7d_jun_Arbeitsheft 3_Loesungen.pdf - Helmholtz Gymnasium Bonn

Zuordnungen
Graphen lesen und darstellen 1
1
Fünf zylindrische Gefäße stehen auf einer Treppe und werden gleichzeitig und gleichmäßig mit
Wasser gefüllt. Welcher Füllhöhengraph gehört zu welchem Gefäß? (Die Höhe wird immer von der
Nulllinie aus gemessen.)
4 2 3 5 1
Höhe
1 2
3
4
5
0
a b c d e
Zeit
2
a) Die Bilder (I) und (II) zeigen die Querschnitte
von zwei Berghängen. Während Paul der
v
v
Pistenschreck hinunterfährt, wird ein Zeit-
Geschwindigkeits-Diagramm aufgezeichnet.
Welches der Diagramme gehört zu Bahn (I)
t
(II)
t
bzw. (II)?
v
v
(I)
(II)
t
(I)
t
b) Welche Bahn gehört zu dem t-v-Diagramm?
v
(II)
t (I) (II) (III)
c) Zeichne ein t-v-Diagramm zu der gegebenen
Bahn.
v
t
d) Zeichne eine Bahn zu dem t-v-Diagramm.
v
t

Zuordnungen
Graphen lesen und darstellen 2
Martinus Zack wohnt in Abelsweiler und
besucht nachmittags regelmäßig seine
Kunden. Er zeichnet seine Fahrten genau auf.
a)
Entfernung von Abelsweiler (in km)
80
70
60
50
40
30
20
Cantorshausen
Abelsweiler 14 km
21 km
Besselberg
32 km
Eulerwald
Gaussdorf
13 km
10 Uhrzeit
14.00 15.00 16.00 17.00 18.00
Wie weit ist Cantorshausen bzw. Eulerwald von Abelsweiler entfernt?
Welches ist der zweite Ort, den Herr Zack besucht?
Wie lange hält er sich in Gaussdorf, wie lange in Eulerwald auf?
Wie lange fährt er von Gaussdorf nach Besselberg?
35 km; 67 km
Besselberg
20 min; 15 min
40 min
b) Welcher der Graphen 1 oder 2 gehört zu welchem Fahrtprotokoll (I), (II) bzw. (III)?
Ergänze den fehlenden Graphen im Diagramm.
(I) A C G E B A
an 14.30 15.40 16.10 17.10 18.00
ab 14.00 15.00 16.00 16.30 17.40
(II) A E G C B A
an 15.00 15.30 16.40 17.05 18.00
ab 14.00 15.15 16.10 16.55 17.35
(III) A B E G C A
an 14.20 15.15 15.50 16.50 18.00
ab 14.00 14.35 15.40 16.10 17.30
1 (III) j
2 j(I)
80
70
60
50
40
30
20
Entfernung von Abelsweiler (in km)
(II)
1 2
10 Uhrzeit
14.00 15.00 16.00 17.00 18.00
2

Zuordnungen
Graph – Tabelle – Formel 1
1
Zeichne die Graphen zu den beiden Zuordnungen,
die durch die Tabellen gegeben sind.
a) x y b) x y
0 0,5 0 4
1 0,75 1 3,5
2 1,5 2 3
3 2,75 3 2,5
4 4,5 4 2
4
3
2
1
y
b)
a)
x
1 2 3 4
2
Vervollständige die Tabellen, die zu den beiden Graphen gehören.
y
a) x y b) x y
− 4
a)
1 0,5 0 3,5
− 3
2 2 1 3,25
− 2
− 1
b)
x
3 3,5 2 2,75
4 5 3 1,75
5 6,5 4 0,25
1 2 3 4
3
Welche Graphen, Tabellen und Formeln gehören zusammen?
a) y
b) y
(1) x y
4
4
1 0,8
3
3
2
2
2 1,6
1
1
3 2,4
x
x
4 3,2
1
2 3 4
1
2 3 4
(2) x y
1 3,75
2 3
3 1,75
4 0
(I) y = 4 – 0,25 x 2
(II) y = 3 – 0,25 x
(III) y = 0,5 x + 2
(IV) y = 0,8 x
c) y
d) y
(3) x y
4
3
2
1
x
1
2 3 4
4
3
2
1
1 2,5
2 3
3 3,5
x
4 4
1
2 3 4
(4) x y
1 2,75
2 2,5
3 2,25
4 2
a)
b)
c)
d)
(3) (III)
(4) (II)
(2) (I)
(1) (IV)
4
Fehlerteufel: Welche
Tabellenwerte wurden
falsch berechnet?
Die zugehörigen
Buchstaben ergeben
das Lösungswort.
y = 0,75 x + 1 y = 7 – 0,2 x 2 y = 0,5 x 2 + 2 x
x y x y x y
1 1,75 P 1 6,8 S 1 2,5 F
2 5,2 F 2 6,2 T 2 6,2 E
3 3,52 O 3 5,2 U 3 10,5 I
4 4 T 4 3,6 R 4 15 L
5 4,75 E 5 2,2 M 5 22,5 E
Lösungswort: FORMEL

Zuordnungen
Graph – Tabelle – Formel 2
Die Strecken des Diagramms sind die Graphen von Zuordnungen. Ergänze die Tabellen.
a) x 0 1 2 3 4 y
y 0 1 2 3 4
b) x 4 5 6 7 8
y 4 4,25 4,5 4,75 5
c) x 1 2 3 4 5
y 0 0,5 1 1,5 2
d) x 8 9 10 11 12
y 5 4,75 4,5 4,25 4
e) x 6 6,5 7 7,5 8
y 0 – 1 – 2 – 3 – 4
10
9
8
7
6
5
b
d
4
3
a
2
1
c
–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
e
–2
–3
–4
Entscheide, welche der Formeln zu den Graphen bzw. Tabellen gehört.
y = – 0,25 · x + 7 y = – 2 · x + 12 y = 0,25 · x + 3 y = x y = 0,5 · x – 0,5
d e b a c
x
2
Vervollständige zu jeder Zuordnung die Tabelle und zeichne die Graphen. Runde auf zwei Stellen
nach dem Komma.
a) y = 0,25 x
y
x 2 3 4 5 6
y 0,5 0,75 1 1,25 1,5
7
e)
b) y = 0,5 x + 4
x 2 2,5 3 3,5 4
y 5 5,25 5,5 5,75 6
auf zwei Stellen
nach dem c) y = – 0,25 x + 6,5
Komma gerundet x 4 4,5 5 5,5 6
wegen Aufgabenstellung
und
y 5,5 5,38 5,25 5,13 5
Platzmangel
d) y = 3 · x 2 – 24 x + 49,5
x 3 3,5 4 4,5 5
y 4,5 2,25 1,5 2,25 4,5
e) y = 0,5 x · (8 – x)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0 3,5 6 7,5 8 7,5 6 3,5 0
6
5
4
3
2
1
b)
d)
a)
1 2 3 4 5 6 7 8
c)
x
4

Zuordnungen
Ausgleichsgeraden
1
Eine Messreihe wurde in einem t-v-Diagramm dargestellt. Es sollen weitere Werte geschätzt werden.
Zeichne eine Ausgleichsgerade und ermittle mit ihr die fehlenden v-Werte.
a) b) c)
4
v
4
v
4
v
3
3
3
2
2
2
1
t
1
t
1
t
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
t 1,5 2,5 3,5 t 1,5 2,5 3,5 t 1,5 2,5 3,5
v 1,1 1,8 2,5 v 1,9 2,5 3,1 v 2,8 2,3 1,8
2
Bei Schülerübungen im Physikunterricht haben Max und Moritz die Ausdehnung von belasteten
Schraubenfedern untersucht. Dabei stellten sie, jeder mit einer anderen Feder, zwei Messreihen auf,
bei denen die belastende Kraft F und die Verlängerung s gemessen wurde.
Trage die Messwerte in das Koordinatensystem ein, zeichne die Ausgleichsgeraden und beantworte
dann die Fragen.
Max
F in N 2 3 5 6 7
s in cm 1,4 1,9 2,8 3,5 4,2
Moritz
F in N 0,5 1,5 2 3 4
s in cm 0,5 2,0 2,7 3,6 5,1
7
6
s
Moritz
Welche Verlängerungen ergeben sich bei
Max, wenn die Kraft 0,5 N, 1 N oder 4 N
beträgt?
0,3 cm; 0,6 cm; 2,4 cm
5
4
3
2
1
Max
1 2 3 4 5 6 7
F
Welche Verlängerungen ergeben sich bei
Moritz, wenn die Kraft 1 N, 2,5 N oder 5 N
beträgt?
1,25 cm; 3,1 cm; 6,25 cm
Versuche eine Formel zu finden, mit der man
die Verlängerung abhängig von der Kraft
ausrechnen kann.
Max: s = 0,6 · F
Moritz: s = 1,25 · F

Zuordnungen
Proportionale Zuordnungen
Welche der Zuordnungen können proportional sein, welche nicht? Kreuze an. Zeichne die Graphen
der proportionalen Zuordnungen.
a)
b)
c)
d)
y
x y x y x y x y
4
1 0,6 0,5 0,3 0,5 1,2 0,5 0,6
2 1,4 1 0,6 1,5 1,6 1,5 1,8
3
3 2,4 2,5 1,5 2 1,8 2,5 3,0
4 3,6 3,5 2,1 4 2,6 3,5 4,2
2
d)
b)
j ja
j nein
j ja
j nein
j ja
j nein
j ja
j nein
1
x
1 2 3 4
2
Ergänze die Tabellen so, dass die Zuordnungen proportional sind.
x 1,5 2,7 3,6 4,8 5,7 6,0 x 7 11 23 31 36 40
y 0,5 0,9 1,2 1,6 1,9 2 y 16,1 25,3 52,9 71,3 82,8 92
Welche Graphen, Tabellen und Rechenvorschriften gehören zusammen?
4
3
2
1
y
a)
b)
c)
d)
x
1 2 3 4
(1) x y
0,5 0,3
0,9 0,54
2,0 1,2
3,5 2,1
(3) x y
0,2 0,26
1,2 1,56
2,0 2,60
3,3 4,29
(2) x y
0,4 0,44
1,8 1,98
3,0 3,30
3,6 3,96
(4) x y
1,1 0,88
2,4 1,92
3,6 2,88
4,0 3,20
(I) y = 0,8 x
(II) y = 1,3 x
(III) y = 0,6 x
(IV) y = 1,1 x
a)
b)
c)
d)
(3) (II)
(2) (IV)
(4) (I)
(1) (III)
4
Auch auf dem Mond ist die Gewichtskraft zur Masse eines Körpers proportional. Ein Raumfahrer mit
voller Ausrüstung (114 kg) erfährt dort die Gewichtskraft 184,7 N. Welche Kraft wirkt
a) auf ein Auto (976 kg),
b) auf einen Elefanten (5,2 t),
c) auf ein Stück Butter (250 g)?
a) m in kg G in N b) m in kg G in N c) m in kg G in N
114 184,7 114 184,7 114 184,7
1 1,6 1 1,6 1 1,6
976 1581,3 5200 8424,9 0,250 0,41
6

Zuordnungen
Rechnen mit proportionalen Zuordnungen
1
Löse die Aufgaben. Nur manche sind sinnvoll zu lösen. Deren Ergebnisse sind unten ohne Einheiten
angegeben.
a) Wie viel kosten 450 g?
b) 400 g kosten 5,20 €.
Wie viel erhält man für 9,10 €?
j 200 g kosten j 3,60 €.
Preis 5,20 € 1 € 9,10 €
j 50 g kosten j 0,90 €.
Menge 400 g 76,9 g 700 g
j 450 g kosten j 8,10 €.
Silber hat ein Volumen Masse Volumen 18 700
von 4 cm 3 und 42 g 4 cm 3
92,4
9
wiegt 42 g. Welches
1 g 0,095 cm
Volumen hat eine kleine
Statue aus Silber, 73,5 g 7 cm 3 8,10
die 73,5 g wiegt?
c) 3 Flaschen Wein: 16,86 €
d) 5 Flaschen Sekt:
8 Flaschen Wein: ? €
37,15 €
37,15 € für
Wie viele Flaschen 5 Flaschen
für 66,87 €?
1 € für
0,13 Flaschen
Anzahl 3 1 8
66,87 € für
9 Flaschen
Betrag 16,86 € 5,62 € 44,96 €
e)
In 2 Wochen
Urlaub habe ich 3 Kilo
f) 3 kg Äpfel kosten 5,67 €.
zugenommen.
1 kg kostet 1,89 €
.
5 kg Äpfel kosten 9,45 €
.
keine
Proportionalität
Wie viel hat Herr S. nach 5 Wochen zugenommen?
g) Benzinverbrauch
Wieviel kosten
h) An der Tankstelle
Strecke
Betrag 71,61 €
26,6 l 350 km
60 Liter?
Abgabe 46,50 Liter
1 l 13,16 km
Abgabe 46,50 l 1 l 60 l
49,4 l 650 km
Betrag 71,61 € 1,54 € 92,40 €
i) Zum Einsäen von 540 m 2 Rasenfläche
braucht Herr Grün 12 kg Samen. Wie viel
Samen braucht Herr Gras für seine 810 m 2 ?
k) Oberstudienrat Eifrig
hat mit 20 Schülern
das Kapitel „Zuordnungen“
in 5 Wochen keine
Fläche 540 m 2 1 m 2 810 m 2 durchgenommen. Wie
Proportionalität
lange hätte er mit 25
Samen 12 kg 0,02 kg 18 kg
Schülern gebraucht?
l) Ein kleiner Quader aus
650
44,96
9,45
7

Zuordnungen
Antiproportionale Zuordnungen
Welche der Zuordnungen können antiproportional sein, welche nicht? Kreuze an. Zeichne die
Graphen der antiproportionalen Zuordnungen.
y
a) b) c) d)
4
x y x y x y x y
0,5
1,5
3,63
2,88
0,5
1
3,6
1,8
1
2
4
2
0,5
1
4
3
3
3 1,75 2 0,9 3 1, __ 3 2 1
4 1 4 0,45 4 1 4 0,5
2
c) y = x
4_
j ja
j nein
j ja
j nein
j ja
j nein
j ja
j nein
1
b) y = ___ 1,8 x
x
1 2 3 4
2
Ergänze die Tabellen so, dass die Zuordnungen antiproportional sind.
x 2 4 5 6 9 10 x 2,4 3,0 6,4 8,0 15 24
y 12 6 4,8 4 2, __ 6 2,4 y 40 32 15 12 6,4 4
Welche Graphen, Tabellen und Rechenvorschriften gehören zusammen?
y
(1) x y (2) x y
a)
4 b)
1 6 0,8 4
2 3 1,6 2
3
3 2 3,2 1
c)
4 1,5 4,0 0,8
2
(3) x y (4) x y
1
0,4 5 0,5 3
d)
1,2 1,66 1,2 1,25
x
2,5 0,8 2 0,75
1 2 3 4
3,6 0,56 3,5 0,43
(I) y = 2__
x
(II) y = 6__
x
(III) y = ___ 1,5
x
(IV) y = ___ 3,2
x
a) (4) (III)
b)
c)
d)
(3) (I)
(2) (IV)
(1) (II)
4
Bäcker Frischbrot stellt 300 Brezeln zu 40 g her. Wie viele Brezeln hätte er aus der gleichen
Teigmenge herstellen können, wenn er sie
a) 2 g leichter
b) 2 g schwerer
c) 5 g schwerer gemacht hätte?
a) Gewicht Anzahl b) Gewicht Anzahl c) Gewicht Anzahl
40 g 300 40 g 300 40 g 300
1 g 12 000 1 g 12 000 1 g 12 000
38 g 315 42 g 285 45 g 266
8

Zuordnungen
Rechnen mit antiproportionalen Zuordnungen.
1
Löse die Aufgaben. Nur manche sind sinnvoll zu lösen. Deren Ergebnisse sind unten ohne Einheiten
angegeben.
a)
Unser Hafer b)
Unser Hafer
reicht für 189 Tage.
reicht für 250
Tage.
Anzahl Zeit
3 189 d
1 567 d
7 81 d
Wie viele Pferde sind im Stall, wenn der
Vorrat für 100 Tage reicht?
Wie
lange reicht
das für uns?
Vorrat 250 d 1 d 100 d
Pferde 2 500 5
c) Mit 32 Feuerwehrmännern
wurde ein Brand in 6 Stunden
gelöscht. Wie lange dauert das
Löschen, wenn 48 Männer
zum Einsatz kommen?
keine Proportionalität
d) Drei Planierraupen
benötigen 21 Std.
Eine Planierraupe
benötigt 63 Std.
Neun Planierraupen
benötigen 7 Std.
e) 54 Personen müssen
für die Busfahrt je
25 € bezahlen. Wie
viel muss jeder zahlen,
wenn nur 50
Personen mitfahren?
54 für 25 €
1 für 1350 €
50 für 27 €
f) Zwei Bauarbeiter heben
eine Grube mit den
Maßen 2 m mal 2 m, die
3 m tief ist, in 3 Stunden
aus. Wie lange würden
10 Arbeiter benötigen?
nicht durchführbar
g) Der Brenner einer Ölheizung verbraucht je
Betriebsstunde 3,6 l Öl. eine Tankfüllung
reicht für 1500 Betriebsstunden. Wie viele
Stunden reicht die Tankfüllung, wenn ein
neuer Brenner eingesetzt wird, der 3,2 l verbraucht?
Öl 3,6 l 1 l 3,2 l
Std. 1500 5400 1687,5
h) Der Brenner einer Ölheizung verbraucht je
Betriebsstunde 3,2 l Öl. Eine Tankfüllung
reicht für 1500 Betriebsstunden. Welchen
Verbrauch hat ein neuer Brenner je Stunde,
wenn die Tankfüllung für 1600 Stunden
reicht?
Std. 1500 1 1600
Öl 3,2 l 4800 l 3 l
i) Ute hat für die Urlaubsreise
Taschengeld gespart. Wenn sie
täglich 9 € ausgibt reicht das Geld
16 Tage. Wie lange reicht es bei
6 € täglich?
9 € für 16 d
1 € für 144 d
6 € für 24 d
k)
Mit 5 Leuten
dauert unsere Wanderung
3,5 Stunden.
keine Proportionalität
Wie lange dauert sie mit 7 Personen?
l) In 14 Tagen können
8 Gärtner einen Park
anlegen. Wie viele
Tage werden benötigt,
wenn nur 7 Gärtner zur
Verfügung stehen?
Gärtner Tage
8 14
1 112
7 16
81
24
5
1687,5
16
7
3
27

