Lösungsweg - E13

Physikdepartment E13 WS 2011/12
Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl,
Markus Schindler, Moritz v. Sivers
Vorlesung 08.12.2011 enfällt, Übungswoche 12.12. – 16.12.2011 Blatt 8
1. Gradienten
Berechnen Sie für r = √ x 2 + y 2 + z 2 jeweils grad U(⃗r) und |grad U(⃗r)|für
a) U(⃗r) = a r
⎛ ⎞
x
⃗r = ⎝y⎠.
z
NR:
b) U(⃗r) = b r 2
∂ a
√
∂x x2 + y 2 + z 2
NR:
= ∂
∂x a·(x2 + y 2 + z 2 ) −1/2 = −1/2· a·(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2· 2x =
=
⎛
grad U(⃗r) = ⎜
⎝
( )
∂ b
∂x x 2 + y 2 + z 2
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
−ax
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (1)
⎞
⎛ ⎞
x
⎟
a
⎠
√
x2 + y 2 + z = −a
2 (x 2 + y 2 + z 2 ) · ⎝
3/2 y⎠ = − a·⃗r
r
z
3
∂
∂z
∣
∣grad a ∣ = a
r r 2
= ∂
∂x b·(x2 + y 2 + z 2 ) −1 = −1·b·(x 2 + y 2 + z 2 ) −2· 2x =
−2bx
=
(x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (2)
⎛ ⎞
∂
⎛ ⎞
∂x
x
grad U(⃗r) = ⎜ ∂ ⎟
b
⎝ ∂y⎠
x 2 + y 2 + z 2 = −2b r 4 · ⎝y⎠ = − 2b⃗r
r
z
4
∣ grad b ∣ ∣∣∣
r 2 = 2b
r 3

c) Zeigen Sie allgemein, dass für jedes radialsymmetrische Feld, d. h. für jedes Feld, bei dem
die skalare Größe T(r) nur vom Abstand r = √ x 2 + y 2 + z 2 abhängt, gilt:
grad T(r) = dT(r)
dr
Nebenrechnung (analog zum Nachdifferenzieren):
∂T
∂x = ∂T
∂r · ∂r
∂x = ∂T
∂r ·
√
∂
x
∂x
2 + y 2 + z 2 = ∂T
∂r ·
·⃗r r
(
1
2 ·
)
1
√
x2 + y 2 + z · 2x = ∂T
2 ∂r · x
r
Also
⎛
grad T(r) = ⃗∇T(r) = ⎜
⎝
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
⎞ ⎛
∂
∂x ⎟
⎠ T(r) = T(r) ⎞
⎜ ∂
⎝ ∂y T(r)
⎟
⎠ = dT ·⃗r dr r
∂
∂z T(r)
2

2. Amplitude der erzwungenen Schwingung
Laut Vorlesung ist die Amplitude einer erzwungenen Schwingung für lange Zeiten gegeben durch
A =
K
√
.
m (ω0 2− ω2 e) 2 +( k s
m ω e) 2
√
ω 2 0 − k2 s/2m 2 einen Maximalwert ein-
a) Zeigen Sie, dass die Resonanzamplitude bei ω e =
nimmt.
[
A(ω e ) = K ( ) ]
(ω
2
m 0 − ωe
2 ) 2 −1/2
2+ ks
m ω e
notwendige Bedingung für Maximum dA(ω 0)
dω e
= 0
0 ! = − 1 2
[ ( ) ]
K (ω
2
m 0 − ωe
2 ) 2 −3/2·[
2+ ks
m ω e 2 ( ]
ω0 2 − ωe
2 )
(−2ωe )+2 k2 s
m 2 ω e
1. Faktor ist immer ̸= 0, also muss 2. Faktor = 0 sein
=⇒ −4 ( ω0 2 − ωe
2 )
ωe + 2 k2 s
m 2 ω e = 0
Gleichung wäre durch ω e = 0 gelöst, dies entspräche dem Fall keiner Anregung,
also ω e ̸= 0 (ω e = 0 ist uninterressant)
Somit darf ω e gekürzt werden
√
=⇒ ω 2 0 − ω 2 e = k2 s
2m 2
Zeigen, dass dies ein Maximum ist:
⇒
dA(ω e )
= − 1 dω e 2
K
m
} {{ }
0
[
·
A(ω e ) streng monoton steigend für ω e < ω max
e
A(ω e ) streng monoton fallend für ω e > ω max
e
ω 2 0 − k2 s
2m 2
4 ( ωe 2 − ω0
2 ) 2k 2 ]
+
s
m
} {{ 2 }
= 0 für ω e = ωe
max
< 0 für ω e < ωe
max
> 0 für ω e > ωe
max
}
ω e
}{{}
>0
⇒ Maximum bei ω max
e
b) Was muss geschehen, damit es zur sogenannten Resonanzkatastrophe kommt?
Nenner in A(ω e ) muss gegen 0 gehen
wenn k s → 0 geht, dann ωe max → ω 0
=⇒ Resonanzkatastrophe für k s nahe Null und Erregerfrequenz = ω 0 .
3

