3
⎟
⎝s 2,0 s 2,1 s 2,2 s 2,3 ⎠ −→ s
⎜ 1,1 s 1,2 s 1,3 s 1,0
⎟
⎝s 2,2 s 2,3 s 2,0 s 2,1 ⎠ .
s 3,0 s 3,1 s 3,2 s 3,3 s 3,3 s 3,0 s 3,1 s 3,2
Die MixColumns-Transformation wird beschrieben durch
⎛
⎞
{02} {03} {01} {01}
{01} {02} {03} {01}
MixColumns: −→ : S −→ ⎜
⎟ · S =: M · S,
⎝{01} {01} {02} {03} ⎠
{03} {01} {01} {02}
wobei S die Statusmatrix ist und die Matrix M hexadezimale Einträge besitzt.
(a) Finden Sie für (11000011), DF und x 5 +x 3 +x alle Darstellungen, also jeweils Polynom, Binär- und Hexadezimalzahl.
(b) Berechnen Sie
ShiftRows(D8 56 F2 BA E0 41 BB F1 C7 A4 69 E7 1E 24 D3 AC).
(c) Geben Sie die Umkehrfunktion von ShiftRows an und berechnen Sie
ShiftRows −1 (B5 14 D8 75 AD 21 8C 27 E3 DF 5A B4 91 F F 37 05).
(d) Sei s = (D8, 41, 69, AC) T die erste Spalte der Statusmatrix S nach der ShiftRows-Transformation (in hexadezimaler
Notation). Berechnen Sie MixColumns(s), d.h. den nächsten Schritt von AES, der auf der Spalte s durchgefürt werden
würde.
(e) ∗ Sei S die Statusmatrix nach der ShiftRows-Transformation von Aufgabenteil (b). Berechnen Sie MixColumns(S).
Dieser Aufgabenteil ist freiwillig!
H1 Polynominversion in einem anderen Körper
Sei 7 = /7 der endliche Körper mit 7 Elementen. Wir definieren das Polynom p(x) = x 4 + 1 und den Körper
= 7 [x]/p(x) 7 [x].
Berechnen Sie das Inverse für das Polynom f (x) = x 2 + x + 2 in .
Hinweis: Benutzen Sie den erweiterten Euklidischen Algorithmus, um mittels gcd(f (x), p(x)) = g das Inverse zu finden.
Solange g ∈ 7 \ {0} ist, können Sie aus g das Inverse zu p(x) berechnen. (Warum geht das?)
H2 S-Box in AES (SubBytes)
Sei der AES-Körper. Seien weiter
⎛
⎞
1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 1 0
A =
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
⎜
1 1 0 0 0 1 1 1
⎟
⎝1 1 1 0 0 0 1 1⎠
1 1 1 1 0 0 0 1
⎛ ⎞
0
1
1
und c =
0
0
,
⎜
0
⎟
⎝1⎠
1
dann entspricht die in AES verwendete S-Box der Funktion
S : \ {0} −→ \ {0} : s −→ A · s −1 + c.
Dabei identifizieren wir Vektoren mit Polynomen. Zum Beispiel ist (10010011) T ˆ= x 7 + x 4 + x +1 (vgl. auch Aufgabe P3).
Berechnen Sie S(x 4 + x + 1) und S(x + 1). Geben Sie die Ein- und Ausgaben als Polynome, Binärzahlen und Hexadezimalzahlen
an.
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