Zuordnungen
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen
Welche der folgenden Tabellen bzw. Graphen gehören zu einer besonderen Zuordnung? Kreuze an.
a) b) c) d) e)
f) g) h) i) k)
x y x y x y x y x y
2 12 3 2 2 7 3 1 4 10
3 8 5 4 3 5,5 6 6 6 15
6 4 7 6 4 4 9 3 8 20
10 2,4 9 8 5 2,5 12 9 10 25
Zuordnung a) b) c) d) e) f) g) h) i) k)
je mehr – desto mehr
je mehr – desto weniger
proportional
antiproportional
nichts davon
2
Welche der Zuordnungen ist proportional, welche antiproportional, welche weder proportional
noch antiproportional?
a) Anzahl 14 23 35 43 b) Gewicht in kg 8 13 17 20
Preis in € 5,88 9,66 14,70 18,06 Preis in € 13,44 21,48 25,68 33,60
proportional
weder noch
c) Anzahl 16 25 32 50 d) Stückzahl 15 25 35 45
Dauer in h 7,5 4,8 3,75 2,4 Preis in € 1,18 1,40 1,54 1,65
antiproportional
weder noch
Fülle die Tabellen aus. Gib auch Proportionalitätsfaktor bzw. Produkt an.
a) Die Zuordnung ist proportional b) Die Zuordnung ist antiproportional
x 7 10 12 15 x 4 6 8 16
y 8,4 12 14,4 18 y 2,4 1,6 1,2 0,6
Proportionalitätsfaktor: 1,2 Produkt: 9,6
c) Die Zuordnung ist proportional. d) Die Zuordnung ist antiproportional.
x 12 26 40 54 x 12 26 40 54
y 9 19,5 30 40,5 y 42,25 19,5 12,675 9,389
Proportionalitätsfaktor: 0,75 Produkt: 507
0

Zuordnungen
Rechnen mit Zuordnungen 1
Gib bei folgenden Aufgaben immer zuerst die Zuordnung an. Überlege anschließend, ob sie proportional
oder antiproportional ist.
1
Ein Traktor fährt eine bestimmte Wegstrecke.
Dabei drehen sich die großen Hinterräder, die
einen Umfang von 5,10 m haben, 1938-mal.
Zuordnung: Umfang ° Drehungen
Proportional oder antiproportional: antiproportional
Wie oft drehen sich dabei die Vorderräder, deren Umfang 1,90 m
beträgt?
Umfang Drehungen
5,10 m 1938
1 m 9883,8
1,90 m 5202
2
3
„Sonderangebot! Hackfleisch, 500 g nur 1,75 €“, steht an der
Metzgereitheke.
Zuordnung: Gewicht °
Preis
Proportional oder antiproportional: proportional
a) Frau Sparpfennig kauft 1300 g. Wie viel muss sie bezahlen?
b) Frau Markus will 800 g vom Sonderangebot kaufen. „Darf
es etwas mehr sein?” , fragt die Verkäufern. Anschließend
bezahlt Frau Markus 3,01 €. Wie viel Gramm waren es mehr?
„Warum regen sich alle Leute immer über die
Benzinpreise auf?“, wundert sich Herr Witzigmann.
„Ich tanke immer für 30 €.“
Zuordnung: Preis ° Liter
Proportional oder antiproportional: proportional
Wieviel Liter Benzin erhält Herr Witzigmann für seine 30 € wenn
a) 40 l Benzin 58,40 € kosten,
b) 45 l Benzin 71,55 € kosten?
a) Gewicht Preis
500 g 1,75 €
100 g 0,35 €
1300 g 4,55 €
b) Preis Gewicht
1,75 € 500 g
1 € 285,7 g
3,01 € 860 g
Es sind 60 g mehr
a) Preis Liter
58,40 € 40
1 € 0,685
30 € 20,548
b) Preis Liter
71,55 € 45
1 € 0,629
30 € 18,868
4
Um Papier zu sparen, beschließt Verleger Schragel das neueste
Buch von Professor Dreistein „Mathe macht glücklich“ etwas
enger zu drucken. So sollen 38 Zeilen pro Seite statt der üblichen
36 Zeilen pro Seite gesetzt werden. Bei einem 36-Zeilen-Satz
hätte das Buch 684 Seiten.
Zuordnung: Zellen ° Seiten
Proportional oder antiproportional: antiproportional
a) Wie viele Seiten hat das Buch, wenn 38 Zeilen gesetzt werden?
b) Wie viele Zeilen müssten pro Seite gesetzt werden, wenn das
Buch nur 616 Seiten haben soll?
a) Zeilen Seiten
36 684
1 24 624
38 648
b) Seiten Zeilen
684 36
1 24 624
616 40
Lösungen (ohne Einheiten und gerundet): 4,55; 18,9; 20,5; 40; 60; 648; 5202
11

Zuordnungen
Rechnen mit Zuordnungen 2
Herr Frühlich hat Wein gekauft. Für 17 Flaschen
„Matheberger Sorgenbrecher“ hat er 115,60 €
bezahlt.
a) Wie viel hätten 25 Flaschen von dieser Sorte
gekostet?
b) Wie viele Flaschen erhält man für 149,60 €?
a) b)
Flaschen Preis Preis Flaschen
17 115,60 115,60 17
1 6,80 1 0,15
25 170 149,60 22
2
„Wenn wir in einer Woche 5 kg Kartoffeln essen,
reicht unser Vorrat für 28 Wochen”, erklärt Oma
Fanny.
a) Wie lange reicht der Vorrat, wenn wöchentlich
7 kg gegessen werden?
b) Wie viel wird in der Woche gegessen, wenn
der Vorrat 35 Wochen reicht?
Im Mehrfamilienhaus „Teures Wohnen” wird die
Miete nach Quadratmetern berechnet. Hinzu
kommen für jede Wohnung Nebenkosten in
Höhe von 95 €. Familie Maier bezahlt für ihre
130 m 2 große Wohnung insgesamt 1057 €.
a) Wie hoch ist die Gesamtmiete für die
Nachbarwohnung (120 m 2 )?
b) Nach einer Mieterhörung hat Herr Maier
insgesamt 1105,10 € zu bezahlen, wobei die
Nebenkosten gleich geblieben sind. Wie
viele Quadratmeter hat die Wohnung von
Familie Müller, die nach der Erhöhung insgesamt
1182,80 € bezahlen muss?
a) b)
Menge Wochen Wochen Menge
5 kg 28 28 5 kg
1 kg 140 1 140 kg
7 kg 20 35 4 kg
a) 1057 € – 95 = 962 €
m 2 Miete
130 962 €
1 7,40 €
120 888 €
8 8 8 €
+ 9 5 €
9 8 3 €
b) 1105,10 € – 95 € = 1010,10 €
1182,80 € – 95 € = 1087,80 €
Miete m 2
1010,10€ 130
1 € 0,129
1087,80 € 140
4
Eine Parkanlage kann von 10 Gärtnern in 12
Tagen angelegt werden.
a) Wie viele Tage werden benötigt, wenn nur 4
Gärtner zur Verfügung stehen?
b) Die Anlage ist schon nach 8 Tagen fertiggestellt.
Wie viele Gärtner waren im Einsatz?
c) Wie viele Tage werden insgesamt gebraucht,
wenn von den 10 Gärtnern nach 4 Tagen 2
wegen Krankheit ausfallen?
d) Wie viele Tage werden insgesamt gebraucht,
wenn den 10 Gärtnern, nach 3 Tagen 5
Gärtner zu Hilfe kommen?
a) b)
Gärtner Tage Tage Gärtner
10 12 12 10
1 120 1 120
4 30 8 15
c) d)
Gärtner Tage Gärtner Tage
10 12 10 12
10 8 10 9
1 80 1 90
8 10 15 6
14 Tage 9 Tage
Tipp zu c) und d): Nach 4 Tagen benötigen 10 Gärtner 8 Tage, nach 3 Tagen benötigen 10 Gärtner
9 Tage.
Die Lösungen (ohne Einheiten) sind hier angegeben. Die zugehörigen Buchstaben ergeben in der Reihenfolge der
Aufgaben eine alte Bezeichnung für Dreisatzrechnung.
140 22 4 30 20 9 983 170 14 15
D E E E G I L R R T
Lösungswort: REGELDETRI
2

Zuordnungen
Rechnen mit Zuordnungen 3
1
Herr Reichlich will seinen großen Swimmingpool
leeren. Er benutzt dazu 3 Pumpen, die in 12
Stunden 3600 l Wasser fördern. Wie viele Liter
Wasser pumpen 8 Pumpen in 9 Stunden?
Benutze die Tabelle zur Lösung.
Überlege bei jedem Schritt, ob die zugrunde liegende
Zuordnung proportional oder antiproportional
ist.
Pumpe Zeit Menge
3 12 h 3600 l
1 12 h 1200 l
8 12 h 9600 l
8 1 h 800 l
8 9 h 7200 l
2
3 Maschinen fertigen 6 Bauteile in 4 Stunden.
Wie lange dauert es, bis 10 Maschinen 15
Bauteile produziert haben?
zu sam
men ge setz
ter Drei satz
Maschinen Teile Zeit
3 6 4 h
1 6 12 h
10 6 1,2 h
10 1 0,2 h
10 15 3 h
3
Im letzten Jahr haben in der Verwaltung der Stadt Fröhlichberg 12 Büroangestellte in 15 Tagen 200
Akten bearbeitet. Wie lange brauchen 9 Angestellte für 140 Akten?
Angestellte Akten Tage
12 200 15
1 200 180
9 200 20
9 1 0,1
9 140 14
4
Auf der Großbaustelle „Langer“ werden 14 Lkw benötigt, die 36 Tage lang jeden Tag 8 Fahrten
machen.
a) Wie viele Tage dauern die Arbeiten, wenn 2 Wagen ausfallen und nur 7 Fahrten pro Tag möglich
sind?
b) Die Arbeit soll in 32 Tagen fertig sein, wobei 9 Fahrten pro Tag möglich sind. Wie viele Lkw werden
dann benötigt?
c) Wie viele Tage dauern die Arbeiten, wenn nach 12 Tagen 2 Lkw ausfallen, wobei weiterhin 8
Fahrten pro Tag durchgeführt werden?
a) LKW Fahrten Tage b) Fahrten Tage LKW
14 8 36 8 36 14
1 8 504 8 1 504
12 8 42 8 32 15,75
12 1 336 1 32 126
12 7 48 9 32 14
c) LKW Tage
14 36
14 24
1 336
12 28
28 + 12 = 40
Lösungen (ohne Einheiten): 3; 14; 14; 40; 48; 7200
13

Zuordnungen
Terme 1
Welche Tabellen, Terme und Wortbeschreibungen stellen dieselbe Zuordnung dar?
a) x 1 2 3 4
T(x) 2 6 12 20
b) x 2 3 4 5
T (x) 5 8 11 14
c) x 1 2 3 4
T (x) 8 10 12 14
d) x 1 3 5 7
T (x) 0 8 24 48
(I) Jeder Zahl wird ihr Drei faches,
vermindert um 1, zugeordnet.
(II) Jeder Zahl wird ihr Pro dukt mit
der um 1 größeren Zahl zugeordnet.
(III) Jeder Zahl wird ihr Qua drat, vermindert
um 1, zugeordnet.
(IV) Jeder Zahl wird das Doppelte der
um 3 größeren Zahl zugeordnet.
(1) T (x) = x 2 – 1
(2) T (x) = 2 (x + 3)
(3) T (x) = x (x + 1)
(4) T (x) = 3 x – 1
a)
b)
(II)
(I)
(3)
(4)
c)
d)
(IV) (2)
(III) (1)
2
Ergänze die Tabellen und finde einen Term. (Bei einer Aufgabe lässt sich kein Term finden.)
a) n 1 2 3 4 5 6 b) n 1 2 3 4 5 6
T (n) 1 3 5 7 9 11 T (n) 0 3 8 15 24 35
2 n – 1
n 2 – 1
c) n 1 2 3 4 5 6 d) n 1 2 3 4 5 6
T (n) 2 3 5 7 11 13 T (n) 1 3 7 15 31 63
Primzahlen
2 n – 1
T (n) gibt die Anzahl der Kästchen an, aus denen die Muster bestehen. Zeichne das nächste Muster,
finde einen Term und fülle die Tabelle aus.
a) n 1 2 3 4 5 10
T (n) 1 4 9 16 25 100
Term: n 2
b) n 1 2 3 4 5 10
T (n) 3 6 11 18 27 102
Term:
n 2 + 2
c) n 1 2 3 4 5 10
T (n) 3 8 15 24 35 120
Term:
n 2 + 2 n
4
Max legt mit Streichhölzern Figuren. Wie viele hat er benutzt, wenn er bis zum 24. Quadrat gekommen
ist?
…
1 2 3 4 5 6 24
1 + 24 · 4 = 97
4

Zuordnungen
Terme 2
1
Gib einen Term für den Flächeninhalt und den Umfang der folgenden Figuren an.
a)
b)
x
4
x 1
x 1
4 x
1
Flächeninhalt: 16 x
Flächeninhalt: 10 x
1
x
Umfang: 8 x + 8
Umfang: 8 x + 8
2
Finde einen Term für den Flächeninhalt der nebenstehenden
Figur.
2,5 x 2
x
2 x
x
3
Es soll ein Kantenmodell aus Draht gebaut werden. Bestimme je einen Term, der die Mindestlänge
des Drahtes angibt, den man zum Bau der Modelle benötigt.
a) Prisma
b) Pyramide
c) Pyramide auf Prisma
3
3
3
x 3 x
3
3
x
2
x
x
2
x
x
x
x
6 x + 6 3 x + 9 6 x + 15
4
Die Zeichnung stellt das Netz eines Quaders dar. Finde einen
Term für die Oberfläche und das Volumen des zugehörigen
Quaders.
Oberfläche: 2 (15 x + 2 x 2 )
Volumen:
10 x 2 150 – 3 x 2
x
5
2 x
5
Aus einem Quader sind Teile herausgefräst. Gib einen Term zur Berechnung des Volumens und der
Oberfläche des Restkörpers an.
a)
b)
10 3
5
x
x 5
x
5
x
x
6
Volumen: Volumen: 150 – x 2
Oberfläche: 190 + 12 x – 2 x 2 Oberfläche: 170
Was fällt auf? Hängt nicht von x ab.
15

Prozent- und Zinsrechnung
Relativer Vergleich 1
Färbe den jeweils angegebenen Teil der Fläche nach Augenmaß ein.
a) 25 % b) 50 % c) 33 %
2
Gib den Prozentsatz der gefärbten Fläche an.
a) b) c)
j75 % j10 % j12,5 %
Fülle die Tabelle aus.
davon 50 % 10 % 90 % 25 % 33, __ 3 % 40 %
330 € 165 € 33 € 297 € 82,50 € 110 € 132 €
150 kg 75 kg 15 kg 135 kg 37,5 kg 50 kg 60 kg
450 km 225 km 45 km 405 km 112,5 km 150 km 180 km
90 ml 45 ml 9 ml 81 ml 22,5 ml 30 ml 36 ml
510 cm 255 cm 51 cm 459 cm 127,5 cm 170 cm 204 cm
1200 kg 600 kg 120 kg 1080 kg 300 kg 400 kg 480 kg
4
Gib die zugehörigen Anteile und Prozentsätze an.
55 € von 550 € ___ 1
j
10 = 10 % a) 45 m von 300 m 3
______
20
j
b) 70 l von 210 l ______
1
jjj j
j = % c) 400 m 2 von 600 m 2
______
2
33, __ 3
3
3
j
d) 250 m von 2000 m ______
1
jjj j
j = % e) 1000 € von 2500 €
______
2
12,5
8
5
j
f) 20 m 2 von 400 m 2 ______
1
jjj
j j
= % g) 760 Stimmen von 800 Stimmen ______
19
5
20
20
j
h) 891 € von 900 € ______
99
______ j 11
99
100
100
j = jjj % i) 22 Stimmen von 200 Stimmen
15
j = jjj %
66, __ 6
j = jjj %
40
j = jjj %
95
j = jjj %
11
j = jjj %
6

Prozent- und Zinsrechnung
Relativer Vergleich 2
1
Ordne zu.
a)
​ 1__
4 ​ 12,5 % b)
0,017 1,7 %
c)
_______ ​
1
100 000 ​ 0,1 %
1 25 % 0,17 3,7 % ​________
1
1000 000 ​ 10 ‰
0,2 133,3 % _____ ​ 17 ​ 0,37 % 0,001 0,01 %
1000
​ 1__ ​ 100 % 0,037 1,7 % 0,0001 10 ppm
8
​ 4__ ​ 20 % 0,0037 17 % 0,01 1 ppm
3
2
3
Bestimme die Prozentsätze wie im Beispiel. Kürzen kann helfen.
___ ​ 14
35 ​= __ ​2 5 ​ = ​40 ____
100 ​ = 40 % a) ____
170 ​17 ​= ​j ______ 1
10
b) ____ ​ 18 ​= ​j ______
6
150
50
d) ____ ​ 16 ​= ​j
320
f) ____ ​ 10 ​= ​j
125
j ​ jjj = _______
12
​
100
______ 1
j ​ jjj = _______ 5
​
20 100
______
2
j ​ jjj = _______
8
​
25 100
12
jjj ​ = jj % c) ___ ​ 63
70
5
jjj ​ = jj % e) ​ 36
8
jjj ​ = jj % g) ___ ​ 16
80
j ​ jjj = _______ 10
​
100
9
______
j ​ jjj 90
= _______ ​
10 100
______
1
j ​ jjj = _______
25
​
4 100
______
2
j ​ jjj = _______
20
​
10 100
​= ​j
____ ​= ​j
144
​= ​j
jjj ​ = jj %
jjj ​ = jj %
jjj ​ = jj %
jjj ​ = jj %
Ein Fernseher kostet 1000 €. Der Preis wird zweimal hintereinander um 20 % erhöht. Wie viel kostet
der Fernseher nach der zweiten Preiserhöhung. Mache zunächst einen Überschlag.
Überschlag: jjjjj 1400 €
10
90
25
20
20 % von 1000 € sind 200 €
1200 € nach der ersten Erhöhung
20 % von 1200 € sind 240 €
1440 € nach der zweiten Erhöhung
Preis nach der ersten Erhöhung: jjjjj 1200 € Preis nach der zweiten Erhöhung: jjjjj 1440 €
4
Für Überschlagsrechnungen im Kopf ist es häufig einfacher mit Anteilen zu rechen als mit
Prozentangaben ​( 51 % ist ungefähr ​ 1__
2 ​ )​. Ordne die Anteile den Prozentangaben zu.
1,9 % 4,8 % 8,4 % 10,1 % 11 % 12,61 % 14,3 % 19,4 % 25,3 % 32 % 49,1 %
​___
1
50 ​ ​1 ___
20 ​ ___ ​1 12 ​ ___ ​1 10 ​ __ ​1 9 ​ __ ​1 8 ​ __ ​1 7 ​ __ ​1 5 ​ __ ​1 4 ​ __ ​1 3 ​ __ ​1 2 ​
​___
1
50 ​ ___ ​1 20 ​ __ ​1 7 ​ ​1 __
5 ​
​__
1 3 ​ __ ​1 8 ​
​__
1 2 ​ __ ​1 9 ​
__ ​ 1 4 ​ ___ ​1 10 ​ ___ ​1 12 ​
17

