Lösung P 01 - CDC - Technische Universität Darmstadt

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT
FACHGEBIET THEORETISCHE INFORMATIK
PROF. JOHANNES BUCHMANN
FATEME SHIRAZI
Einführung in die
Kryptographie
WS 2013/2014
1. Lösungsblatt — 18.10.2013
Übung Organization
Die Aufgaben sind jeweils Freitagabend im Netz verfügbar. Die P-Aufgaben sind Präsenzaufgaben und werden während
der Übungsstunde gelöst und die H-Aufgaben sind Hausaufgaben, die abgegeben werden können. Die Lösungen von
P-Aufgaben werden am nächsten Freitag und die Lösungen von H-Aufgaben werden dann am übernächsten Freitag im
Netz verfügbar sein. Lesen Sie bitte regelmäßig die Webseite
https://www.cdc.informatik.tu-darmstadt.de/studium-und-lehre/lehre/ws-13-14/vorlesung/einfuehrung-in-die-kryptographie/
um informiert zu sein.
P1 Schutzziele
(a) Nennen und beschreiben Sie mindestens vier Schutzziele, die man mit Kryptographie erreichen kann. Wie kann man
sie erreichen?
Lösung.
• Vertraulichkeit: Information wird nur Berechtigten zugänglich gemacht, z.B. durch Verschlüsselung.
• Integrität: Bei Transport und Speicherung werden Daten nicht verändert, z.B. durch Verschlüsselung und MAC.
• Authentizität (ist Teil von Integrität): Herkunft ist verifizierbar, z.B. durch MAC.
• Identifikation: Identität des Kommunikationspartner ist verifizierbar, z.B. durch Digitale Signaturen.
• Nichtabstreitbarkeit: Integrität und Authentizität sind Dritten gegenüber nachweisbar, z.B. durch Digitale Signaturen.
(b) Beschreiben Sie ein persönliches Erlebnis in dem mindestens zwei Schutzziele eine Rolle spielen.
Lösung. Beispiel Online Banking:
• Vertraulichkeit: Meine Zugangsdaten werden nicht abgehört,
• Integrität: Das Zielkonto meiner Überweisung wird nicht verändert,
• Identifikation: Ich rede mit meiner Bank.
P2 Größter gemeinsamer Teiler und der erweiterter Euklidischer Algorithmus
Seien a, b, n ganze Zahlen. Betrachten Sie die diophantische Gleichung
"Diophantische Gleichung” bedeutet, dass wir nur ganzzahlige Lösungen suchen.
ax + b y = n (1)
(a) Zeigen Sie, dass die Gleichung 1 genau dann eine Lösung (x, y) ∈ 2 hat, wenn ggT(a, b) ein Teiler von n ist.
Lösung. Ist ggT(a, b) = d. Dann gibt es r, s ∈ , sodass ggT(r, s) = 1 und a = r · d, b = s · d.
⇒ Sei x 0 , y 0 eine Lösung. Dann
ax 0 + b y 0 = n = rd x 0 + sd y 0 = (r x 0 + s y 0 )d → d | n
⇐ Sei d | n. Dann gibt es ein t ∈ mit: n = t · d.
Da ggT(a, b) = d → ∃ a 0 , b 0 ∈ mit: aa 0 + bb 0 = d. Dann gilt:
t · aa 0 + t · bb 0 = t · d
d.h. ∃x 0 = a 0 t, y 0 = b 0 t mit ax 0 + b y 0 = t · d = n.
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(b) Angenommen Gleichung 1 hat eine Lösung. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung.
Lösung. Sei (x 0 , y 0 ) eine Lösung. Wir bestimmen alle x, y ∈ mit ax + b y = n. Wir schreiben
ax 0 + b y 0 = n = ax + b y ⇒ a(x − x 0 ) = b(y − y 0 )
ggT(a, b) = d ⇒ ∃a 0 , b 0 : ggT(a 0 , b 0 ) = 1 und a = a 0 d, b = b 0 d . Dann gilt
Da ggT(a 0 , b 0 ) = 1, gilt a 0 | y − y 0 ⇒ ∃t ∈ mit
Aus Gleichung (2) gilt außerdem a 0 (x − x 0 ) = b 0 a 0 t
a 0 d(x − x 0 ) = b 0 d(y − y 0 ) ⇒ a 0 (x − x 0 ) = b 0 (y − y 0 ) (2)
y − y 0 = a 0 t ⇒ y = y 0 − a 0 t ⇒ y = y 0 − a d t (3)
x = x 0 + b 0 t ⇒ x = x 0 + b d t (4)
Es bleibt zu zeigen, dass alle x, y die Gleichung (3) und (4) genügen, die diophantische Gleichung erfüllen, und
zwar für alle t ∈ .
ax + b y = a(x 0 + b d )t + b(y 0 − a d t) =
ax 0 + ab
d t + b y 0 − ba
d t = ax 0 + b y 0 = n
(c) Angenommen Gleichung 1 hat eine Lösung. Geben Sie einen Algorithmus an, der die Lösungsmenge bestimmt.
Verwenden Sie dabei den erweiterten euklidischen Algorithmus.
Lösung.
-Wir verwenden den euklidischen Algorithmus um ggT(a, b) = d als Linearkombination von a und b zu schreiben:
ar + bs = d; r, s ∈ (5)
-Da Gleichung (1) eine Lösung hat wissen wir das d | n teilt.
-Wir berechnen k ∈ : n = kd
-Wir multiplizieren die Geichung (5) mit k
ark + bsk = dk = n, d.h. ax 0 + b y 0 = n mit x 0 = rk und y 0 = sk.
Aus (3) und (4) können wir die Lösungsmenge wie folgt bestimmen:
L = {(x, y) : x = x 0 + b d t, y = y 0 − a t, t ∈ }
d
(d) Bestimmen Sie mit dem Algorithmus aus c) die Lösungsmenge der Gleichung 128x − 162y = −264.
Lösung. Der erweiterte euklidische Algorithmus ergibt:
128(19) − 162(15) = 2
d.h. ggT(128, −162) = 2 und 2 | −264. Somit ist die Gleichung lösbar und −264 = 2 × (−132):
128(19(−132)) − 162(15(−132)) = 2(−132)
128(−2508) − 162(−1980) = −264
Also ist x 0 = −2508 und y 0 = −1980 eine Lösung. Die Lösungsmenge ergibt sich aus (3) und (4) wie folgt:
L = {(x, y) : x = −2508 − 81t, y = −1980 − 64t, t ∈ }
H1 Größter gemeinsamer Teiler
(a) Finden Sie eine Folge positiver ganzer Zahlen (a i ) i≥1 ⊆ , so dass die Berechnung von ggT(a i+1 , a i ) mit dem
Euklidischen Algorithmus genau i Iterationen benötigt. Begründen Sie Ihr Ergebnis. Wie heißt diese berühmte
Folge, die in internationalen Bestsellern wie "The Da Vinci Code” Erwähnung findet?
(b) Seien a, b, g ganze Zahlen und gelte a + b = g. Zeigen Sie dass g =ggT(a, b) gilt.
H2 Aufwand von Division mit Rest
Seien a und b ganze Zahlen und sei b positiv. Zeigen Sie, dass die Bestimmung ganzer Zahlen a = qb + r, 0 ≤ r < 1, die
Komplexität O(size(b)size(q)) hat, wenn man die Schulbuchmethode verwendet.
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