Ferienübung - CDC - Technische Universität Darmstadt

F2 Erweiterter Euklidischer Algorithmus
Sei 7 = /7 der endliche Körper mit 7 Elementen und sei p(x) = x 7 + 5x 6 + 3x 5 + 3x 3 + 4x 2 + x + 3 ∈ 7 [x].
Identifizieren Sie den 7-stelligen Bitvektor (k 19 k 18 k 17 k 16 k 15 k 14 k 13 ) mit einem Polynom k(x) ∈ 7 [x] vom Grad ≤ 6
mit dem Leitkoeffizienten k 19 . Mit dem Beispiel-Codewort ist k(x) = x 6 + x 4 + x 2 + x.
Finden Sie nun zwei Polynome f (x) und g(x) in 7 [x] mit
Das Lösungswort ist l 2 = f (x) + g(x) ∈ 7 [x].
p(x) · f (x) + k(x) · g(x) = 1.
F3 Chinesischer Restsatz
Berechnen Sie das Inverse M −1 der folgenden Matrix M modulo 1111 mit dem Chinesischen Restsatz.
⎛
⎞
311 19 a
⎜
⎟
M = ⎝ 0 149 0 ⎠
0 83 151
Dabei ist a der Rest modulo 1111 der Zahl, die aus den ersten 3 Ziffern Ihres Codewortes k besteht. Mit dem Beispiel-
Codewort ist a = 710.
Das Lösungswort l 3 ist die Summe der Einträge von M −1 modulo 1111.
F4 Elementordnungen
Sei a die Zahl, die aus den ersten 3 Ziffern Ihres Codewortes besteht. Mit dem Beispiel-Codewort ist a = 710.
Bestimmen Sie die Ordnung von a modulo 1009. Verwenden Sie das in der Vorlesung eingeführte Verfahren und die
schnelle Exponentation.
Das Lösungswort ist l 4 = order(a + 1009).
F5 RSA
Seien p = 1009 und a die Zahl, die aus den ersten 3 Ziffern Ihres Codewortes besteht. Sei weiterhin q die größte Primzahl,
die kleiner gleich a ist. Mit dem Beispiel-Codewort ist a = 710, und q = 709.
Sei nun n = pq Ihr RSA Modul. Ihr öffentlicher RSA Exponent e ist die größte Zahl kleiner gleich 2 7 −1, welche teilerfremd
zu ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) ist. Berechnen Sie den passenden privaten RSA Schlüssel d und entschlüsseln Sie den Ciffretext
c = a + c 0 zum Klartext m, wobei c 0 die Dezimalzahl ist, die dem Bitstirng (k 1 k 3 k 5 k 7 k 9 k 11 k 13 k 15 k 17 k 19 ) entspricht.
Das Lösungswort l 5 ist d + m mod n.
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