Prozent- und Zinsrechnung
Prozentwert
Berechne den Prozentwert in der Tabelle. Man muss nicht immer auf 1 % schließen.
a) 24 % von 650 € b) 57 % von 1250 l c) 48 % von 3420 m
Prozent Menge
100 % 650 €
4 % 26 €
Prozent Menge
Prozent Menge
100 % 1250 l
100 % 3420 m
1 % 12,5 l
4 % 136,8 m
24 % 156 €
57 % 712,5 l
48 % 1641,6 m
2
Berechne den Prozentwert im Rechenschema.
a) 3 % von 1577 € b) 16 % von 25 Mitgliedern c) 45 % von 10 Minuten
15,77 €
0,25
0,1 min
: 100 ∙ 3 : 100
· 16 : 100
· 45
47,31 €
1577 €
3
∙ ___
100
3 % von 1577 € sind jj
25
·____
16
100
4
16 % von 25 Mitgliedern
sind 4 Mitglieder.
10 min 4,5 min
· ____ 45
100
45 % von 10 min sind
4,5 min.
Berechne den Prozentwert wie im Beispiel. Nutze gegebenenfalls den Taschenrechner.
79 % von 450 € a) 67 % von 555 m
· 0,79
450 € ⎯⎯→
jjj · 0,67
335,50 €
555 m ⎯⎯→ 371,85 €
b) 11 % von 8000 kg c) 85 % von 25,20 €
jjj · 0,11
8000 kg ⎯⎯→ 8380 kg
jjj · 0,85
25,20 € ⎯⎯→ 21,42 €
4
Berechne. Wähle selbst einen Rechenweg, den du für sinnvoll hältst.
a) 12 % von 20 000
Wählerstimmen
2400
Wählerstimmen
b) 85 % von 120 kg c) 0,3 % von 4000 ml
102 kg 12 ml
d) 190 % von 66,60 € e) 102 % von 35 m 2 f) 36 % von 450 ml
126,54 € 35,7 m 2 162 ml
8

Prozent- und Zinsrechnung
Grundwert
1
Berechne den Grundwert in der Tabelle. Man muss nicht immer auf 1 % schließen.
a) 45 % entpsrechen 90 € b) 64 % entsprechen 2 000 ml c) 125 % entsprechen 550 kg
Prozent Menge
45 % 90 €
5 % 10 €
Prozent Menge
Prozent Menge
64 % 2000 ml 125 % 550 kg
4 % 125 ml
25 % 110 kg
100 % 200 € 100 % 3125 ml 100 % 440 kg
2
Berechne den Grundwert im Rechenschema.
a) Die Partei hat 7 % Mitglieder
verloren. Das sind 630
Personen.
b) Der Preis wurde um 12 %
gesenkt. Das sind 6,60 €.
9000
·____
​ 100
7 ​
630
55 €
·____
​ 100
12 ​ 6,60 €
c) Das Brett wurde um 56 %
gekürzt. Das sind 49 cm.
87,5 cm
·____
​ 100
56 ​ 49 cm
∙100
: 7
90
Die Partei hatte jjj 9000
Mitglieder.
· 100
: 12
0,55 €
Der Preis betrug vorher
55 €.
· 100
: 56
0,875 cm
Das Brett war vorher
87,5 cm lang.
3
Vervollständige das Beispiel. Berechne die Grundwerte wie im Beispiel.
88 % entsprechen 1100 l. a) 19 % entsprechen 627 ml.
·
1250 l ⎯⎯→ 0,88
· 0,19
1100 l
⎯⎯→⎯⎯→jjj
: 0,88
3300 ml
627 ml
: 0,19
⎯⎯→
jjj
b) 101 % entsprechen 324,12 €. c) 63 % entsprechen 35,28 m 2 .
· 1,01
· 0,63
≈ 320,91 € ⎯⎯→⎯⎯→jjj
324,12 € 56 m ⎯⎯→⎯⎯→jjj
2 35,28 m 2
: 1,01
: 0,63
jjj
jjj
4
Bestimme den Grundwert. Wähle selbst einen Rechenweg, den du für sinnvoll hältst.
a) 12 % einer Länge entsprechen
72 cm.
b) Die Partei hat 6 % ihrer
Stimmen verloren. Das sind
3000.
c) Peter hat seine Arbeitszeit um
35 % überschritten. Das sind
14 Stunden.
600 cm 50 000 Stimmen 40 Stunden
19

Prozent- und Zinsrechnung
Prozentsatz – vermehrter und verminderter Grundwert
2
Bestimme die Prozentsätze wie im Beispiel. Runde wenn nötig wie im Beispiel.
12 € von 33 € a) 18 von 123 Mitgliedern b) 7 von 97 Angestellten
___ 12 j
33 ≈ 0,364 = 36,4 % ______
18
0,146 14,6
______ j 7
0,072 7,2
123
97
j ≈ jjj = jj %
j ≈ jjj = jj %
c) 55 € von 56 € d) 47 von 233 Schülern e) 37 € von 33 €
______ j 55
98,2
______ j 47
0,202 20,2
______ j 37
1,121 112,1
56
233
33
j ≈ jjj = jj %
j ≈ jjj = jj %
j ≈ jjj = jj %
Häufig sind die Prozentwerte verminderte oder vermehrte Grundwerte. Berechne.
a) Eine Hose kostet mit 19 %
Mehrwertsteuer 47,60 €.
Wie viel kostet die Hose
ohne Mehrwertsteuer?
b) Im letzten Jahr stieg die
Mitgliederzahl des Vereins
um 12 %. Er hat nun
560 Mitglieder. Wie viele
Mitglieder hatte er vorher?
c) In der Mediawelt-Meyer gibt
es auf alle Fernseher 12 %
Rabatt. Der Colorstar-760
kostet jetzt 429,76 €. Wie
viel kostet der Fernseher
ohne Rabatt?
Prozentsatz Preis
Prozentsatz Mitgliederzahl Prozentsatz Preis
119 % 47,60 €
1 %
jjj 0,40 €
100 %
jjj 40 €
112 % 560
2 % 10
100 % 500
88 % 429,76 €
1 % ≈ 4,8836 €
100 % ≈ 488,36 €
Die Hose kostet 40 €
ohne Mehrwertsteuer.
d) Beim Roman von Henriette
Minkel sind im Preis 7 %
Mehrwertsteuer enthalten.
Er kostet 14,98 €. Wie viel
kostet der Roman ohne
Mehrwertsteuer?
Prozentsatz Preis
107 % 14,98 €
1 % 0,14 €
Der Verein hatte vorher
500 Mitglieder.
e) Im letzten Jahr ist der Preis
für Milli-Milch um 2,5 %
gestiegen. Der Liter kostet
jetzt 0,82 €. Wie viel kostete
der Liter Milli-Milch vorher?
Prozentsatz Preis
102,5 % 0,82 €
1 % 0,008 €
Der Colorstar­760
kostete 488,36 €
f) In den letzten Tagen ist
der Wasserspiegel um 24 %
gesunken. Er steht jetzt
bei 2,47 m. wo stand der
Wasserspiegel vorher?
Prozentsatz Höhe
76 % 2,47 m
1 % 0,0325 m
100 % 14 €
100 % 0,80 €
100 % 3,25 m
Der Roman kostet 14 € Der Liter kostete vorher Der Wasserspiegel
ohne Mehrwertsteuer. 0,80 €.
stand bei 3,25 m.
Berechne aus den vermehrten oder verminderten Grundwerten die ursprünglichen Preise. Orientiere
dich an dem Beispiel. Runde auf ganze Cent.
Der Preis ist um 17 %
gestiegen. Er beträgt jetzt
22,50 €.
· 1,17
⎯⎯→
≈ 19,23 € 22,50 €
: 1,17
⎯⎯→
a) Der Preis ist um 25 % gestiegen.
b) Der Preis beinhaltet 19 %
Er beträgt jetzt 120 €. Mehrwertsteuer. Er
beträgt
96 €
· 1,25
⎯⎯→⎯⎯→jjj
jjj : 1,25
3,99 €.
120 € ≈ 3,35 €
· 1,19
⎯⎯→⎯⎯→jjj
jjj : 1,19
3,99 €
20

Prozent- und Zinsrechnung
Geld und Prozente 1
1
Ergänze die Tabelle.
Zinssatz
Kapitel
2 % 4 % 3,5 % 1,5 % 2,7 % 10 % 8 % 2,5 %
45 000 € 900 € 1800 € 1575 € 675 € 1215 € 4500 € 3600 € 1125 €
3000 € 60 € 120 € 105 € 45 € 81 € 300 € 240 € 75 €
≈ ≈ ≈ ≈
170 €
11 333,33 € 226,67 € 453,33 € 396,67 €
306 € 1133,33 € 906,67 € 283,33 €
6600 € 132 € 264 € 231 € 99 € 178,20 € 660 € 528 € 165 €
11 000 € 220 € 440 € 385 € 165 € 297 € 1100 € 880 € 275 €
2
Harald möchte 12 000 € bei einer Bank anlegen.
Angebot 1:
Die Spar-Eifrig-Bank bietet Harald
1 % Jahreszins für die ersten 2000 €
und 4 % für den restlichen Betrag.
Angebot 2:
Die Kundentreu-Bank bietet ihm
3,5 % Zinsen für das ganze Kapital.
a) Welches Angebot sollte Harald wählen, wenn er sein Geld für ein Jahr anlegen möchte?
Angebot 1: 12 420 €; Angebot 2: 12 420 €; Es ist egal.
b) Welches Angebot sollte Harald wählen, wenn er sein Geld für mehr als ein Jahr anlegen möchte?
2 Jahre: Ang. 1: 12 856,80 €; Ang. 2: 12 854,70 €; Harald sollte Angebot 1 wählen.
3
Marianne und Michael Grünberg möchten ein Haus bauen. Für die Zinsen des Baukredits können
sie pro Jahr maximal 7000 € aufbringen. Die Vertragsbedingungen weisen einen Zinssatz von 5,6 %
Zinsen aus.
a) Wie hoch kann die Kreditsumme höchstens sein?
Die Kreditsumme kann höchstens 125 000 € betragen.
b) Von den 7000 € sollen bereits 2100 € für die Abzahlung des Kredits in ersten Jahr zur Verfügung
stehen. Wie hoch darf die Kreditsumme bei obigem Zinssatz jetzt sein?
Die Kreditsumme kann höchstens 87 500 € betragen.
4
Familie Dieterle hat 35 000 € geerbt. Sie legen das Geld bei einer Bank zu einem Zinssatz von 4,5 %
an.
a) Untersuche, wie sich das Kapital in den nächsten 10 Jahren entwickelt. Runde auf ganze Cent.
Jahre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kapital 36 575 € 39 940,81 € 43 616,37 € 47 630,16 € 52 013,33 €
38 220,88 € 41 738,15 € 45 579,10 € 49 773,52 € 54 353,93 €
b) Wie entwickelt sich das Kapital, wenn die Familie am Jahresende jeweils 500 € abhebt?
Jahre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kapital
36 075 € 38 372,30 €
37 198,38 €
40881,01 € 43 620,59 € 46612,27 €
39 599,06 € 42 220,66 € 45 083,51 € 48 209,83 €
21

Prozent- und Zinsrechnung
Geld und Prozente 2
Verzinse jährlich mit dem angegebenen Prozentsatz. Brich die Rechnung ab, wenn sich das Kapital
ungefähr verdoppelt hat. Trage die Verdopplungszeit in die Tabelle ein.
a) Kapital 1000 € Zinssatz 8 % b) Kapital 2000 € Zinssatz 8 % c) Kapital 500 € Zinssatz 4 %
d) Kapital 700 € Zinssatz 7 % e) Kapital 1000 € Zinssatz 9 % f) Kapital 500 € Zinnssatz 3 %
a) b) c) d) e) f)
Prozentsatz 8 % 8 % 4 % 7 % 9 % 3 %
Verdopplungszeit ca. 9 Jahre ca. 9 Jahre ca. 18 Jahre ca. 10 Jahre ca. 8 Jahre 23 – 24 Jahre
2
Berechne das Kapital nach mehreren Jahren. Runde auf volle Cent-Beträge.
Ein Kapital von 4000 € wird
3 Jahre mit einem Prozentsatz
von 5 % verzinst.
4000 €
· 1,05 3
⎯⎯→
4630,50 €
a) Ein Kapital von 3600 € wird b) Ein Kapital von 1000 € wird
5 Jahre mit einem Zisnsatz 7 Jahre mit einem Zinssatz
von 3 % verzinst.
von 4,5 % verzinst.
jjj · 1,03 5
jjj
3600 € ⎯⎯→ ≈ 4173,39 € 1000€ · 1,0457 ⎯⎯→ ≈ 1360,86 €
4
Ein Kapital wurde 6 Jahre mit einem Zinssatz von 4 % verzinst. Es sind nun 11 111 € vorhanden.
Welches Kapital wurde angelegt?
Ergänze die Lücken in den Tabellen. Der Jahreszinssatz gilt jeweils für die ganze Tabelle.
a) Zinssatz 4 % b) Zinssatz 3 %
Kapital
Zeit
jjj
≈ 8781,18 € · 1,046
11 111 €
jjj⎯⎯→
: 1,04 6
⎯⎯→
Es wurde ein Kapitel von 8781,18 € angelegt.
1__
4 Jahr 2 Monate 7 Monate Zeit
Kapital
1__ Jahr 10 Monate 1 Monat
3
15 000 € 150 € 100 € 350 € 4800 € 48 € 120 € 12 €
7500 € 75 € 50 € 175 € 2 000 € 20 € 50 € 5 €
1200 € 12 € 8 € 28 € 1750 € 17,50 € 43,75 € ≈ 4,38 €
c) Zinssatz 1,8 % d) Zinssatz jj 2 %
Zeit
Kapital
10 Tage 15 Tage 60 Tage
Zeit
Kapital
1 Tag 9 Tage 2 Monate
10 000 € 5 € 7,50 € 30 € 7500 € ≈ 0,42 € 3,75 € 25 €
2000 € 10 € 15 € 60 € 9000 € 0,50 € 4,50 € 30 €
4400 € 2,20 € 3,30 € 13,20 € 1500 € ≈ 0,08 € 0,75 € 5 €
22

Prozent- und Zinsrechnung
Vermischte Übungen 1
1
Für zwei Werbewochen senkt ein Geschäft die Preise zunächst um 25 %. Danach setzt es die Preise
für die Aktion um 25 % wieder herauf.
a) Ein Artikel kostete ursprünglich 164,80 €. Wie viel kostete er in den Werbewochen, wie viel nach
den Werbewochen?
In den Werbewochen: Der Artikel kostet 123,60 €.
Nach den Werbewochen: Der Artikel kostet 154,50 €.
b) Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Der Preis ist um 6,25 % gestiegen.
2
Nuss-Nougat-Creme besteht zu ca. 33 % aus Fett, zu ca. 55 % aus Kohlenhydraten und zu ca. 8 %
aus Eiweiß. 4 % sind sonstige Bestandteile.
a) Berechne die ungefähren Mengen in einem 800 g Glas.
264 g Fett 440 g Kohlenhydrate 64 g Eiweiß 32 g sonstige Bestandteile
b) Leopold liebt Nuss-Nougat-Creme. Er weiß aber auch, dass man täglich nur etwa 60 g Fett
zu sich nehmen soll. Wie viel Creme darf Leopold pro Tag essen, wenn er höchstens ​ 1__
4 ​seines
Fettbedarfs mit Nuss-Nougat-Creme decken möchte? Wie lange reicht dann sein 800-g-Glas?
Er darf höchstens 45,45 g Nuss-Nougat-Creme pro Tag essen.
Ein 800 g-Glas reicht für fast 18 Tage.
3
Alexander kauft im April beim Händler Herrmann Tech einen Computer für 420 €. Dieser hätte im
Februar noch 525 € gekostet. Herrmann Tech hat im Großhandel 315 € bezahlt.
Welche Aussagen sind richtig? Finde das Lösungswort. richtig falsch
„Der Preis des Computers wurde zum April um 20 % gesenkt.“ R U
„Erhöht der Händler den neuen Preis um 20 %, so erhält man wieder 525 €.“ T O
„Von den 420 € kann Herrmann Tech 33,3 % als Gewinn verbuchen.“ I T
„Der neue Preis beträgt 80 % des alten Preises.“ E A
„Herrmann Tech hat den Computer 33,3 % über seinem Einkaufspreis verkauft.“ S M
„Der Preis im Februar beträgt 125 % des neuen Preises.“ O N
„Hätte Herrmann Tech den Computer für 525 € verkauft, so hätte sein Gewinn
über 50 % des Verkaufspreises gelegen.“
Lösungswort: ROSE
A
M
4
In einer Klasse haben 12 Schüler blaue Augen, 20 % aller Schüler haben braune Augen, 40 % aller
Schüler haben weder blaue noch braune Augen. Die Hälfte aller Mädchen trägt eine Brille, 6 Jungen
sind Einzelkinder, 60 % aller Schüler sind Mädchen, in der Klasse sind 12 Brillenträger, ​ 1__ ​aller Schüler
3
sind Einzelkinder.
a) Wie viele Schüler sind in der Klasse? Es sind 30 Schüler in der Klasse.
b) Wie viele Mädchen bzw. Jungen sind in der Klasse? Es sind 18 Mädchen und 12 Jungen in der Klasse.
c) Wie viel Prozent der Jungen tragen eine Bille? 25 % der Jungen trägt eine Brille.
__
d) Wie viel Prozent der Mädchen sind Einzelkinder? Es sind 22,​2​ % der Mädchen Einzelkinder.
23

