Lösung P 01 - CDC - Technische Universität Darmstadt

(b) Angenommen Gleichung 1 hat eine Lösung. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung.
Lösung. Sei (x 0 , y 0 ) eine Lösung. Wir bestimmen alle x, y ∈ mit ax + b y = n. Wir schreiben
ax 0 + b y 0 = n = ax + b y ⇒ a(x − x 0 ) = b(y − y 0 )
ggT(a, b) = d ⇒ ∃a 0 , b 0 : ggT(a 0 , b 0 ) = 1 und a = a 0 d, b = b 0 d . Dann gilt
Da ggT(a 0 , b 0 ) = 1, gilt a 0 | y − y 0 ⇒ ∃t ∈ mit
Aus Gleichung (2) gilt außerdem a 0 (x − x 0 ) = b 0 a 0 t
a 0 d(x − x 0 ) = b 0 d(y − y 0 ) ⇒ a 0 (x − x 0 ) = b 0 (y − y 0 ) (2)
y − y 0 = a 0 t ⇒ y = y 0 − a 0 t ⇒ y = y 0 − a d t (3)
x = x 0 + b 0 t ⇒ x = x 0 + b d t (4)
Es bleibt zu zeigen, dass alle x, y die Gleichung (3) und (4) genügen, die diophantische Gleichung erfüllen, und
zwar für alle t ∈ .
ax + b y = a(x 0 + b d )t + b(y 0 − a d t) =
ax 0 + ab
d t + b y 0 − ba
d t = ax 0 + b y 0 = n
(c) Angenommen Gleichung 1 hat eine Lösung. Geben Sie einen Algorithmus an, der die Lösungsmenge bestimmt.
Verwenden Sie dabei den erweiterten euklidischen Algorithmus.
Lösung.
-Wir verwenden den euklidischen Algorithmus um ggT(a, b) = d als Linearkombination von a und b zu schreiben:
ar + bs = d; r, s ∈ (5)
-Da Gleichung (1) eine Lösung hat wissen wir das d | n teilt.
-Wir berechnen k ∈ : n = kd
-Wir multiplizieren die Geichung (5) mit k
ark + bsk = dk = n, d.h. ax 0 + b y 0 = n mit x 0 = rk und y 0 = sk.
Aus (3) und (4) können wir die Lösungsmenge wie folgt bestimmen:
L = {(x, y) : x = x 0 + b d t, y = y 0 − a t, t ∈ }
d
(d) Bestimmen Sie mit dem Algorithmus aus c) die Lösungsmenge der Gleichung 128x − 162y = −264.
Lösung. Der erweiterte euklidische Algorithmus ergibt:
128(19) − 162(15) = 2
d.h. ggT(128, −162) = 2 und 2 | −264. Somit ist die Gleichung lösbar und −264 = 2 × (−132):
128(19(−132)) − 162(15(−132)) = 2(−132)
128(−2508) − 162(−1980) = −264
Also ist x 0 = −2508 und y 0 = −1980 eine Lösung. Die Lösungsmenge ergibt sich aus (3) und (4) wie folgt:
L = {(x, y) : x = −2508 − 81t, y = −1980 − 64t, t ∈ }
H1 Größter gemeinsamer Teiler
(a) Finden Sie eine Folge positiver ganzer Zahlen (a i ) i≥1 ⊆ , so dass die Berechnung von ggT(a i+1 , a i ) mit dem
Euklidischen Algorithmus genau i Iterationen benötigt. Begründen Sie Ihr Ergebnis. Wie heißt diese berühmte
Folge, die in internationalen Bestsellern wie "The Da Vinci Code” Erwähnung findet?
(b) Seien a, b, g ganze Zahlen und gelte a + b = g. Zeigen Sie dass g =ggT(a, b) gilt.
H2 Aufwand von Division mit Rest
Seien a und b ganze Zahlen und sei b positiv. Zeigen Sie, dass die Bestimmung ganzer Zahlen a = qb + r, 0 ≤ r < 1, die
Komplexität O(size(b)size(q)) hat, wenn man die Schulbuchmethode verwendet.
2