Ferienübung - CDC - Technische Universität Darmstadt

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT
FACHGEBIET THEORETISCHE INFORMATIK
PROF. JOHANNES BUCHMANN
FATEME SHIRAZI
NABIL ALKEILANI ALKADRI
Einführung in die
Kryptographie
WS 2013/2014
Ferienübung — 20.12.2013
Erstellen Sie zunächst aus Ihrer Matrikelnummer Ihr privates Codewort k. Bei jeder Übung werden Sie ein zu diesem
Codewort passendes Lösungswort suchen. Das Codewort berechnet sich wie folgt:
Prosa
Beispiel
Ihre Matrikelnummer ist µ µ = 1371853
Die letzten 6 Ziffern von µ sind ˆµ ˆµ = 371853
Nehmen Sie ⌊ ˆµ ⌋ 2 ⌊ ˆµ ⌋ = 185926
2
Schließlich ist k = 2 19 + ⌊ ˆµ 2 ⌋ k = 710214
Wir bezeichnen mit k 19 k 18 .....k 1 k 0 die 20-stellige Binärdarstellung vom Codewort k. Im Beispiel oben ist
k 19 k 18 .....k 1 k 0 = 10101101011001000110
Personalia (ausfüllen) Lösungsworte (ausfüllen) Erreichte Punkte
F1:
Name:
Matrikelnummer:
Codewort in Dezimal:
F2:
F3:
F4:
F5:
Bonuspunkte:
Für jede gelöste Aufgabe gibt es maximal 1 Bonuspunkt für die Klausur. Sie können bis zu 5 Bonuspunkte erreichen.
Geben Sie in der ersten Woche nach den Ferien Ihren handgeschriebenen vollständigen Rechenweg sowie dieses Deckblatt
ausgefüllt und zusammengeheftet in einer Übung oder Sprechstunde ab. Ansonsten elektronisch schicken an:
fshirazi@cdc.informatik.tu-darmstadt.de
Alle Übungen, die bis Freitag, den 17.01.2014 nicht abgegeben werden, sind automatisch ungültig.
F1 Blockchiffrenmodi
Verschlüsseln Sie den 20-stelligen Bitstring k 19 k 18 .....k 1 k 0 in den Blockchiffrenmodi ECB, CBC, CFB und OFB. Verwenden
Sie dazu die affin lineare Blockchiffre mit Klar- und Schlüsseltextraum 5 2
, Blocklänge n = 5 und dem Schlüssel (A, b),
wobei ⎛
A = ⎝
⎞
k 15 1 0 0 1
0 0 1 0 0
1 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 1 0 k 19
⎠ und b = (k 0 k 1 k 2 k 3 k 4 ) T ist. Benutzen Sie den Initialisierungsvektor IV = 10011 und die verkürzte
Blocklänge r = 4.
Das Lösungswort l 1 lässt sich wie folgt berechnen:
• Wenden Sie die bitweise XOR-Verknüpfung auf Ihre Schlüsseltexte an, d.h. C = C ECB
⊕
CCBC
⊕
CC F B
⊕
COF B
• Identifizieren Sie jeweils einen Block der Länge 4 des Bitstrings C mit einer Hexadezimalzahl. Das Lösungswort l 1
ist also eine 5-stellige Hexadezimalzahl.

F2 Erweiterter Euklidischer Algorithmus
Sei 7 = /7 der endliche Körper mit 7 Elementen und sei p(x) = x 7 + 5x 6 + 3x 5 + 3x 3 + 4x 2 + x + 3 ∈ 7 [x].
Identifizieren Sie den 7-stelligen Bitvektor (k 19 k 18 k 17 k 16 k 15 k 14 k 13 ) mit einem Polynom k(x) ∈ 7 [x] vom Grad ≤ 6
mit dem Leitkoeffizienten k 19 . Mit dem Beispiel-Codewort ist k(x) = x 6 + x 4 + x 2 + x.
Finden Sie nun zwei Polynome f (x) und g(x) in 7 [x] mit
Das Lösungswort ist l 2 = f (x) + g(x) ∈ 7 [x].
p(x) · f (x) + k(x) · g(x) = 1.
F3 Chinesischer Restsatz
Berechnen Sie das Inverse M −1 der folgenden Matrix M modulo 1111 mit dem Chinesischen Restsatz.
⎛
⎞
311 19 a
⎜
⎟
M = ⎝ 0 149 0 ⎠
0 83 151
Dabei ist a der Rest modulo 1111 der Zahl, die aus den ersten 3 Ziffern Ihres Codewortes k besteht. Mit dem Beispiel-
Codewort ist a = 710.
Das Lösungswort l 3 ist die Summe der Einträge von M −1 modulo 1111.
F4 Elementordnungen
Sei a die Zahl, die aus den ersten 3 Ziffern Ihres Codewortes besteht. Mit dem Beispiel-Codewort ist a = 710.
Bestimmen Sie die Ordnung von a modulo 1009. Verwenden Sie das in der Vorlesung eingeführte Verfahren und die
schnelle Exponentation.
Das Lösungswort ist l 4 = order(a + 1009).
F5 RSA
Seien p = 1009 und a die Zahl, die aus den ersten 3 Ziffern Ihres Codewortes besteht. Sei weiterhin q die größte Primzahl,
die kleiner gleich a ist. Mit dem Beispiel-Codewort ist a = 710, und q = 709.
Sei nun n = pq Ihr RSA Modul. Ihr öffentlicher RSA Exponent e ist die größte Zahl kleiner gleich 2 7 −1, welche teilerfremd
zu ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) ist. Berechnen Sie den passenden privaten RSA Schlüssel d und entschlüsseln Sie den Ciffretext
c = a + c 0 zum Klartext m, wobei c 0 die Dezimalzahl ist, die dem Bitstirng (k 1 k 3 k 5 k 7 k 9 k 11 k 13 k 15 k 17 k 19 ) entspricht.
Das Lösungswort l 5 ist d + m mod n.
2