Prozent- und Zinsrechnung
Vermischte Übungen 2
Frau Ruppig und der Ladenbesitzer Herr Friedbert haben Streit. Frau Ruppig möchte eine Bohrmaschine
kaufen. Diese ist mit 180 € ausgezeichnet. Hinzu kommen noch 19 % Mehrwertsteuer. Da
die Maschine am Gehäuse eine kleine Beschädigung hat, will Herr Friedbert 25 % Rabatt geben.
Herr Friedbert zieht zuerst 25 % ab und berechnet dann den Preis mit Mehrwertsteuer. Frau Ruppig
verlangt, dass er umgekehrt vorgeht. Was meinst du dazu?
Herr Friedberts Rechenweg
Frau Ruppigs Rechenweg
Preis nach Rabatt Preis mit Mehrwertsteuer Preis mit Mehrwertsteuer Preis nach Rabatt
135 € 160,65 € 214,20 € 160,65 €
Der Streit ist nicht nötig. Es ist egal, wie man vorgeht.
2
Familie Petersen besitzt ein Grundstück. Es
hat eine Länge von 30 m und eine Breite von
40 m. Durch den Ausbau zweier Straßen wird
das Grundstück um 10 % kürzer und um 15 %
schmaler.
a) Berechne die neuen Seitenlängen des
Grundstücks. 27 m, 34 m
b) Zeichne das ursprüngliche Grundstück
auf der rechten Seite. Zeichne die neuen
Grundstücksgrenzen ein.
c) Um wie viel Prozent ist die Fläche des
Grundstücks kleiner geworden? 23,5 %
d) Markiere anhand der Zeichnung,
warum das Grundstück um weniger als
15 % + 10 % = 25 % kleiner geworden ist.
30 m
40 m
Dieses Stück kann nur einmal
weggenommen werden
(1,5 % der Gesamtfläche).
10 m
Frau Kleingeld verdient im Moment 2500 € im Monat. Ihr Chef ist mit ihrer Arbeit mehr als zufrieden,
deshalb bietet er ihr als Gehaltserhöhung zwei Angebote zur Auswahl.
Angebot 1: Das Monatsgehalt steigt in den nächsten 3 Jahren zu Jahresbeginn um jeweils 270 €.
Angebot 2: Das Monatsgehalt steigt in den nächsten 3 Jahren zu Jahresbeginn um jeweils 10 %.
Welches Angebot ist langfristig für Frau Kleingeld lohnender?
Angebot 1: 3310 € Angebot 2: 3327,50 €
Angebot 2 ist langfristig lohnender.
4
Nach einer Preissenkung um 8 % verkauft ein Warenhaus seine Artikel für unten stehende Preise.
Berechne jeweils den ursprünglichen Preis. Runde auf ganze Cent.
neuer Preis 45,90 € 137,50 € 257 € 17,80 € 89,90 € 2,38 € 78,30 €
alter Preis
≈
49,89 €
≈
149,46 €
≈
279,35 €
≈
19,35 €
≈
97,72 €
≈
2,59 €
≈
85,11 €
24

Prozent- und Zinsrechnung
Vermischte Übungen 3
1
Hannes kauft im Computerfachgeschäft von Herrn Bit einen Computer, der bereits ein halbes Jahr
alt ist. Herr Bit gewährt Hannes deshalb 20 % Rabatt. Da Hannes aber nicht genug Geld hat, lässt
sich Herr Bit auf eine Ratenzahlung ein, für die er aber einen Aufschlag von 5 % verlangt. Hannes
bezahlt nun insgesamt 840 €.
a) Wie viel hätte Hannes bezahlen müssen,
wenn er nicht auf die Ratenzahlung angewiesen
wäre?
b) Wie viel hat der Computer vor der Preissenkung
gekostet?
840 € : 1,05 = 800 €
800 € : 0,8 = 1000 €
Hannes hätte 800 € bezahlen müssen. Der Computer hat 1000 € vor der
Preissenkung
gekostet.
c) Wie viel Prozent hat Hannes trotz seiner Ratenzahlung gespart?
_____ ​
160 ​ = 16 % Hannes hat 16 % gespart.
1000
2
3
Reiner Apfelsaft soll im Verhältnis 2 zu 3 zu Apfelschorle verdünnt werden. Die Firma Bertram
möchte 10 000 l Apfelschorle herstellen. Wie viel Apfelsaft muss sie im Großhandel einkaufen?
​__
2 ​· 10 000 l = 4000 l Die Firma Bertram muss 4000 l Apfelsaft einkaufen.
5
Henriette ist gerade 13 Jahre alt und hat 2000 € von ihrem Lieblingsonkel geschenkt bekommen.
Die Bank bietet 4 % Zinsen. Zu ihrem 18. Geburtstag möchte sie 2200 € für ihren Führerschein zur
Verfügung haben.
a) Wie viel Geld muss Henriette jetzt mindestens anlegen, um ihr Sparziel zu erreichen?
2200 € : 1,04 5 ≈ 1808,24 €
Antwort: Henriette muss mindestens 1808,24 € anlegen.
b) Welchen Anteil ihres Geschenks kann Henriette dann trotzdem noch im Sommerurlaub verjubeln?
______ ​ 191,76 ​≈ 9,59 % Henriette kann ungefähr 9,59 % des Geschenks verjubeln.
2200
4
5
Siegfried hat 16 000 € bei einer Bank angelegt. Bereits nach 4 Monaten hat er es sich anders überlegt
und lässt sich sein Geld mit Zinsen wieder auszahlen. Er erhält 16 160 €. Welchen Jahreszinssatz
hat die Bank bezahlt? _______ ​ 3 · 160 € ​ Die Bank hat einen Zinsatz von 3 % bezahlt.
16 000 €
Petra Pasulke bezahlte ursprünglich 250 € Miete für ihr Studentenzimmer, nun sie ist sauer. In ihrem
Mietvertrag steht, dass ihr Vermieter Karl Reibach die Miete in drei Jahren um maximal 15 % erhöhen
darf. Herr Reibach hat die Miete im ersten, zweiten und dritten Jahr um jeweils 5 % erhöht.
a) Wie viel Miete muss sie jetzt zahlen? Sie muss jetzt etwa 289,41 € Miete zahlen.
b) Hat sich der Vermieter an den Mietvertrag gehalten? Nein, die Obergrenze liegt bei 287,50 €.
25

Winkel und besondere Linien
Winkelsätze an Geradenkreuzungen 1
Gib in den Skizzen an, wie groß die gesuchten Winkel sein müssten. Messen funktioniert nicht. Die
grünen Geraden sind jeweils parallel zueinander.
a)
Begründung
γ
α = 80° , α ist Nebenwinkel zu 100°.
100°
α
= 100° , ist Scheitelwinkel zu 100°.
γ = 100° , γ ist Stufenwinkel
zu 100°.
b)
c)
γ
95°
α
40°
α
γ
α = 40° = 140° γ = 40° α = 95° = 95° γ = 85°
d)
70°
γ
α
e)
α
130°
γ
65°
α = 110° = 70° γ = 70° α = 50° = 50° γ = 115°
f)
g)
γ
α
135°
50°
α
105°
60°
γ
α = 45° = 75° γ = 105° α = 70° = 60° γ = 110°
26

Winkel und besondere Linien
Winkelsätze an Geradenkreuzungen 2
1
Gib in den Skizzen an, wie groß die gesuchten Winkel sein müssten. Die grünen Geraden sind
jeweils parallel zueinander.
a)
b)
α
α
γ
40°
γ
38°
33°
α = 140° = 40° γ = 140° α = 33° = 147° γ = 142°
2
In einem Parallelogramm werden durch die
Diagonale die Winkel α und γ zerlegt. Welche
Winkel sind gleich groß? Begründe.
α
1
= γ 1
und α 2
= γ 2
;
da jeweils Wechselwinkel zueinander.
γ 2
γ 1
α 1
α 2
3
In einem Trapez gilt α = 80° und γ = 135°.
Berechne die anderen Winkelgrößen.
δ
γ
= 45° δ = 100°
α
4
Welches der Vierecke ist ein Trapez? Begründe.
a)
70°
b)
135°
72°
43°
Kein Trapez, da keine parallelen Seiten.
Kein Trapez, da die Winkel sich nicht
zu 180° ergänzen.
c)
d)
40°
115° 125°
115°
110° 70°
65°
Ist ein Trapez, da die entsprechenden
Kein Trapez, da sich der 70° Winkel und
Winkel sich zu 180° ergänzen.
der 115° Winkel nicht zu 180° ergänzen.
27

Winkel und besondere Linien
Winkelsätze an Vielecken 1
Gib in den Skizzen an, wie groß die gesuchten Winkel sein müssten.
a)
b)
α
113°
36°
36°
γ
25°
42°
α
110°
α = 67°
α = 110° = 144° γ = 34°
c)
100°
d)
α
80°
20°
α
65°
35°
35°
55°
e)
α = 115°
α = 70° = 35°
g
h
34°
129°
α
17° f)
g i h
γ
34°
30°
α
45°
50°
α = 51°
α = 85° = 85° γ = 65°
g)
h) Regelmäßiger Stern
59°
α
31°
α
α = 31° = 59°
α = 60° = 120°
28

Winkel und besondere Linien
Winkelsätze an Vielecken 2
1
Gib in den Skizzen an, wie groß die gesuchten Winkel sein müssten.
a)
b)
105°
γ
110°
α
α
c)
α = 70°
α = 75° = 75° γ = 105°
d)
g
56°
35°
α α
g i h
30°
α
40°
56°
α
h
α = 255°
α = 62° = 59°
2
b i d
c i e
87°
e
ε
α
a
155°
d
b
87°
c
γ
87°
α = 112°
γ = 93°
ε = 93°
3
4
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der größte Winkel zehnmal so groß wie der kleinste. Gib alle
Winkelgrößen an.
α = 9° = 81° γ = 90°
Ein Giebeldach hat die Dachneigung α und die
γ
Dachkanten stehen in einem Winkel γ zueinander.
α α
a) Welchen Winkel schließen die Dachkanten ein, wenn die Neigungswinkel 22° betragen?
γ = 180° – 2 · α = 136°
b) Bestimme die Dachneigung, wenn die Dachkanten einen Winkel von 110° einschließen.
2 α = 180° – 110° = 70°. Somit α = 35°.
c) Welche Winkel der Dachkanten können entstehen, wenn nur Dachneigungen zwischen 20° und
60° zugelassen sind?
Die Dachkanten schließen dann einen Winkel zwischen 60° und 140° ein.
29

Winkel und besondere Linien
Mittelsenkrechte – Lot – Winkelhalbierende – Mittelparallele 1
Konsturiere mit Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechte zu ___
AB . Bringe dazu zunächst die
Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.
3 1 4 2
Schritt j Schritt j Schritt j Schritt j
Kennzeichne die
Schnittpunkte S 1
und
S 2
der beiden Kreise.
Zeichne um A einen
Kreis K 1
mit Radius
r > 1__ ___
AB .
2
A
Zeichne die Gerade
durch S 1
und S 2
.
Zeichne um B einen
Kreis K 2
mit dem gleichen
Radius r.
S 1
S 2
B
2
Bringe die Bilder in die richtige Reihenfolge. Was wurde konstruiert?
a) Schritt j2 Schritt j4 Schritt j3 Schritt j1
P
P
P
P
g
g
g
B
B
B
A
A
A
Q
Q
Was wurde konstruiert? Lot von P auf g
b) Schritt j4 Schritt j1 Schritt j3 Schritt j2
g
g
g i h
g
g
g
h
h
h
h
Was wurde konstruiert? Mittelparallele
Zeichne einen 80° großen Winkel und halbiere ihn mit Zirkel und Lineal.
0

Winkel und besondere Linien
Mittelsenkrechte – Lot – Winkelhalbierende – Mittelparallele 2
1
2
Wo liegen alle Punkte, die
a) von zwei Punkten A und B gleich weit entfernt sind? Mittelsenkrechten
b) von den Schenkeln a, b eines Winkels gleichen Abstand haben? Winkelhalbierenden
c) zu zwei Parallelen g und h gleichen Abstand haben? Mittelparallele
In welchem Punkt S schneiden sich die Mittelsenkrechten der Strecken ​ ___
AB​und ​ ___
CD​?
6
5
y
S
A (1 | 1)
B (4 | 0)
C (5,5 | 0,5)
D (8,5 | 3,5)
4
3
D
4 5
S (jj | jj )
2
1
A
B
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C
x
3
Konstruiere einen Punkt P, der von den Geraden g und h jeweils 2 cm entfernt ist. Beschreibe dein
Vorgehen.
g
Beschreibung:Konstruiere jeweils mithilfe zweier
P
Senkrechten eine Parallele zu den Schenkeln
im Abstand von 2 cm; der Schnittpunkt der
beiden Parallelen ist P. (Oder: eine Parallele
h
und die Winkelhalbierende)
4
In einen Kreis sind zwei Sehnen eingezeichnet. Zeichne zu den beiden Sehnen jeweils die
Mittelsenkrechte.
M
Was wird konstruiert? Mittelpunkt
des Kreises.
31

Winkel und besondere Linien
Besondere Linien und Punkte im Dreieck 1
Konstruiere den Inkreis des Dreiecks. Gib den Mittelpunkt M I und den Radius r I des Inkreises an.
Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
y
6
C
5
D
F
a) A (3 | 0); B (5 | 2); C (0 | 5)
M I (jj 3,2 | jj) 1,8
r I = 1,1 cm
4
3
2
1
A
M I
B
E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
M I
x
b) D (2 | 6); E (7 | 1); F (10 | 5)
M I (jj 6,8 | jj) 3,7
r I = 1,7 cm
2
Konstruiere den Umkreis und den Inkreis des Dreiecks ABC mit A (1 | 3); B (6 | 1); C (2 | 5). Gib die
Mittelpunkte M U und M I sowie die Radien r U und r I an. Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Umkreis
y
5
4
3
2
C
A
M U (jj 3,8 | jj) 2,8
r U = 2,8 cm
M
Inkreis
I
M
M I
U
(jj 2,3 | jj) 3,5
r I = 0,9 cm
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B
x
a) Welcher Punkt P ist von den Eckpunkten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt?
b) Welcher Punkt Q ist von den Seiten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt?
y
4
3
2
1
C
Q
A
P
B
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (1,5 | 2); B (7,5 | 1);
C (6,5 | 4,5)
Gib auch an, welche
Linien du für die
Konstruktion der Punkte P
und Q benutzt.
a) P (jj 4,6 | jj) 2,1
Mittelsenkrechten
b) Q (jj 5,7 | jj) 2,6
Winkelhalbierenden
2

Winkel und besondere Linien
Besondere Linien und Punkte im Dreieck 2
1
Bestimme den Schwerpunkt S des Dreiecks. Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
y
5
C
4
3
2
1
A
F
E
S
S
B
D
x
a) A (0 | 1); B (6 | 1); C (0 | 4)
2 2
S (jj | jj)
b) D (8 | 1); E (9,5 | 4,5);
F (2 | 5)
S (jj 6,5 | jj) 3,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
Konstruiere den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks.
y
C F
5
a) A (0 | 2); B (3 | 0); C (2 | 5)
H (jj 0 | jj) 2
4
b) D (5 | 2); E (8 | 2); F (4 | 5)
3
A
2
H
D
E
H (jj 4 | jj) 0,7
1
B
H
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
3
Konstruiere im Dreieck ABC mit A (2 | 2); B (9 | 4); C (6,5 | 7) den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten,
W der Winkelhalbierenden, S der Seitenhalbierenden, H der Höhengeraden.
y
C
Welcher der Punkte ist
7
welcher Schnittpunkt?
H
6
jj W (6,4 | 4,7)
jj H (6,8 | 6,0)
5
W
S
jj S (5,9 | 4,4)
4
B
M
jj M (5,3 | 3,6)
3
2
A
1
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
33

Winkel und besondere Linien
Besondere Linien und Punkte im Dreieck 3
Konstruiere die gesuchten Punkte.
a) Drei Polarstationen P 1 ,
P 3
P 2 und P 3 benötigen ein
P 2
gemeinsames Depot.
P 1
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
b) Auf einer Grünfläche
zwischen den Straßen
soll ein möglichst großes,
kreisförmiges Blumenbeet
angelegt werden.
Winkelhalbierenden
Inkreis
D
c) In einem Wettbewerb
wollen drei Schüler S 1 , S 2
und S 3 einen Ball von verschiedenen
Startpunkten
erreichen. Wohin muss der
Ball gelegt werden, damit
der Wettbewerb fair ist?
Mittelsenkrechten
Mittelpunkt des Umkreises
b)
S 3 S 2
S 1 B
d) Ein Pappdreieck soll auf
einer Nadel balanciert
werden.
Seitenhalbierenden
Schwerpunkt
S
e) Beim Boccia sind die
K
K 3
Kugeln K 1 , K 2 und K 3
gleich weit von der kleinen
K 2
Zielkugel liegen geblieben.
Die kleine Kugel wurde
bereits entfernt.
K 1
Wo hat sie gelegen?
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
f) Aus einer dreieckigen
Metallplatte soll eine
möglichst große
Kreisscheibe aus geschnitten
werden.
Winkelhalbierenden
Inkreis
4

Rationale Zahlen
Anordnung und Betrag an der Zahlengeraden
1
Trage die Zahlen auf der Zahlengeraden ein: – ​ 1__ ​; 2,1; – 0,75 ; – ​3__ ​; 1​3__ ​; – 3 ; – ​33
8 2 4 ___
10 ​
0 1
–___
​ 33
10 ​– 3 – ​3 __
2 ​ – 0,75 – __ ​ 1 1 ​__
3
4 ​ 2,1
8 ​
2
3
Ergänze.
1,8 oder
Zahl 8,5 2,6 – 1,8 – ​ 3__
5 ​ 0 – 0,04 ​__
3
8 ​ __ ​1 3 ​ oder – __ ​ 1 3 ​
Betrag 8,5 2,6 1,8 ​ 3 __
5 ​ 0 0,04 ​ 3 __
8 ​ ​ 1__
3 ​
Spiegelzahl – 8,5 – 2,6 – 1,8 __ ​ 3 5 ​ 0 0,04 – ​ 3__
8 ​ – ​__
1
3 ​ oder __ ​ 1 3 ​
oder 1,8
Wie weit sind die beiden Zahlen auf der Zahlengeraden voneinander entfernt und welche Zahl liegt
in ihrer Mitte?
Zahl 1 Zahl 2 Entfernung Mitte Zahl 1 Zahl 2 Entfernung Mitte
a) + 4 – 3 7 0,5 b) – 2 – 11 9 – 6,5
c) – 2,5 + 1,5 4 – 0,5 d) + 1,4 – 3,8 5,2 – 1,2
e) – ​ 1__
2 ​ – ​3__ 4 ​ ​__
1 4 ​ – ​5 __ ​ f) – ​2__
8 5 ​ – 7,6 7,2 – 4
g) – 10,2 0,6 10,8 – 4,8 h) + 0,7 – 7,9 8,6 – 3,6
4
a) Zeichne den Streckenzug ABCDEFGA:
A (4 | – 4), B (2 | 1,5), C (1 | 0), D (1 | – 3),
E (– 3 | – 3), F (– 2 | – 5), G ​( 2​ 1__
2 ​| – 6 )​.
b) Vertausche nun bei jedem Punkt die
x- und die y-Koordinate und verbinde
die neuen Punkte in der gleichen
Reihenfolge. Was fällt dir auf?
Figur ist gespiegelt.
G 9
A9
3
2
1
− 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5 6 7
− 1
F 9
D 9 C 9
E
F
− 2
− 3
− 4
− 5
− 6
y
C
B 9
B
D
G
A
x
5
Die Frösche Quicks und Quacks sitzen auf der Zahlengeraden:
Quicks bei – 87, Quacks bei + 15.
a) Quacks springt in „3-er“-Sprüngen auf Quicks zu.
Nach wie vielen Sprüngen hat er Quicks erreicht?
34
b) Quicks springt im „2-er“-Takt, Quacks im „3-er“. Wie viele Sprünge wären bis zu einem Treffen
notwendig, wenn beide gleichzeitig starten und aufeinander zuspringen würden?
Quicks 21, Quacks 20
c) Quicks versucht, Quacks auf der Zahlengeraden zu entkommen. An welcher Stelle erreicht ihn
Quacks dennoch?
bei – 291, nach 102 Sprüngen
35

