Übung 05 - CDC - Technische Universität Darmstadt

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT
FACHGEBIET THEORETISCHE INFORMATIK
PROF. JOHANNES BUCHMANN
FATEME SHIRAZI
Einführung in die
Kryptographie
WS 2012/2013
5. Übungsblatt — 16.11.2012
P1 Multiplikation im AES-Körper
Sei 2 = /2 der endliche Körper mit 2 Elementen. Das AES-Polynom ist p(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x +1 und der AES-Körper
ist = 2 [x]/p(x) 2 [x]. Gegeben seien weiterhin die folgenden Polynome:
a(x) = x 3 + x 2 + 1, b(x) = x 5 + x 2 + x, c(x) = x 7 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
d(x) = x 6 + x + 1, e(x) = x 4 + x 2 + 1
(a) Berechnen Sie für 8 ≤ k ≤ 12 den jeweiligen Repräsentanten von x k minimalen Grades in .
(b) Bestimmen Sie für folgende Produkte den Repräsentanten mit minimalem Grad. Benutzen Sie dafür die in (a) erhaltenen
Ergebnisse.
i) a(x) · b(x)
ii) c(x) · e(x)
iii) d(x) · e(x)
P2 Inversion im AES-Körper
Sei 2 = /2 der endliche Körper mit 2 Elementen. Das AES-Polynom ist p(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x +1 und der AES-Körper
ist = 2 [x]/p(x) 2 [x].
Berechnen Sie in das Inverse für die angegebenen Polynome:
(a) a 1 (x) = x + 1
(b) a 2 (x) = x 4 + x + 1
Hinweis: Benutzen Sie den erweiterten Euklidischen Algorithmus, um mittels gcd(a i (x), p(x)) = 1 das Inverse zu finden.
Verwenden Sie außerdem die Ergebnisse aus Aufgabe P1, wenn möglich.
P3 ShiftRows und MixColumns in AES
Sei der AES-Körper. Wir identifizieren die Elemente von mit einer zweistelligen Hexadezimalzahl: Sei s(x) ∈ , dann
schreiben wir den Koeffizientenvektor des Repräsentanten von s(x) mit minimalem Grad als achtstellige Binärzahl und
diese entspricht wiederum einer zweistelligen Hexadezimalzahl.
s(x) ≡ (x 7 + x 3 + x + 1) ˆ= (10001011) ˆ= 8B
Der Klartextraum von AES sind Byte-Tupel der Länge 16. Wir identifizieren die Tupel mit (4 × 4)-Matrizen S über dem
AES-Körper . Die Reihenfolge der Bytes in der Matrix ist dabei wie folgt:
⎛
⎞
s 0,0 s 0,1 s 0,2 s 0,3
s
(s 0,0 , s 1,0 , s 2,0 , s 3,0 , s 0,1 , s 1,1 , s 2,1 , s 3,1 , s 0,2 , s 1,2 , s 2,2 , s 3,2 , s 0,3 , s 1,3 , s 2,3 , s 3,3 ) ˆ= ⎜ 1,0 s 1,1 s 1,2 s 1,3
⎟
⎝s 2,0 s 2,1 s 2,2 s 2,3 ⎠ .
s 3,0 s 3,1 s 3,2 s 3,3
1

Die ShiftRows-Transformation ist
⎛
⎞ ⎛
⎞
s 0,0 s 0,1 s 0,2 s 0,3 s 0,0 s 0,1 s 0,2 s 0,3
s
ShiftRows: −→ : ⎜ 1,0 s 1,1 s 1,2 s 1,3
⎟
⎝s 2,0 s 2,1 s 2,2 s 2,3 ⎠ −→ s
⎜ 1,1 s 1,2 s 1,3 s 1,0
⎟
⎝s 2,2 s 2,3 s 2,0 s 2,1 ⎠ .
s 3,0 s 3,1 s 3,2 s 3,3 s 3,3 s 3,0 s 3,1 s 3,2
Die MixColumns-Transformation wird beschrieben durch
⎛
⎞
{02} {03} {01} {01}
{01} {02} {03} {01}
MixColumns: −→ : S −→ ⎜
⎟ · S =: M · S,
⎝{01} {01} {02} {03} ⎠
{03} {01} {01} {02}
wobei S die Statusmatrix ist und die Matrix M hexadezimale Einträge besitzt.
(a) Finden Sie für (11000011), DF und x 5 +x 3 +x alle Darstellungen, also jeweils Polynom, Binär- und Hexadezimalzahl.
(b) Berechnen Sie
ShiftRows(D8 56 F2 BA E0 41 BB F1 C7 A4 69 E7 1E 24 D3 AC).
(c) Geben Sie die Umkehrfunktion von ShiftRows an und berechnen Sie
ShiftRows −1 (B5 14 D8 75 AD 21 8C 27 E3 DF 5A B4 91 F F 37 05).
(d) Sei s = (D8, 41, 69, AC) T die erste Spalte der Statusmatrix S nach der ShiftRows-Transformation (in hexadezimaler
Notation). Berechnen Sie MixColumns(s), d.h. den nächsten Schritt von AES, der auf der Spalte s durchgefürt werden
würde.
(e) ∗ Sei S die Statusmatrix nach der ShiftRows-Transformation von Aufgabenteil (b). Berechnen Sie MixColumns(S).
Dieser Aufgabenteil ist freiwillig!
H1 Polynominversion in einem anderen Körper
Sei 7 = /7 der endliche Körper mit 7 Elementen. Wir definieren das Polynom p(x) = x 4 + 1 und den Körper
= 7 [x]/p(x) 7 [x].
Berechnen Sie das Inverse für das Polynom f (x) = x 2 + x + 2 in .
Hinweis: Benutzen Sie den erweiterten Euklidischen Algorithmus, um mittels gcd(f (x), p(x)) = g das Inverse zu finden.
Solange g ∈ 7 \ {0} ist, können Sie aus g das Inverse zu p(x) berechnen. (Warum geht das?)
H2 S-Box in AES (SubBytes)
Sei der AES-Körper. Seien weiter
⎛
⎞
1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 1 0
A =
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
⎜
1 1 0 0 0 1 1 1
⎟
⎝1 1 1 0 0 0 1 1⎠
1 1 1 1 0 0 0 1
⎛ ⎞
0
1
1
und c =
0
0
,
⎜
0
⎟
⎝1⎠
1
dann entspricht die in AES verwendete S-Box der Funktion
S : \ {0} −→ \ {0} : s −→ A · s −1 + c.
Dabei identifizieren wir Vektoren mit Polynomen. Zum Beispiel ist (10010011) T ˆ= x 7 + x 4 + x +1 (vgl. auch Aufgabe P3).
Berechnen Sie S(x 4 + x + 1) und S(x + 1). Geben Sie die Ein- und Ausgaben als Polynome, Binärzahlen und Hexadezimalzahlen
an.
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