3. Brückenversuch
Nach ihrer Fertigstellung unterzogen die Bauingenieure die neue Brücke über die Hamburger
Norder-Elbe einem Großversuch. Unter der Last eines in der Mitte der Brücke zu diesem Zweck
angehängten Gewichts von m = 100 t bog sich die Brücke den Messungen zufolge um 5,0 cm
durch. Als schließlich die Verbindung der Brücke mit dem Gewicht schlagartig gelöst wurde, geriet
die Brücke wie erwartet in Schwingungen, die viele Sekunden andauerten. Die Frequenz der
Schwingung betrug f = 0,62 Hz. Ein Beobachter, der sich mitten auf der Brücke befand, berichtete,
er habe das Gefühl gehabt, die Brücke habe sich um ca. einen Meter gehoben und gesenkt.
a) Wie groß war die Amplitude, mit der sich der Augenzeuge bewegt hat in Wirklichkeit? Wie
groß war seine maximale Geschwindigkeit?
m = 100 t; x 0 = −0,05 m
x(t) = x 0 cos(ωt) = x 0 cos(2π f t)
(da zum Zeitpunkt t = 0 gilt: x(0) = −0,05 m und ẋ(0) = 0)
=⇒ Amplitude der Bewegung des Augenzeugen ebenfalls 0,05 m
ẋ(t) = −2π f x c sin(2π f t)
=⇒ maximale Geschwindigkeit v max = −2π f x 0 = −2π· 0,62 1 s ·−0,05 m = 0,19 m s
b) Bei welcher Auslenkung erfuhr obiger Beobachter die maximale Beschleunigung und wie
groß war diese?
ẍ(t) = −4π 2 f 2 x 0 cos(2π f t)
wird maximal für cos(2π f t) = 1, also z.B. für t = 0
maximale Beschleunigung a max = −4π 2 f 2 x 0 = −4π 2( 0,62 1 s) 2·−0,05 m = 0,76
m
s 2
c) Um wie viel Prozent scheint sich sein Gewicht während einer solchen Schwingungsbewegung
zu ändern?
a max = 0,76 m s 2 , a min = −0,76 m s 2
Dies entspricht etwa(±)7,7% des Ortsfaktors und damit seiner gefühlten Gewichtsänderung.
4

d) Wie groß ist die Energie, die mit der beschriebenen Schwingbewegung der Brücke verbunden
ist?
„Federkonstante“ D der Brücke über Ausgangssituation
D = F x 0
= mg
x 0
Betrachte Punkt der maximalen potentiellen Energie. An dem gilt:
E max = E pot = 1 2 Dx2 0 = 1 2 mgx 0 = 1 2 · 100·103 kg·9,81 N kg · 0,05 m = 2,5·104 J
e) Ein Steinchen der Masse 2,0 g liegt neben dem Beobachter. Bleibt dieses Steinchen am
Boden liegen? Und wenn nicht, wie hoch wird es im Vergleich zur unausgelenkten Brücke
geschleudert?
a max und a min gelten für das Steinchen genauso. Da |a min | < |g| ist, bleibt das
Steinchen am Boden liegen.
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4. U-Rohr
L
Wir betrachten eine reibungsfreie Flüssigkeitssäule in einem U-Rohr. Sind beide Enden auf gleicher
Höhe so ist das System im Gleichgewicht. Ist die Säule um y verschoben, so entsteht
eine rücktreibende Gewichtskraft F. Hierbei sei L = 85,0 cm die Länge der Flüssigkeitssäule,
A = 35,0 cm 2 die Querschnittsfläche und ρ = 1,00 kg die Dichte der Flüssigkeit (Wasser).
dm 3
a) Geben Sie die Formel für die Rückstellkraft F an.
rücktreibende Kraft = Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule mit der Höhe 2y
F = −ρ·V (Säule mit Höhe 2y)· g = −ρ· A·2y· g
b) Stellen Sie eine Differentialgleichung auf, die die Bewegung beschreibt. Um welche Art von
Bewegung handelt es sich?
Mÿ = −2ρAyg
(Newton)
mit M = Masse der kompletten Flüssigkeit, also M = ρAL
=⇒ ρALÿ+2ρAyg = 0
=⇒ ÿ+ 2g L y = 0 (Schwingungsgleichung, Form: ÿ+ω2 0y = 0)
c) Lösen Sie die Differentialgleichung unter der Voraussetzung, dass bei t = 0 die Wassersäule
um y = 10 cm ausgelenkt ist und dass dies gleichzeitig auch die maximale Auslenkung ist.
Wir kennen die Lösung dieser DGL bereits:
)
y(t) = y 0 cos(ω 0 t+ ϕ 0 ) = y 0 cos(√
2g
L · t+ ϕ 0
haben Anfangsbedingungen y(0) = 0,1 m und ẏ(0) = 0
)
ẏ(t) = −y 0
√
2g
L · sin (√
2g
L · t+ ϕ 0
=⇒ y(t) = 0,1 m·cos
√
2g
0 = ẏ(0) = −y 0 sin(ϕ 0 ), wähle ϕ 0 = 0
} {{
L
}
̸=0
0,1 m = y(0) = y 0
(√ ) ⎛√
2g
L · t
= 0,1 m·cos⎝
⎞
2·9,81 m s 2
0,85 m · t ⎠ = 0,1 m·cos
(4,8 1 )
s · t
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d) Wie groß müsste die Fadenlänge eines mathematischen Pendels sein, das die gleiche
Schwingungsfrequenz hat wie unser U-Rohr?
aus Vorlesung: ω Fadenpendel =
√
g
l
√
g
l = √
2g
L
Es müsste eine Fadenlänge von 42,5 cm haben.
=⇒ l = L 2
e) Was würde sich ändern wenn wir eine andere Flüssigkeit mit einer dreimal so hohen Dichte
einfüllen würden?
Nichts, da die Dichte in der Bewegungsgleichung nicht vorkommt.
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