Rationale Zahlen
Addition und Subtraktion
2
a) Additionstabelle b) Subtraktionstabelle
+ – 4 2,5 – 8,2 3__
5
– 9 – 13 – 6,5 – 17,2 – 8 __ 2
5
1,5 – 2,5 4 – 6,7 2,1
– 7__
2
– 7 1 __
2
– 1 – 11,7 – 2 9 ___
10
– 1 – 5 1,5 – 9,2 – 2 __
5
– + 4 – 2,5 – 8,2 0,8
– 9 – 13 – 6,5 – 0,8 – 9,8
1__
4
– 3 __ 3
4
Berechne im Kopf und addiere dann deine Ergebnisse pro Teilaufgabe.
2 3 __
4
8,45 – 0,55
– 3,5 – 7,5 – 1 4,7 – 4,3
0 – 4 2,5 8,2 – 0,8
a) – 8 – 12 = – 20 b) 2 – 17 = – 15 c) – 8 + 19 = 11 d) 12 – (– 13) = 25
– 1,2 + 3 = 1,8
1__ – 4 __ 3
– 5 =
4
4 – 7 – 8,6 = – 15,6 – 6,3 + (– 9) = – 15,3
2,5 – 1,8 = 0,7
5 – 6,25 = – 1,25 – 1,6 – 5,9 = – 7,5 – 2,2 – 8,8 = – 11
– 3,7 + 6,2 = 2,5 – 5,8 + 8 1__ = 2,7
2
4,1 – (– 1,4) = 5,5
0 –
4__
5 = – 0,8
– 15
– 18,3
– 6,6
– 2,1
Lösungssummen: – 18,3; – 15; – 6,6; – 2,1
jjj jjj jjj jjj
a) Addiere zu 1 alle Zahlen der Schlange.
(– 3) + 4,5 + (– 8) + (– 13) + __ 3
1 + 2 + (– __ 1
2 ) + 9,5
=
b) Subtrahiere von 1 alle Zahlen der Schlange.
(– 3) – 4,5 – (– 8) – (– 13) – __ 3
1 – 2 – (– __ 1
2 ) – 9,5
=
– 8
10
4
a) Bilde aus den Zahlen 5,6; – 8; – 4,2 und 3,7 alle möglichen verschiedenen Summen mit zwei
Summanden und sortiere die Ergebnisse der Größe nach.
– 12,2 < – 4,3 < – 2,4 < – 0,5 < 1,4 < 9,3
b) Bilde mit jeweils zwei der Zahlen – 2,7; 6,1 und 0,9 alle möglichen Differenzen und sortiere die
Ergebnisse der Größe nach.
– 8,8 < – 5,2 < – 3,6 < 3,6 < 5,2 < 8,8
Setze die richtigen Zeichen (+ oder –) vor die Zahlen in den Klammern.
a) (j15) – + (j8) + = – 7 b) (j15) – – (j8) + = – 23 c) (j15) – – (j8) – = – 7
(j9) – + (j13 – ) = – 22 (j9) – – (j13) – = + 4 (j13) – + (j9) + = – 4
(j7,5) – + (j8,6) + = + 1,1 (j7,5) – – (j8,6) – = + 1,1 (j8,6) – – (j7,5) + = – 16,1
(j12,8 – ) + (j4,2) – = – 17 (j12,8) – – (j4,2) – = – 8,6 (j12,8) + + (j4,2) – = + 8,6
6

Rationale Zahlen
Multiplikation
1
Berechne im Kopf.
a) (– 8) ∙ 13 = b) ​ 3__
2 ​∙ ( ​ – ​ 1__
3 ​ – ​__
– 104
1 )​= 2 ​ c) (– 0,1) ∙ (– 25) = 2,5
d) ​( – ​ 1__
5 ​ )​∙ 0,5 = – 0,1
e) (– 0,4) ∙ (– 10) ∙ (– 2,3) = – 9,2 f) ​ 1__
4 ​∙ ( ​ – ​ 1__
2 ​ )​∙ (– 8) = 1
g) (– 1,1) 2 = 1,21
h) – 1,2 2 = – 1,44
i) 0,25 ∙ (– 0,5) ∙ (– 2) = 0,25
2
Berechne.
a) 0,5 ∙ (– 2)
b) – 3
c) ​ 1__
4 ​ ∙ (– 6)
d) – ​ 2__
∙ (– 6)
⎯⎯→
⎯⎯→
jjjj ∙ ( ​ – ​
– 1
1__
4 ​ )​ __
⎯⎯→
​
jjjj 1 4 ​ ⎯⎯→
jjjj ∙ 0,8 ​__
1
5 ​
∙ ​ 4__
3
⎯⎯→ jjjj ​
⎯⎯→
jjjj ∙ 2,5
∙ ( ​ – ​
– 4
– 10
1__
5 ​ )​
⎯⎯→ jjjj
2
⎯⎯→ – __ ​
jjjj 3 ⎯⎯→
jjjj ∙ 0,1
∙ (– 8)
⎯⎯→
jjjj ∙ ​5__ 3
2 ​
– 0,15
1,2
​
2 ​ )​ – __ ​ ∙ (– 9)
⎯⎯→ jjjj 1 ⎯⎯→
jjjj ∙ ( ​ – ​ 5__
3 ​ )​
⎯⎯→ jjjj ∙ ( ​ – ​ 3__
3 ​ 3
– 5
3 ​ ∙ ​( ​ 1__
∙ (– 3)
⎯⎯→
⎯⎯→
5 ​ )​
⎯⎯→
– 1,2
– 6
2
3
3
Multiplikationsmauern
a) ​ 3 ___
16 ​
– ​ 3 __
4 ​ – ​1 __
4 ​
– ​ 3 __
2 ​ ​1 __
2 ​ – ​1 __
2 ​
__ ​ 3 2 ​ – 1 – ​1 __
2 ​ 1
– 3 – ​ 1__
2 ​ 2 – ​1__
– 3,2 1,28
– 2 1,6 0,8
1 – 2 – 0,8 – 1
– 4 – 0,25 8 – 0,1 10
4 ​ – 4 b) – 4,096
4
5
Tina Klecksel hat Tinte über ihre Matheaufgaben laufen lassen. Ergänze die fehlenden Zahlen.
a) ​( – ​ 3__
4 ​ )​∙ – ___ ​ 16 = 4 b) 0,5 ∙ (– 2,5) = c) ∙ 1,2 = – 6
3 ​
– 1,25
– 5
6
6 ​ )​= – 5 e) (– 0,8) ∙ 0 = 0 f) 1,6 ∙ (– 1,6 ) = – 2,56
d) ∙ ​( – ​ 5__
Multipliziere geschickt.
a) (– 4) ∙ (– 2,9) ∙ (– 2,5) = – 29
b) ​ 3__ – ​__
6
​∙ ​1__ ​∙ (– 16) = 5 ​ 5 8
c) 20 ∙ ​( – ​ 7__
9 ​ ____ ​ 700
)​∙ (– 5) = 9 ​ d) 33 ∙ ​( – ___ ​ 5
12 ​ )​∙ (– 24 ) = 330
e) (– 5) ∙ ​( – ​ 5__ ___
5 ​ )​∙ (– 2) = – 20
f) 0,2 ∙ 0,3 ∙ (– 3) ∙ (– 50) = 9
6 ​ )​∙ ​( ​ 12
6
0,2
0,5
– 1_
2 – 5
Schreibe in die das
Produkt der Zahlen
aus den angrenzenden Feldern.
− 9
1_
3
0,6
− 0,2
– 5_
2
5 16
4
– 0,8
5_
6
– 15 0,6
2
− 1,5
37

Rationale Zahlen
Division
Berechne im Kopf.
a) 24 :(– 4) = – 6
b) (– 35) :(– 7) = 5
– __ 1
c) (– 1) : 5 = 5
d) (– 5__ – ___
9 ) 1
: 10 = e) (– 3,2) :( –0,8) = f)
1__
18
4
4 : ( – 1__ – __
2 ) 1 = 2
g) 15 :(– 0,5) = h) (– 6) : 3__ = i) 2
1__
– 30
– 10
:(– 0,2) =
– 12 __ 1
5 2 2
– __ 1
k) 1 :(– 4) = 4
l) 0 : (– 1__
2 ) = 0
m) (– 1__
3 ): 1__
8 = – __ 8
3
2
Ergänze.
a)
: – 4 2,5 10
b)
: – 3 0,5 – 1 3__
7
– 10 2,5 – 4 – 1
0 0 0 0 0
1,5 – __ 3
8
– 4,5 1 __ 1
8
0,6 0,15
– 1,8 – 0,45
3__
5
– __ 1
5
– ___ 9
___
10
10 3
1 __ 1
5
– __ 3
5
– 1,8 ___ 9
10
7__
5
– 2,1
Berechne und bestimme die Summe deiner Lösungen.
a) b)
25 : (– 5)
– 5 2 : ( – 2__
– 3
– 4 2 : ( – 1__
– 6,4
(– 0,8) : (– 2) 0,4 – 1,5 : (– 3) 0,5
– 9
10 : 3 – 0,3 (– 6,8) : 1,7 – 4
0,6 (– 6) : (– 10)
0,2
2)
4)
3)
1__
– 1 4 : (– 1__
0
(– 0,8) : 1__
8
6)
– 1__
6 : (– 5__
0 : 0,7
Summe: – 9,3
Lösung: Die Summe der Summen aus a) und b) ergibt – 22.
– 12,7
4
Berechne. Das Ergebnis der ersten Aufgabe ist die erste Zahl der zweiten Aufgabe usw. Wenn du
nacheinander die zugehörigen Buchstaben notierst, kannst du das Lösungswort erkennen.
(– 6) : 0,5 = – 12 N (– 2__
5) : ( – 4__ ___ 9
= 10 C (– 10) :
9) (– 2__
5) = 25
H 25 : 5__ = 20
E (– 0,25) : 1
1__
4 4 = – __ 1 I (– 3__ :
2) 4__
5 = – ___ 15
5
8
5__
E – 1 7__
8 :(– 3) = 8
R (– 12) : (– 4__ = C
3) 9
2__ :(– 0,4) = – 1
5
E 9 :(– 0,9) = – 10
R – 0,2 : 20 = – 0,01
B 5__ – __ 1
:(– 2,5) = 4
8
2__
S ___ 9
10 : 9__ = 5
H (– 1) :
2__ – __ 3 – __ 2
= 2
E 20 :(– 50) = 5
4 3
Lösungswort:
R ECHENSCHIEBER
8

Rationale Zahlen
Multiplikation und Division
1
2
Ergänze.
a) 1. Faktor – 3 6 ​ 3__
4 ​ – ​2__ 3 ​
2. Faktor 5 1,5 – ​ 4__
5 ​ ​ 1 __
4 ​
Produkt – 15 9 – ​ 3 __
5 ​ – ​ 1__
b) Dividend – 12 9,6 – ​ 4__
3 ​ – 14
Divisor – 4 – 0,8 – 0,5 ​ 7__
8 ​
6 ​ Quotient 3 – 12 2 __ ​ 2 3 ​ – 16
Berechne die Produkte und Quotienten. Die richtigen Ergebnisse findest du im Zahlenfeld. Färbe sie
blau.
– 4 :(– 8) = 0,5
0,91 ∙ (– 10) = – 9,1
2,75 ∙ (– 5,5 ) = – 15,125
– ​ 2__
3 ​∙ ( ​ – ​ 3__
8 ​ ​__
1
)​= 4 ​
​ 3__ 5 ​: ( ​ – ​ 3__
8 ​ – __ ​ 8 )​= 5 ​
– 1,5 : 0,2 = – 7,5
2,2 ∙ (– 0,8) = – 1,76
1​ 1__ ​: 5 = 0,3
(– 1,44 ):(– 1,2 ) = 1,2
2
– 17 ∙ (– 0,4) = 6,8
(– 1,5) 2 = 2,25
(– 2,5) ∙ ​( – ​ 3__
2 ​ 3 __ ​ 3 )​= 4 ​
– ​ 5__ – ​__
5
​: ​3__ ​= 3 ​
15,12 :(– 2,7) = – 5,6
​8
9 9 ___
15 ​: ( ​ – ​ 4__
5 ​ – ​__
2
)​= 3 ​
1,5 ∙ (– 2) ∙ ​( – ​ 3__
2 ​ 7__
)​= 4,5
9 ​: ( ​ – ​ 7__
9 ​ )​= – 1
– 1,8 2 = – 3,24
25 ∙ ​(
– ​__
5
0,4 :(– 8) )​= 4 ​
– ​ 2__ ​ 1,6 – 1,76 5,6 – 5,6 10 6,8 9,1 1,2 2,25 ​1__
3 2 ​
– 15,125 – 1,25 4 ​ 1__ ​ 1 – 7,5 ​1__
2 5 ​ 3 ​3__ ​ 3,24 – 9,3 – 3,24 – 2
4
– 9,1 – 2 ​ 1__
4 ​ – 1​2__ 3 ​ ​2__ 3 ​ – 1 ​1__ ​ 0,3 – 10 – ​5__
4 6 ​ – 1,6 0
3
Finde die Zahl für x und mache die Probe.
a) – 5 ∙ x = 7,5 x = – 1,5
Probe: – 5 ·(– 1,5) = 7,5
b) x ∙ (– 3) ∙ 4 = – 48 x = 4
Probe: 4 ·(– 3) · 4 = – 48
– ​__
1
c) (– 1,5) : x = 3 x = 2 ​
Probe: – 1,5 : ​( – ​__
1
2 ​ )​ = 3
d) ​ 3__ ​∙ ​2__ ​∙ x = – 4 x = – 8
​__
Probe:
1 ​· (– 8) = – 4
4 3
2
e) ​( – ​ 1__
3 ​ )​ 2 – ​__
1
: x = – 1 x = 9 ​
​__
Probe:
1 9 ​ : ( ​ – ​__
1
9 ​ )​ = – 1
f) – 3 ∙ x = 6 ∙ x x = 0
Probe: – 3 · 0 = 6 · 0
4
Schreibe als Gleichung und bestimme x.
2
a) Wenn du die Zahl x mit (– 4) multiplizierst, erhältst du 8. x ·(– 4) = 8
x = –
e) Das Produkt von (– 5) und x ist ​ 1__
2 ​. (– 5) · x = __ ​ 1 2 ​ x = – ​___
1
10 ​
b) Wenn du 1,6 durch die Zahl x dividierst, erhältst du – 0,2. 1,6 : x = – 0,2 x = – 8
c) Wenn du x mit ​ 3__
x · __ ​ 3 ​multiplizierst, erhältst du – 2. 8 ​ = – 2 8
– ___ ​
x =
3 ​ = – 5 __ ​1 3 ​
d) Das Doppelte der Zahl x ist genauso groß wie ihr Dreifaches. 2 · x = 3 · x x = 0
39

Rationale Zahlen
Vermischtes 1
2
Berechne.
a) – 3__
8 + 7__ 1 __ 3
= b)
1__
4 5 – ___ 7
10 = – __ 1
8
2
c) (– 5__ ∙
6) (– ___
20) 3 1__
= d) 7__
9 : (– 2__ – 1 __
=
3) 1 8
6
e) 1,24 – (– 0,84) = 2,08
f) 3,5 + (– 7,8) = – 4,3
g) – 0,8 ∙ 16 = – 12,8
h) (– 9,1) :(– 13) = 0,7
i) – 4__
5 ∙ 0,6 = – 0,48
k) – 0,7 + (– 3 1__ =
2) – 4,2
Lösungen: – 12,8; – 4,3; – 4,2; – 1 1__
6 ; – 1__ ; – 0,48;
1__ 3__
; 0,7; 1
2 8 8 ; 2,08
Finde heraus, welche Aufgaben falsch gerechnet sind. Korrigiere sie.
Die Buchstaben, die bei den falsch gerechneten Aufgaben stehen, führen dich
zum Lösungswort.
0,2 – 0,8 + 2,6 = 2
1__
4 – 1__
3 – 1__
2 = – ___ 7
3__
12
8 – 1__
8 ∙ 4 = 1 – __
R
E
1 8 O
2,5 :(– 0,5) – (– 1) = – 4
G
– 1,7 2 = 2,89
– 2,89 N
– 2 + 2 ∙ (– 1,5 ) = – 5
E
1 – (– 1__
2 – 2 ) = – 1 1__ 0,9 :(– 0,3) = – 3
2
(– 2__
3 ∙ 3__
4) :(– 2) = 1
1__
3,5 I
S
4 M
2,5 :(– 3__
8 – 1__ = – 10
8) – 5__
6 + (– 2__ ∙ 4 = – 3,5
3) 1,8 ∙ (– 0,3) ∙ 0 = – 0,54
– 5 O
N 0 D
Lösungswort: DOMINO
Korrigierte Ergebnisse:
– 5; – 2,89; – 1__
8 , 0;
1__
4 ; 3,5
Berechne. Immer zwei Aufgaben haben das gleiche Ergebnis. Gib die Paare an.
a) – 5,2 + 1,4 ∙ 3 = – 1
b) 2,3 – (– 0,5 – 2 ) = 4,8
c) (– 1,5) 2 :(– 5 ) = – 0,45
d) 1 :(– 2) :(3 – 4) = 0,5
e) (– 1,8) ∙ (– 0,2 ) + (– 1,66) = – 1,3
f) 4,8 : (– 1__ :(– 2) =
2) 4,8
g) 2,8 :(– 0,7) ∙ (– 1__ =
8) 0,5
h) 1__
2 – 4__
5 : 8
15 = – 1
i) 1 1__
2 + (– 2 1__ ___ =
10
– 0,45
k) 16,9 :(– 1,3) : 10 = – 1,3
4) + 3
Lösungspaare:
a) b) c) d) e)
h) f) i) g) k)
4
In einer Skatrunde macht Martin bei einem Punktestand von – 94 das Spiel.
Gewinnt er, bekommt er 72 „Pluspunkte“, verliert er, gibt es 144 „Minuspunkte“.
Wie könnte Martins Punktestand nach dem Spiel aussehen?
Bei Sieg: – 22
Bei Niederlage: – 238
40

Rationale Zahlen
Vermischtes 2
1
Notiere zunächst einen Term und berechne dann.
a) Welchen Abstand haben die Zahlen – 4 ​ 3__ ​und 2 ​1__ ​auf der Zahlengeraden?
4 4
​| – 4 ​ 3 __
4 ​ |​ + 2 ​ 1 __
4 ​ = 7
b) Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden in der Mitte zwischen – 3,7 und – 15,2?
– 9,45
c) Welche negative Zahl ist von – 2,4 doppelt so weit entfernt wie von 1?
– ___ ​ 2
2
15 ​ 2,23
Merle und Frank haben zwei ganz besondere Spielwürfel:
Einen weißen mit 12 Flächen (Dodekaeder) mit den Zahlen von
1 bis 12 und einen grünen mit 20 Flächen (Ikosaeder) mit den
Zahlen von 1 bis 20.
Sie vereinbaren, dass der weiße Würfel immer positive Zahlen liefert
und der grüne Würfel negative Zahlen. Beide Würfel werden
gleichzeitig geworfen.
Bestimme die kleinst- bzw. größtmöglichen Werte für Summe,
Differenz, Produkt und Quotient der beiden gewürfelten Zahlen.
10
8
3
7
4
12
15
8
12
13
20
7
14
11
9
Summe Differenz Produkt Quotient
kleinstmöglicher Wert – 20 + 1 = – 19 – 20 – 12 = – 32 12 ·(– 20) = – 240 (– 20) : 1 = – 20
größtmöglicher Wert – 1 + 12 = 11 12 – (– 20) = 32 1 ·(– 1) = – 1 1 :(– 20) = – ​___
1
20 ​
3
Fülle die Lücken in der Rechenkette aus.
a) +
·
: –
:
·
1__
− 2,5 – 4
11
3 –
__
4,5
2__
2
– − 5 − 0,4
3
– 2,75 – 8 ​__
1
4 ​ 1 __ ​1 2 ​ – 3 2
b)
: +
: – :
·
–
5__
6
5__
3
– ​__
1 ​ 0,9 – – 1,62 4 ___ ​1
2 20 ​ 4 ​1 __
2 ​
1,4 1,8 ___ 9
– 0,4
1__
– − 9 −
20
2
4
Berechne mit dem Taschenrechner.
a) ​ 7 – 0,5 ∙ ( ​ ​ 3__
______________ 4 ​+ 2,1 )​
3 ​ 1__ ​– ​3__
4
c) __________________
– 4 ∙ (– 0,2 – 5,9) + 12,4
​
​ 2__
3 ​: ( ​ ​ 1__
6 ​– 2 )​
4 ​ ​= jjj b) ​
​= – jjj 101,2
d) ​ ​2__ 5
________________
2,5 : 1,5 ∙ (– 1,8 + 7,8)
– ​ 3__ ​+ 7 ∙ ​3
5 ___
​– (– 0,6) + ​3__
___________ 8 ​
8 – ​( – ​ 3__ ​+ 6 ​3__
2 4 ​ )​
​= jjj 6 __ ​ 2
10 ​ 3 ​
​= jjj 0,5
Lösungen: 0,5; 2,23; 6 ​ 2__ ​; – 101,2
3
41

Rationale Zahlen
Terme mit rationalen Zahlen
Stelle einen Term auf und berechne wie im Beispiel.
Multipliziere die Differenz von
– 7 und – 8,5 mit 1,6.
(– 7 – (– 8,5)) ∙ 1,6 = 1,5 ∙ 1,6
= 2,4
(– 3,4 : 17) + 3 __ 1
2
– __
=
5 + 3 __ 1
2
a) Addiere 3 1__ zu dem
2
Quotienten aus – 3,4 und
17.
= 3,3
b) Subtrahiere von – 12 die
Summe aus – 4,06 und
– 8,4.
c) Multipliziere die Differenz
=
von – 2 1__ und 1
1__ 6__
mit –
3 2 5 . =
d) Dividiere das Produkt
von 1,5 und – 8 durch
den Quotienten von –1
und– 0,6.
f) Subtrahiere den
Quotienten aus – 3,24 und
0,4 von der Summe der
Zahlen – 2,1 und – 5,94.
– 12 – ( – 4,06 + (– 8,4) ) – 12 + 12,46
=
= 0,46
( – 2 1 __
3 – 1 1 __
2 ) · ( – 6 __
5 ) – 3 5 __
6 · ( – 6 __
( 1,5 · (– 8) ) : ( – 1 : (– 0,6) )
=
= – 7,2
e) Addiere die Differenz von
=
– 2__ 7__
und – zu dem Produkt
3 9
aus 3__ 8__
und –
4 9 . – __
=
5 9
(– 2,1 + (– 5,94) ) – (– 3,24 : 0,4) = – 8,04 – (– 8,1)
4 3 __
5
– 12 : 1 2 __
3
3__
4 · (– __ 8
9 ) + (– __ 2
3 – (– __ 7
9 ) ) – __ 2
3 + __ 1
9
= 0,06
5 )
Lösungen: – 7,2; – 5__
3__
; 0,06; 0,46; 3,3; 4
9 5
2
Setze Klammern so, dass das Ergebnis stimmt.
( 20 – 35 ) ∙ 7 = – 105 2 – 1__
2 ∙ ( 3__
4 – 1 ) = 2 1__
8
– 0,5 + ( 3,7 – 1,2 ) : 5 = 0 (– 5__
6 + 1__
3)
∙ ( – 2__ –
3) 1__
6 ) = ___ 5
12
(– 7 – 8 ): 5 + 3 ∙ (– 1__
( )
2 – 4 = – 72
2) = – 4,5 – 2 ∙ 9 2 : (– 3) : 5 1__
( )
a) Während einer Skifahrt hat Klaus jeden Morgen zur gleichen Zeit die
Außentemperatur gemessen und in nebenstehender Liste notiert.
Wie hoch war die durchschnittliche Morgentemperatur in dieser Woche?
– 2,9 °C
3.1. 4.1. 5.1. – 6° C
– 8,3° C
– 1,8° C
6.1. 1,3° C
b) Hätte Klaus auch am 10.1. die Temperatur gemessen, hätte sich die
Durchschnittstemperatur nicht geändert. Wie kalt war es am 10.1?
7.1. 8.1. 1,6° C
– 2,7° C
– 2,9 °C
9.1. – 4,4° C
42

Gleichungen und Terme
Gleichungen aufstellen und lösen 1
1
Stelle eine Gleichung auf und löse sie durch Probieren.
a) Von zwei Zahlen ist eine um 8 größer als die andere. Ihre Summe beträgt 42.
x + (x + 8) = 42 x = 17
b) Ein Rechteck ist eineinhalb mal so lang wie breit. Sein Umfang beträgt 40 m.
2 · ​( x + ​ 3 __
2 ​ x )​ = 40
x = 8; Breite: 8 cm, Länge: 12 cm
2
Löse mithilfe der Tabelle.
Leo und sein Vater haben am gleichen Tag
Geburtstag. Als Leo 11 wird, wird sein Vater 35.
Vor wie vielen Jahren war Leos Vater viermal so
alt wie sein Sohn?
Anzahl der Jahre
x
Alter von Leo
11 – x
Alter des Vaters
35 – x
1 10 34
2 9 33
3 8 32
fehlt hier 1 Zeile?
3
Löse mithilfe der Waage.
Entferne dazu so weit wie möglich alle Gegenstände, die auf beiden Seiten der Waage liegen.
a) Wie schwer ist eine Vase? b) Wie schwer ist ein Ball?
1 Vase 1 Kugel 4 Gewichte 6 Kugeln
Eine Kugel ist 200 g schwer.
Ein Gewicht ist 600 g schwer.
Eine Vase wiegt 200 g.
Ein Ball wiegt 400 g.
c) Wie schwer ist ein Hut? d) Wie schwer ist eine Katze?
2 Hüte 4 Schals 1 Katze
2 Steine
Ein Schal wiegt 150 g.
Ein Stein wiegt 1 ​ 1__
2 ​kg.
Ein Hut wiegt 300 g.
Eine Katze wiegt 3
kg.
43

Gleichungen und Terme
Gleichungen aufstellen und lösen 2
Stelle eine Gleichung auf und gib die Lösung an.
a) Das Doppelte einer Zahl ist – 78. 2 · x = – 78
1__
3 · x = __ 1
4
b) Der dritte Teil einer Zahl ist 1__
4 .
x = 3 __
4
x = – 39
c) Der Vorgänger einer natürlichen Zahl ist 34. x – 1 = 34 x = 35
1__ ·(x + 3) = 15 x = 27
d) Die Hälfte der um 3 vergrößerten Zahl ist 15. 2
x + __ 1 x = 18 x = 12
e) Die Summe aus einer Zahl und der Hälfte dieser Zahl ist 18. 2
f) Das Dreifache einer Zahl, vermindert um 5, ergibt 1. 3 x – 5 = 1 x = 2
2
Welche Geschichte passt zu welcher Gleichung?
Susi kauft für ihre Mutter Blumen.
Eine Rose kostet 1,50 €.
Weil die Verkäuferin ihr eine
Freude machen will, schenkt sie
ihr noch eine Rose. Susi muss 9 €
bezahlen.
D
Sven kauft sich Birnensaft, von dem
jede Packung 1,50 € kostet, und eine
Sportzeitschrift für 1 €.
An der Kasse bezahlt er 10 €.
F
Herr Frey kauft sich
in seiner Mittagspause
ein belegtes
Brötchen für 1,50 €
und für den Nachmittag
Schokolade
– die Tafel zu
0,50 €. Er muss 9 €
bezahlen.
C
A 1,5 + x + 1 = 10
B 1,5 ∙ x + 1 = 9
C 1,5 + 0,5 ∙ x = 9
D 1,5 ∙ (x – 1) = 9
E 1,5 ∙ x + 0,5 = 9 F 1,5 ∙ x + 1 = 10
G (1,5 + 0,5) ∙ x = 9
Stelle eine Gleichung auf und löse sie mit einer Methode deiner Wahl (Probieren, Tabelle, Waage).
a) Beim Handballturnier der 7 b haben Thorben und Mareike zusammen
35 Tore geworfen. Hätte Thorben 4 Treffer mehr und Mareike einen
Treffer weniger erzielt, dann wären beide gleich oft erfolgreich gewesen.
Wie viele Tore hat jeder der beiden erzielt?
Anzahl der Tore von Thorben: x
Anzahl der Tore von Mareike: jjj 35 – x Gleichung: x + 4 = 35 – x – 1
Thorben: 15 Mareike: 20
b) Carla bekommt dreimal so viel Taschengeld wie ihr Bruder Felix.
Nach einer Taschengelderhöhung von 5 € für jedes Kind hat Carla nur noch
doppelt so viel Taschengeld wie Felix.
Wie hoch war das Taschengeld von Carla und Felix vor der Erhöhung?
Höhe von Felix Taschengeld
Höhe von Carlas Taschengeld
vor der Erhöhung: jjj x
vor der Erhöhung: jjj 3 · x
nach der Erhöhung: jjj x + 5
nach der Erhöhung: 3 jjj · x + 5
Gleichung: (x + 5) · 2 = 3 · x + 5
2 x + 10 = 3 x + 5 x = 5
44

Gleichungen und Terme
Gleichungen umformen 1
1
Gib jeweils die Umformung an, die die erste Gleichung in die zweite Gleichung überführt.
jjj – 5
jjj : 3
a) x + 5 = 17 ⎯⎯→ x = 12 b) 3 ∙ x = 25,5 ⎯⎯→ x = 8,5
jjj · 4
jjj – x
c) ​ 1__
4 ​ x = – 8 ⎯⎯→ x = – 32
d) 2 x = x – 7,6 ⎯⎯→ x = – 7,6
jjj + 10
jjj : 3
e) 3 x – 10 = – 7 ⎯⎯→ 3 x = 3 f) 3 x = 3 ⎯⎯→ x = 1
2
Löse die Gleichungen mithilfe der angegebenen Umformungen.
Überprüfe deine Lösung, indem du sie in der Ausgangsgleichung einsetzt.
+ 6
: 2
a) 2 x – 6 = 3 ⎯⎯→ jjjjjj 2 x = 9 ⎯⎯→ x = jjj 4,5
b) ​ 3__
4 jjjjjj ​x + 8 = 7 ⎯⎯→ – 8 __
: ​
​ 3 3__
4 ​
4 ​ x = – 1 ⎯⎯→ x = jjj – __ ​ 4 3 ​
+ x
: 5
c) 5 – x = 4 x ⎯⎯→ jjjjjj 5 = 5 x ⎯⎯→ x = jjj 1
– 3
: 1,5
⎯⎯→ 1,5 x = 9 ⎯⎯→ 6
d) 3 + 1,5 x = 12 jjjjjj x = jjj
3
Löse die Gleichungen wie im Beispiel.
Überprüfe deine Lösung, indem du sie in der Ausgangsgleichung einsetzt.
5 x + __ ​ 3 4 ​ = __ ​1 ​ + 2 x
2
| – 2 x a) 6 x + 2,5 = 2 x – 1,5 | – 2 x
3 x + __ ​ 3 4 ​ = __ ​1 2 ​ | – __ ​3 4 ​ 4 x + 2,5 = – 1,5
| – 2,5
3 x = – __ ​ 1 4 ​ | : 3 4 x = – 4
| : 4
x = – ___ ​ 1
12 ​ x = – 1
Probe: 5 ∙ ​( – ​___
1
12 ​ )​ + __ ​ 3 4 ​ = __ ​1 2 ​ + 2 ∙ ( ​ – ​___
1
12 ​ )​ Probe: 6 ·(– 1) + 2,5 = 2 ·(– 1) – 1,5
__ ​ 1 3 ​ = __ ​1 3 ​
– 3,5 = – 3,5
b) 3 – 2 x = 8 – 7 x | + 7 x c) – 4 + 4 x = – 1 – ​ 4__
5 ​x | + ​__
4
5 ​ x
3 + 5 x = 8
| – 3
– 4 + 4 ​__
4 = – 1
5 ​ x
| + 4
5 x = 5
| : 5
4 ​__
4 = 3
| : ___ ​ 24
5 ​ x 5 ​
x = 1
x = ___ ​ 15
24 ​ = __ ​5 8 ​
Probe: 3 – 2 · 1 = 8 – 7 · 1
Probe: – 4 + 4 · ​__
5
8 ​ = – 1 – ​4 __
5 ​· ​5 __
8 ​
d) – ​ 3__ ​+ 4 x = – 1,5 + x | – x
e) 7 x – 3 = 4 – 7 x | + 7 x
2
– __ ​ 3 = – 1,5
| – ​__
3 = |
2 ​ + 3 x
2 ​
14 x – 3 4
+ 3
Probe:
1 = 1
3 x = 0
| : 3
14 x = 7
| : 14
x = 0
x =
– ​__
3
2 ​ + 4 · 0 = – 1,5 + 0
Probe:
– 1,5 = – 1,5
– 1,5 = – 1,5
​ 1 __
2 ​
7 · ​ 1 __
2 ​ – 3 = 4 – 7 · ​1 __
2 ​
0,5 = 0,5
45

Gleichungen und Terme
Gleichungen umformen 2
Löse die Gleichungen mithilfe der angegebenen Umformungen auf zwei verschiedene Arten.
a) 2 x – 8 = 4
+ 8
⎯⎯→
: 2
2 x = 12
⎯⎯→
2 x – 8 = 4
: 2
⎯⎯→
x – 4 = 2
+ 4
⎯⎯→
b) 5 – x = – 8
+ x
=
⎯⎯→
5 – 8 + x
+ 8
⎯⎯→
5 – x = – 8
+ 8
⎯⎯→
13 – x = 0
+ x
⎯⎯→
– 7
c) 4 x + 7 = – 3 ⎯⎯→
4 x = – 10
: 4
⎯⎯→
: 4
x + __ 7 – __ 3
4 x + 7 = – 3 ⎯⎯→
4 = 4
jjj
– __ 7
4
⎯⎯→
1__
d) 6 + 1__
2 x = 4 – 6
=
jjj
2 x – 2
· 2
jjj
⎯⎯→
6 + 1__
2 x = 4 ∙ 2
12 + x = 8
– 12
⎯⎯→
x = jjj 6
x = jjj 6
x = jjj 13
x = jjj 13
x = jjj – 2,5
x = jjj – 2,5
x = jjj – 4
x = jjj – 4
2
Durch die angegebenen Umformungen ist die einfache Gleichung entstanden.
Wie sah die Ausgangsgleichung aus?
+ 6
: 3
a) 3 jjj x – 6 = jjj 6 ⎯⎯→ jjj 3 x = jjj 12 ⎯⎯→ x = 4
b) 2 jjj x + 10 = jjj 7 – 10
⎯⎯→ jjj 2 x = jjj – 3 : 2
⎯⎯→ x = – 1,5
3__
1__
c) jjj =
– 2 3__
:
jjj ⎯⎯→ jjj = jjj 3__
4 x = – 2
2
4 x – __ 3
4 x – 2
2 ⎯⎯→
– 2 x
: 5
d) jjj 7 x = 10 jjj + 2 x ⎯⎯→ jjj 5 x = jjj 10
⎯⎯→ x = 2
Wo steckt der Fehler? Markiere ihn und löse die Gleichung dann richtig.
a) 5 x + 14 = 10 | : 5 b) x + 3 = 1 – x | + x c) 4 – 1__
2 x = 8 | : 1__
2
x + 14 = 2 | – 14 2 x + 3 = 1 | – 3 2 – x = 4 | – 2
x = – 12 2 x = – 2 | : 2 – x = 2 | ∙ (– 1)
x = 0 x = – 2
5 x + 14 = 10 | – 14
5 x = – 4 | : 5
x = – __ 4
5
2 x = – 2 | : 2
x = – 1
4 – __ 1
2 x = 8 | – 4
– __ 1 x = 4
2
| ·(– 2)
x = – 8
46

Gleichungen und Terme
Gleichungen umformen und lösen
1
2
Löse die Gleichungen mithilfe von Umformungen.
a) 5 x + 8 = 3 x – 0,5 | – 3 x
2 x + 8 = – 0,5 | – 2
c) 3 x – ​ 1__ ​+ ​2__ ​x = – 4 – 0,6 x
2 5
3 ​__
2
5 ​ x – __ ​1 2 ​ = – 4 – 0,6 x | + ​1 __
2 ​
3,4 x = – 3,5 – 0,6 x | + 0,6 x
2 x = – 8,5 | : 2
x = – 4,25
Lösungen: – 5 ​ 3__ ​; – 4 ​1__ ​; – 2 ​1__ ​; – ​7__
5 4 9 8 ​
b) – 2 x – 8 = 2 x + ​ 4__
9 ​ | + 2 x
– 8 = 4 x + __ ​ 4 9 ​ | – ​4 __
9 ​
– 8 __ ​ 4 9 ​ = 4 x | : 4
– 2 ​__
1
9 ​ = x
d) 0,3 x – 0,8 = 1,4 x + 2 – 0,6 x
0,3 x – 0,8 = 0,8 x + 2 | + 0,8
8 ​ x = – 5,6
0,3 x = 0,8 x + 2,8
– 0,5 x = 2,8
| – 0,8 x
| :(– 0,5)
4 x = – 3,5 | : 4
x = – ​ 7 __
Löse die Zahlenrätsel mithilfe von Gleichungen.
a) Die Summe von drei Zahlen ist 201. Dabei ist die zweite Zahl um 6 größer als die erste, die dritte
um 6 größer als die zweite.
Gleichung: x + (x + 6) + (x + 12) = 201 Die gesuchten Zahlen sind 61; 67; 73
b) Zwei Zahlen unterscheiden sich um 14. Ihre Summe ist 4.
Gleichung: x + (x + 14) = 4 Die gesuchten Zahlen sind – 5; 9
c) Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl 7, erhält man das Doppelte der Zahl.
Gleichung: 5 x – 7 = 2 x
Die gesuchte Zahl ist
​__
7
3 ​
d) Dividiert man eine Zahl durch 4 und addiert dann ​ 3__ ​, erhält man die um 2 vergrößerte Zahl.
4
Gleichung:
x : 4 + ​__
3
4 ​ = x + 2 Die gesuchte Zahl ist
– __ ​5 3 ​
3
Löse mithilfe geeigneter Gleichungen.
a) Bestimme die Seitenlängen der Dreiecke.
x + 1
4
x + 1
I
U = 18 cm
x
2 x
II
U = 25 cm
x + 3
I
x + 1 + x + 1 + 4 = 18
II
b) Von zwei Nebenwinkeln ist der eine viermal so groß wie der andere.
2 x = 12 x = 6
x + 2 x + x + 3 = 25
4 x + 3 = 25
x = 5,5
α + 4 · 2 = 180° α = 36° und = 144°
47

Gleichungen und Terme
Gleichungen lösen
Gib bei allen Aufgaben an, welche Größe gesucht ist, stelle damit eine geeignete Gleichung auf und
löse sie.
a) Zwei Bücher kosten zusammen 42 €. Das eine ist um 4 € teurer als das andere.
Wie viel kosten die Bücher? x: Kosten des 1. Buchs
Gleichung: x + x + 4 = 42 Die Bücher kosten 19 € und 23 €
b) Britta liest in den Ferien drei Bücher mit insgesamt 676 Seiten.
Das zweite Buch hat doppelt so viele Seiten wie das erste, das dritte
dafür 20 Seiten weniger als das erste.
Wie viele Seiten hat jedes Buch? x: Seitenzahl des 1. Buchs
.
Gleichung: x + 2 x + x – 20 = 676 Die Bücher haben 174; 348; 154 Seiten.
2
a) Eine 3 m lange Holzleiste wird in vier Stücke geschnitten. Jedes Stück ist 20 cm länger als das
vorherige. Wie lang sind die Stücke? x: Länge des 1. Stücks
Gleichung: x + (x + 20) + (x + 40) + (x + 60) Die Stücke sind 45 cm; 65 cm; 85 cm; 105 cm.
= 300
b) Eine andere, ebenfalls 3 m lange Leiste, wird so in vier Stücke geschnitten, dass jedes Teil doppelt
so groß ist wie das vorherige. Wie lang sind jetzt die Stücke? x: Länge des 1. Stücks
Gleichung: x + 2 x + 4 x + 8 x = 300 Die Stücke sind 20 cm; 40 cm; 80 cm; 160 cm.
Im Stadion des FC Schuss wird die neue Tribüne in drei Bereiche aufgeteilt. In den Kurven (K) sitzen
halb so viele Zuschauer wie auf den Geraden (G). Im extra angelegten Familienblock (F) finden 10 %
der Zuschauer Platz. Insgesamt fasst das Stadion 18 000 Zuschauer.
x: Anzahl in G
1__
Gleichung: x + x + 1800 = 18000
2
In K sitzen 5400 , in G 10800 und in F 1800
Zuschauer.
4
Herr Rukel hat im letzten Jahr 2600 € für 5 % angelegt. Mittlerweile ist der Zinssatz leider gefallen.
Wie viel Geld muss Herr Rukel anlegen, um bei einem Zinssatz von 4 % genauso viele Zinsen pro
Jahr zu bekommen?
x: Kapital ____ 4
5 % von 2600 = 130
100 · x = 130
x = 3250 Er muss 3250 € anlegen.
Herr Steffen ist heute viermal so alt wie seine Tochter Franzi.
In fünf Jahren wird er nur noch dreimal so alt sein wie sie.
Wie alt sind die beiden heute?
x: Alter von Franzi heute
(x + 5) · 3 = 4 x + 5 x = 10
40
10
48

Gleichungen und Terme
Rechnen mit Termen – Einsetzen
1
Berechne den Wert des Terms.
x y 3 – 2 x y (1 – y) + 7 x + 2 y – ​ 1__ ​x ∙ 2 y 5 – 3 ∙ (x + 1) 0,2 x – y ∙ 0,5
2
3 – 2 – 3 1 – 1 6 – 7 1,6
0 ​ 1__
4 ​ 3 7 ​___
3
16 ​ __ ​1 2 ​ 0 2 – __ ​1 8 ​
– 1 1 5 7 1 1 5 – 0,7
– 1,5 – 4 6 – 13 – 9,5 – 6 6,5 1,7
Lösungen: – 13; – 9,5; – 7; – 6; – 3; – 1; – 0,7; – ​ 1__ ​; 0; ​1__ ​; 1; 1; 1; 1,6; 1,7; 2; 3; 5; 5; 6; 6; 6,5; 7; 7 ​3
8 2 ___
16 ​
2
a) Setze das Muster fort.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
b) Wie viele Kugeln hast du insgesamt nach dem 8. Schritt verbraucht? 36
n (n + 1)
c) Mit der Formel _______ ​ ​ kannst du die gesamte Anzahl der Kugeln nach dem n-ten Schritt
2
bestimmen. Überprüfe dein Ergebnis von b) und berechne, wie viele Kugeln du bei 24 und 99
Schritten brauchen würdest.
Anzahl der Kugeln bei 24 Schritten: 300 99 Schritten: 4950
3
Welche Terme sind gleichwertig?
In der Reihenfolge der Aufgaben erkennst du das Lösungswort.
ja nein ja nein
a) 3 – 7 x und 7 x – 3 B H b) 4 ∙ ​( x + ​ 1__
2 ​ )​ und 4 x + 2 C E
c) 5 x + 8 ∙ x und 13 x I S d) 0,5 ∙ (3 – 2 x) und 0,5 ∙ 3 – 2 x N E
e) 2 ∙ (– 5 y) und – 10 y L U f) 3 a – 7 a und 4 a S G
g) ​ 1__ ​(x + 6) und 2 + ​1__
3 3 ​x T N h) x + 2 (x – 1) und 3 x – 2 R I
i) a ∙ 2 + 3 ∙ b und 5 ∙ a ∙ b O E k) ​ 1__ x
​x – ​2
2 ___
4 ​ und x S W
Lösungswort: WERTGLEICH
4
Gib zwei verschiedene Terme für den Umfang der Figur an.
a)
2 y
b)
1_
a
3
a
x
x
2
y
a
a
1_ x
2
2 y
1_
x
2
1. Term:
U
= 12 · __ ​ 1 2 ​ x + 2 x + 4 · 2 y + 2 y U = a + a + a + a + a + a + 2 · 3
2. Term: U = 8 x + 10 y U = 6 a + 6
a
a
49

Gleichungen und Terme
Rechnen mit Termen – Addieren und Subtrahieren
Fasse so weit wie möglich zusammen.
Die richtigen Ergebnisse führen dich zum Lösungsspruch.
a) 9 x + 3 x = 12 x
b) 3 a – 7 a = – 4 a
c)
1__
2 y + 3__
5 y = 1,1 y
d) 5 r – 2 s + 4 r = 9 r – 2 s
e) 3__
7 __ 3
n – 7 + 7 n = f) 0,8 x + x ∙ 0,8 – 4 ∙ x =
4
4 n – 7
– 2,4 x
g) – 6 x – 9 x – 5 x = – 20 x
h) 3 b – 3 + 3 b – 3 = 6 b – 6
i)
1__
2 a + 1__
3 b – 1__ 1__
4 a + b = 4 a + 1 __ 1
3 b
k) 5 – 2 z + 3 – 3 z + 5 z = 8
l) x – 1 + 3__ – x – __ 1 ___ 7
x__
– 2 x = 4
m)
4 3 + x__
2 – 1__
4 x = 12 x
0 8 – 4 a 1__
4 a + 4__
3 b 1 ___ 7
12 a b 6 b – 6 7 3__
4 n – 7 7 r – s 9 r – 2s
NI MEN RG ER AR ET HA FA IC
– 2,4 x – 20 x 12 x ___ 7
12 x – x – 1__
4
x – 1 1,1 y ___ 3
10 y 3 + 5 z
RT IG NU MEN EH HE LE SEN SE
Lösungsspruch:
NUR GLEICHARTIGE TERME NEHMEN
2
Vereinfache. Das Ergebnis der ersten Aufgabe ist die erste Zahl der zweiten Aufgabe usw.
Wenn du nacheinander die zugehörigen Buchstaben notierst, kannst du das Lösungswort erkennen.
– 7 x + 2 x = – 5 x E x + (6 – x) = 6 F a – 1 + 2 x + 1 = a + 2 x
E 3 – 3 a + 3 a – x = 3 – x N – 2 x + (2 x + 8) = 8
I 2 – 4 a + (a + 1) =
G 8 – 4 x – 6 – 2 = – 4 x F – 5 x – 3 a + 4 x + x = – 3 a E – 4 x + 4 (a + x) =
L – 3 a + 2 – 3 a + 2 a = – 4 a + 2 R 4 a – a – 3 a = 0
E a – 3 x – a + x =
A a + 2 x – x ∙ 5 = a – 3 x N 6 + 2 a – 7 – a = a – 1 G 3 – x + (2 x – 3) =
3 – 3 a
4 a
– 2 x
x
Lösungswort:
F LIEGENFAENGER
Stelle einen Term auf und vereinfache so weit wie möglich.
a) Subtrahiere von der Summe aus x und dem Doppelten von y das Dreifache von x.
(x + 2 y) – 3 x = – 2 + 2 y
b) Verdreifache die Differenz von a und 4. Addiere dazu die Hälfte dieser Differenz.
3 (a – 4) + __ 1
2 (a – 4) = 3 a – 12 + __ 1
2 a – 2 = 3 __ 1
2 a – 14
c) Subtrahiere von einer natürlichen Zahl n ihren Nachfolger und ihren Vorgänger.
n – (n + 1) – (n – 1) = n – n – 1 – n + 1 = – n
d) Addiere zum Doppelten von x die Differenz aus (– 5) und x.
2 x + (– 5 – x) = x – 5
0

Gleichungen und Terme
Rechnen mit Termen – Multiplizieren und Dividieren
1
a) Multiplikationstabelle b) Multiplikationsmauer
∙ – x 2 a – ​ b__
4 ​
– 16 x y
x – x 2 2 a x – __ ​ 1 4 ​ b x
8 x – 2 y
– 4 4 x – 8 a b
– 4 x – 2 y
​ 1__
2 ​a – ​__
1
2 ​ a x a2 – ​__
1
8 ​ a b
x – 4 0,5 2 y
2
Berechne.
Ein Produkt und ein Quotient haben das gleiche Ergebnis. Finde die Paare.
a) – 5 x ∙ 3 = – 15 x b) 0,3 x ∙ (– 10) = – 3 x c) 2 x ∙ 6y = 12 x y d) ​ 3__ ​ y ∙ (– 5 x) = –3 x y
e) (– 4) ∙ y ∙ (– x) = 4 x y f) 0,2 x ∙ x ∙ 5 = x 2 g) ​ 1__ ​x ∙ 3 x ∙ (– 4) = – 6 x 2 h) x ∙ 2 x ∙ ​2__ x ​= 4 x
– 18 x : 6 = –3 x I 0,4 x : 0,1 = 4 x M 2 x y : ​ 1__ ​= 4 x y F – 12 x y :(– 1) = 12 x y N
x 2
– 15 x
– 5 x 2 :(– 5) = I 30 x :(– 2) = K 15 x y z :(– 5 z) = – 3 x yO ​( – ​ 3__
2
2
5
4 ​x2 )​: ​ 1__
8 ​= – 6 x 2 L
a) b) c) d) e) f) g) h)
K I N O F I L M
3
Wende das Distributivgesetz an.
a) Ausmultiplizieren b) Ausklammern
3 (x + 2) = 3 x + 6 5 ∙ a – 5 ∙ b = 5 (a – b)
​ 2__
4 – ​__
4
​∙ (10 – 2 y) = 5 ​ y
5
8 x – 20 = 4 (2 x – 5)
(– 0,8 + 2 x) ∙ (– 5) = 4 – 10 x
9 y + 9 = 9 (y + 1)
(9 r – 3 s ): 3 = 3 r – s
12 – 4 x + 6 y = 2 (6 – 2 x + 3 y)
c) Multipliziere, ordne und fasse soweit wie möglich zusammen.
3 (x + 5) + (3 – x) ∙ 2 = 3 x + 15 + 6 – 2 x = x + 21
​ x__
2 ​∙ ( ​ – ​ 4__
5 ​ )​+ 0,6 ∙ (x + 10) =
– ​__
2 ​ x + 0,6 x + 6 = 0,2 x + 6
5
2 b + 3 ∙ (a – b) – 5 b + (b – a) ∙ 2 = 2 b + 3 a – 3 b – 5 b + 2 b – 2 a = a – 4 b
4
Löse die Gleichungen.
Tipp: Vereinfache die Terme zunächst so weit wie möglich und benutze dann Umformungen.
a) 3 (x + 7) = 7 x – 4 x + ​ 1__ ​x b) 12 x + (9 x – 6) : 3 = 2 (x – 1)
4
c) 2 (x + 3) + 5 x ∙ (– 4) = 2 x + (x – 6) ∙ 4 d) (2 x – 8) : 2 – 2 x = ​( – ​ 1__
2 ​ )​∙ (10 + 2 x) + 2 x
e) (2 x + 4) ∙ ​ 1__ ​= 2 x– 6
2
f) – 3 x – 4 x – 5 = 3 x + 5 (x + 1)
g) ​ 1__ ​x + ​1__ ​x + ​1__ ​x – 2 = 11
2 3 4
h) 2 x ∙ (– 3) + 3 x ∙ (– 2) = 12
Lösungen: – 1; – ​ 2__ ​; 0; ​1__ ​; 1,25; 8; 12; 84
3 2
51

Gleichungen und Terme
Rechnen mit Termen – Vermischtes
Ein Gymnasium veranstaltet in jedem Jahr mit SPRUNCY (SPonsored RUnning and CYcling) einen
Sponsorenlauf. Kathi bekommt von ihrem Vater 6 € und für jeden gelaufenen Kilometer 2 €. Ihre
Freundin Svea verdient mit jedem gelaufenen Kilometer 3,50 €.
a) Stelle einen Term auf, der das erlaufene Geld der beiden beschreibt.
Kathi:
6 + 2 · x Svea: 3,5 · x
b) Nach wie vielen Kilometern haben beide gleich viel erlaufen?
6 + 2 · x = 3,5 · x x = 4
c) Kathi schafft 6 km, Svea sogar 8 km. Wie viel Geld erlaufen die beiden zusammen?
6 + 2 · 6 + 3,5 · 8 = 46
2
Finde heraus, welche Aufgaben richtig und welche Aufgaben falsch umgeformt wurden.
Bei den richtigen wähle den grünen Buchstaben, bei den falschen den schwarzen.
a) 3 + 1,5 x = 4,5 x V Z b) 15 ∙ ( y – 3__
5 ) = 15 y – 9 T E
c) x__
2 + x ∙ 1__
4 – 2 = 1 1__
2 x – 1 3__
4
R E d) 4 n + 2 (n + 2) = 6 n + 4 S O
e) 5 a – 10 b = 5 (a – 2 b) E A f) 7 a b – b = 7 a A G
g) 2 x + (x + 2) + (x – 2 ) = 4 x N S h) 0,6 ∙ (– 0,5 x) ∙ (– 10) = 3 x E D
i) 8 c d – 4 c ∙ 2d – d = d K H k) (6 – 6 a) : (– 6 ) = a – 1 C N
l) 3__
4 b – 3__
4 a + 1__
2 a ∙ 3__
2 – 1__
2 b = 1__ b E U m) 4 x ∙ 5 y + 4 y ∙ 5 z = 180 x y z L R
4
Lösungswort:
RECHENGESETZ
Stelle eine Gleichung auf, vereinfache sie so weit wie möglich und löse mithilfe von Umformungen.
Überprüfe dein Ergebnis.
a) Multipliziert man die um drei vergrößerte
Zahl mit 8, erhält man dasselbe, als wenn
man die um 8 verminderte Zahl mit 3 multipliziert.
(x + 3) · 8 = (x – 8) · 3
b) Addiert man zum Doppelten einer Zahl 6
und dividiert das Ergebnis durch (– 4), erhält
man 1 mehr als die Hälfte der Zahl.
(2x + 6) :(– 4) = __ 1
2 x + 1
8 x + 24 = 3 x – 24
1__
2 x – __ 3
2 = __ 1
2 x + 1
48 = – 5 x
– __ 3
2 = x + 1
– 9,6 = x
– __ 5
2 = x
Probe:
– 6,6 · 8 = – 17,6 · 3
– 52,8 = – 52,8
(– 5 + 6) :(– 4) = – __ 5
4 + 1
– __ 1
4 = – __ 1
4
2

Geometrische Konstruktionen an Dreiecken
Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW
1
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. In welchem Fall geht es nicht?
A
A
a)
b)
C
γ
C
B
B
c)
C
B
a) a = 3 cm; b = 5 cm;
c = 4 cm
b) a = 4 cm; = 25°;
γ = 100°
c) a = 3 cm; = 50°;
b = 2 cm
In welchem Fall ergibt sich
kein Dreieck?
c)
In welchem Fall entsteht
ein rechtwinkliges
Dreieck?
a)
2
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. Miss die drei Innenwinkel.
a)
C
b)
C
γ
a) a = 4 cm; b = 2,5 cm;
c = 3,5 cm
α = 82° = 38°
γ =
60°
A
B
A
B
b) a = 3 cm; b = 2 cm;
γ = 60°
α = 79° = 41°
c = 2,6 cm
3
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. Gib die Koordinaten von C an.
5
4
y
C
C a) A (0 | 2); B (3 | 1)
γ
B α = 70°; b = 3,2 cm
C (j 2 | j) 4,5
3
2
A
α
α
A
b) A (6 | 2); B (10 | 5)
α = 45°; γ = 90°
C (j 6,5 | j) 5,5
1
B
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
53

Geometrische Konstruktionen an Dreiecken
Kongruenzsatz SsW
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. In welchem Fall geht es nicht?
A
A
a) c = 4 cm; a = 2 cm;
a)
C
α = 55°
b) c = 4 cm; a = 3,5 cm;
c)
α = 55°
c) c = 4 cm; a = 5 cm;
α = 55°
C 2
B
In welchem Fall ergibt sich
kein Dreieck?
b)
a)
In welchem Fall ist die
C 1 Konstruk tion nicht ein-
A
B deutig?
B
b)
2
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. Miss die fehlenden Größen.
a)
C
a) a = 3 cm; b = 4 cm;
= 30°
A
B
C
α = 22° ; γ = 128° ;
c = 6,3 cm
b) b = 5 cm; c = 4 cm;
b)
A
1
2
B 1
B 2
γ = 50°
1 = 73° ; α 1 = 57° ;
a 1 = 4,4 cm
2 = 107° ; α 2 = 23° ;
a 2 = 2,1 cm
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. Gib die Koordinaten von C an.
C
C 1
a) A (0 | 1,5); B (3 | 0,5)
b = 4 cm; = 59°
C (j 2 | j) 5
b) A (5 | 2); B (10 | 2)
b = 4,1 cm; = 45°
C 2
6 6 9 3
C 1 (j | j); C 2 (j | j)
A
A
B
B
4

Geometrische Konstruktionen an Dreiecken
Konstruierbarkeit von Dreiecken
1
Welche Dreiecke ABC sind nicht konstruierbar? Begründe.
a) a = 4 cm, b = 8 cm, c = 3 cm j nicht konstruierbar, a + c < b
b) α = 67°, = 95°, γ = 23° j nicht konstruierbar, Winkelsumme > 180°
c) a = 5 cm, b = 6 cm, γ = 100° j nicht konstruierbar, SWS
d) α = 85°, a = 3 cm, c = 6 cm j nicht konstruierbar, a schneidet nicht Schenkel von α
e) α = 15°, = 105°, b = 3 cm j nicht konstruierbar, WSW
2
Das Dreieck ABC soll konsturiert werden. Zwischen welchen Werten liegt die Länge der Seite b?
a) a = 5 cm, c = 7 cm
jj 2 cm < b < jj 12 cm
b) a = 2,5 cm; c = 6,2 cm
jj 3,7 cm < b < jj 8,7 cm
b a
b
b
c
a
a
3
Eine dreieckige Glasscheibe in einem
gotischen Fenster soll ersetzt werden. Dazu
werden vom Glaser einige Größen gemessen.
In welchen Fällen wurde so gemessen, dass
die Glasscheibe eindeutig passend hergestellt
werden kann? Begründe.
b = 5 cm
a = 4 cm
c = 8 cm
a) a = 4 cm, b = 5 cm j eindeutig konstruierbar,
b) b = 5 cm; c = 8 cm; γ = 105° j eindeutig konstruierbar, SsW
c) α = 24°, = 31°, a = 4 cm j eindeutig konstruierbar, WSW
d) a = 4 cm, b = 5 cm; α = 24° j eindeutig konstruierbar, Vor. SsW nicht erfüllt
4
Entscheide, welches Dreieck eindeutig konstruierbar ist. Gib den entsprechenden Kongruenzsatz an.
Begründe, wenn ein Dreieck nicht eindeutig konstruierbar ist.
Dreieck eindeutig konstruierbar Begründung
a) a = 6,5 cm, c = 8,2 cm, α = 70° j Ja j Nein Vor. SsW nicht erfüllt
b) c = 8,2 cm, α = 70°; γ = 55° j Ja j Nein WSW
c) a = 5,6 cm, α = 115°, γ = 68° j Ja j Nein WSW
d) a = 5,6 cm, b = 6,7 cm, γ = 55° j Ja j Nein SWS
e) α = 70°, = 60°, γ = 50° j Ja j Nein
Es entstehen ähnliche Dreiecke.
55

Geometrische Konstruktionen an Dreiecken
Höhe, Seiten- und Winkelhalbierende
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen.
A
a)
C
B 2 b)
B 1
a) a = 4 cm; b = 7 cm;
h b = 3 cm
b) a = 4 cm; b = 3 cm;
C w = 5 cm
c) a = 4,8 cm; b = 3 cm;
s
A
a = 3,2 cm
In welchem Fall ergibt sich kein
Dreieck?
In welchem Fall ist die Kon struktion
nicht eindeutig?
c)
a)
In welchem Fall ergibt sich ein
B gleichschenkliges Dreieck?
c)
2
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. Miss die fehlenden Größen.
A
b)
a)
A
C
a) w
C
= 3 cm; = 120°;
γ
γ = 25°
a = 7,1 cm; b = 10,7 cm;
c = 5,2 cm
h b
b) α = 50°; = 70°;
B
h b = 3,4 cm
a = 3,9 cm ; b = 4,8 cm;
w
c = 4,4 cm
B
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. Miss die fehlenden Größen.
C
C
a) w = 3,6 cm; h a = 5,3 cm;
= 74°
a = 3,8 cm ; b = 5,8 cm;
c = 5,5 cm
w
α = 39° ; γ = 67°
A
h a
B
b) b = 5,2 cm; c = 3,4 cm;
s b = 3,8 cm
a = 5,6 cm ; α = 77° ;
b)
s b
= 66° ; γ = 37°
A
B
6

Geometrische Konstruktionen an Dreiecken
Anwendungen
1
In welchem Punkt liegt der
Schatz? Du findest ihn, indem
du die beiden Seile spannst.
N
L
M
F H
O
K
G
I
P
Der Schatz liegt im Punkt:
K
E
A
25 m
30 m
D
C
B
35 m
2
Die Cheopspyramide ist
140 m hoch. Unter welchem
Höhenwinkel siehst du sie aus
einer Entfernung von 500 m?
Der Höhenwinkel beträgt 16° .
Das sind
doch nur 8°?
3
4
Jenny und Lennart bestimmen
die Höhe eines Turmes
mit einem Winkelmessgerät
(Theodolit), das auf einem
1,50 m hohen Stativ steht.
Lennart ermittelt 50 m als
Entfernung des Turmes zum
Stativ und Jenny den Winkel
α = 27°.
Die Breite eines Flusses wird
bestimmt, indem von den
Endpunkten einer 60 m langen
Strecke ein markanter Punkt
auf der gegenüberliegenden
Seite angepeilt wird.
Skizze
Wie hoch ist der Turm? Zeichne. Beachte die Stativhöhe.
α
Der Turm ist 27 m hoch.
30° 80°
30° 80°
Der Fluss ist
32
m breit.
60 m
57

Geometrische Konstruktionen an Dreiecken
Raumvorstellung
Tim, Jule, Michel und Josie haben drei gleiche
Schachteln zusammengeklebt. Jedes Kind sieht
das „Bauwerk“ von einer anderen Seite.
Welches Bild sieht welches Kind?
a) b) c) d)
Michel Josie Jule Tim
2
Die vier Kinder aus Aufgabe 1 haben nun zwei Schachteln zusammengeklebt.
Wie sehen die Kinder das „Bauwerk“?
„Bauwerk“ Michel Josie Tim Jule
Ordne den Würfelkörpern A bis F ohne Veränderung der Lage die Ansicht von oben zu.
Schreibe die Nummer der Ansicht in den betreffenden Würfelkörper.
Würfelkörper
1
2
1 5 3 6
A
B
C
D
E
F
Ansichten von oben
1 2 3 4 5 6
Für welche Ansicht ist kein Würfelkörper dargestellt?
4
8

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Voraussagen mit relativen Häufigkeiten
1
Linus hat seinen Holzwürfel gezinkt. Er hat ihn aufgebohrt, ein Bleistück eingesetzt und dann wieder
unauffällig verschlossen. Er hat mit seinem Würfel anschließend 300-mal gewürfelt:
Augenzahl 1 2 3 4 5 6
Häufigkeit 14 29 31 28 32 166
a) Schätze die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse ab.
​___
1
20 ​ ___ ​1 10 ​ ​1 ___
10 ​ ___ ​1 ​1 ___
10 ​ 10 ​
___
20 ​11 ​
P (1) ≈
jjj P (2) ≈ jjj P (3) ≈ jjj P (4) ≈ jjj P (5) ≈ jjj P (6) ≈ jjj
b) Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten für einen Wurf.
__
P (ungerade) ≈ jj ​ 1 4 ​ P (nicht 6) ≈ jj ​9 ___
20 ​ ___
P (größer als 2) ≈ jj 20 ​17 ​
c) Beim nächsten Mensch-Ärgere-Dich-Nicht-
Spiel muss Linus 100-mal würfeln. Schätze,
wie viele 1en, 2en, … er würfelt.
Augenzahl 1 2 3 4 5 6
Schätzwert 5 10 10 10 10 55
2
Verschiedene Sprachen unterscheiden sich auch dadurch, dass die Buchstaben in unterschiedlicher
Häufigkeit vorkommen.
a) Markiere in beiden Texten alle e rot, alle n blau, alle o grün und alle i gelb. Fülle dann die
Tabellen unter den Texten aus. Runde die relativen Häufigkeiten auf ganze %.
„Mensch, Eva hat schon dreimal hintereinander eine
sechs gewürfelt. Eva kann gut würfeln. Aber beim
nächsten Mal wird sie sicher keine sechs bekommen.“
„Soll ich wirklich mit meinem neuen Freund um die
Wette auf den Basketballkorb werfen? Ich weiß doch
gar nicht, wie gut er trifft. Vielleicht lasse ich besser
die Finger davon.“
So oder ähnlich könnte es lauten, wenn man nicht
genau weiß, wie etwas ausgeht, wenn also der
Zufall ins Spiel kommt. Wie kann man Gewinnchancen
beurteilen? Was versteht man eigentlich unter
Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ergebnis
eintritt, und wie kann man diese in konkreten Fällen
ermitteln? Kann man den Zufall vielleicht „berechnen“?
(ca. 550 Buchstaben).
The name of Big Bend National Park comes from
the sharp bend of the Rio Grande River that is part
of the border between the US and Mexico. This
huge park is full of contrasts. Visitors can travel from
the Rio Grande with its spectacular canyons and
jungle-like flood plain up through the Chihuahuan
Desert, which forms the majority of the park, to
the Chisos Mountains with their cool forests. Its
differences in elevation and temperature makes
Big Bend an ideal year-round park. The dessert
areas are very challenging in the summer, with
temperatures going up to 107,6 °F. The basing and
higher Chisos offer backpacking and day hiking on a
number of trails, wildlife watching, camping, hotels,
restaurants and ranger programs throughout the
summer … (ca. 600 Buchstaben).
e n o i
absolute Häufigkeit ca. 90 ca. 60 12 ca. 50
e n o i
absolute Häufigkeit ca. 60 ca. 40 ca. 40 ca. 40
relative Häufigkeit ≈ 16 %≈ 11 % ≈ 2 % ≈ 9 % relative Häufigkeit ≈ 10 %≈ 7 % ≈ 7 % ≈ 7 %
b) Ein deutsches Buch hat 400 ziemlich gleichmäßig beschriebene Seiten. Maria hat auf den ersten
5 Seiten ca. 1200 Buchstaben gezählt. Schätze, wie viele „e“ in diesem Buch stehen.
1200 : 5 · 400 · 0,16 = 15 360 Es sind ca. 15 000 „e“ in dem Buch.
c) Wie viele Seiten müsste ein englisches Buch mit gleicher Schriftgröße und gleicher Seitengröße
ungefähr haben, um ungefähr auf die gleiche „e“ Anzahl zu kommen?
Das Buch müsste ca. 640 Seiten haben.
d) Mit welchen der oben genannten Buchstaben kann man Deutsch und Englisch gut unterscheiden,
bei welchen sollte man vorsichtig sein?
Gute Unterscheidung: „o“ Schlechte Unterscheidung: „i“
Die Buchstaben „e“ und „n“ liegen dazwischen.
59

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Theoretische Wahrscheinlichkeiten 1
Färbe die Glücksräder entsprechend der angegebenen Wahrscheinlichkeiten und ergänze die fehlenden
Wahrscheinlichkeiten.
a)
b)
c)
rot
rot
rot
gelb
gelb blau
blau
gelb
blau
P (rot) = 1__
6
P (gelb) = 0,5
P (blau) = 25 %
___ 1
P (weiß) =
jj 12
P (rot) =
1__
3
P (blau) = 1__
8
P (gelb) = 12,5 %
___ 5
P (weiß) =
jj 12
P (blau) = 2 ∙ P (rot)
P (gelb) = P (blau) + P (rot)
P (weiß) = 0
d)
blau
e)
blau
f)
blau
grün
rot
rot
rot
gelb
1__
P (grün) =
jj 2
P (rot) + P (blau) = 1 – P (grün)
P (rot) = 1__
8
3__
8
0
P (blau) =
jj P (weiß) = jj
1__
P (grün) =
jj 3
P (rot) + P (blau) = 1 – P (grün)
P (rot) = P (blau)
P (weiß) =
jj 0
P (grün) = ___ 1
16
P (rot) = 2 ∙ P (grün)
P (gelb) = 2 ∙ (rot)
P (blau) = 2 ∙ P (gelb)
___ 1
P (weiß) =
jj 16
2
In einer Kiste befinden sich 24 Kugeln (eine weiße, drei blaue, vier grüne, sechs rote, zehn orange).
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
E 1 : Eine grüne Kugel ziehen
E 2 : Eine rote oder orange Kugel ziehen
E 3 : Weder eine weiße noch eine blaue Kugel ziehen
E 4 : Eine rote Kugel ziehen
E 5 : Eine gelbe Kugel ziehen
1__
P (E 1 ) =
jj 6
2__
P (E 2 ) =
jj 3
5__
P (E 3 ) =
jj 6
1__
P (E 4 ) =
jj 4
P (E 5 ) =
jj
0
b) Moritz möchte auf einem Straßenfest eine Tombola veranstalten. Er hat den folgenden
Gewinnplan erarbeitet:
Farbe weiß blau grün rot orange
Gewinn 11 € 3 € 4 € 2 € Niete
Max möchte an Moritz’ Stand 96-mal ziehen. Mit welchem Gewinn kann er ungefähr rechnen?
___ 1
24 · 96 · 11 € + __ 1
8 · 96 · 3 € + __ 1
6 · 96 · 4 € + __ 1 · 96 · 2 € = 192 €
4
Wie viel muss Moritz pro Spiel mindestens als Einsatz verlangen, um keinen Verlust zu machen?
192 € : 96 = 2 €
60

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Theoretische Wahrscheinlichkeiten 2
1
Karola und Manfred haben für sich die „Mensch-Ärgere-Dich-Nicht“-Regeln verändert. Sie würfeln
mit einem „normalen“ Würfel und einem Würfel, der zwei rote, zwei blaue und zwei gelbe Seiten
hat. Bei rot verfällt die Augenzahl des normalen Würfels, bei gelb wird die normale Augenzahl
gesetzt, bei blau aber verdoppelt sich die Augenzahl.
a) Liste alle möglichen Ergebnisse in der Tabelle auf.
1 2 3 4 5 6
rot 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, R
blau 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B
gelb 1, G 2, G 3, G 4, G 5, G 6, G
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten und fülle die Tabelle aus.
Ereignis Wahrscheinlichkeit Ereignis Wahrscheinlichkeit
Augenzahl 1 ​___
1
18 ​ gerade Augenzahl ​1 __
2 ​
Augenzahl 6 ​___
2
18 ​ Augenzahl 0 ​1 __
3 ​
Augenzahl 8 ​___
1 ​
18
Augenzahl kleiner 7 ___ ​15
18 ​ = __ ​5 6 ​
ungerade Augenzahl ​___
3
18 ​ = __ ​1 6 ​ Augenzahl größer 8 ​1 __
9 ​
c) Beim normalen Spiel darf man bei einer 6 einen neuen Spielstein ins Spiel bringen. Karola
und Manfred stellen fest, dass es nun zu schwer ist, einen Stein ins Spiel zu bringen. Sie lassen
zusätzlich die 12 zu. In welchem Spiel sind die Einsetzchancen größer?
„normal“: ​__
1 ​ „neu“: ___ ​2
6 18 ​ + ___ ​1 18 ​ = ___ ​3 18 ​ = __ ​1 ​ Die Einsetzchancen sind gleich.
6
2
Ein besonderer Würfel hat 20 gleiche Seiten. Diese sollen mit den Farben Rot, Blau, Grün und Gelb
bemalt werden. Dabei sollen sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten ergeben:
P (rot) = 0,2
P (blau) = ​ 1__
Ergänze:
Farbe Rot Blau Grün Gelb
Anzahl der Seiten 4 5 8 3
0,15
4 ​ P (grün) = 40 % P (gelb) = jjj .
3
4
In einer großen Kiste befinden sich sehr viele weiße Murmeln. Nikolas hat keine Lust, die Murmeln
zu zählen. Er markiert 50 Murmeln mit einem roten Punkt und wirft sie zurück in die Kiste.
Er mischt gut und zieht 50 Murmeln. Von diesen haben 5 einen roten Punkt.
a) Wie groß ist ungefähr die Wahrscheinlichkeit, eine Murmel mit rotem Punkt zu ziehen?
​___
5
50 ​ = ___ ​1 10 ​
b) Wie viele Murmeln sind ungefähr in der Kiste?
Es sind ca. 500 Murmeln in der Kiste.
In einem Eimer befinden sich 2000 Lose. Laura zieht 20 Lose. Sie hat 10 Nieten, 5 Trostpreise,
3 Gewinne im Wert von 2 € und 2 Gewinne im Wert von 5 €.
Schätze, wie viele Lose von der entsprechenden Sorte ungefähr im Loseimer sind.
Art des Gewinns Niete Trostpreis Gewinn 2 € Gewinn 5 €
Zahl der Lose im Eimer ca. 1000 ca. 500 ca. 300 ca. 200
61

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsversuche und Baumdiagramme 1
a) Meta hat die vier Damen eines Kartenspieles
herausgesucht und gemischt. Nun deckt sie
die vier Karten mit den vier Farben Kreuz (Kr),
Pik (P), Herz (H) und Karo (K) nacheinander
auf.
Vervollständige das Baumdiagramm. Schreibe
die Wahrscheinlichkeiten an die Pfade und
gib die Pfadwahrscheinlichkeiten an.
b) Gesa und Enes spielen ein Würfelspiel.
Dazu benutzen sie zwei
Tetraeder, die mit den Zahlen
1 bis 4 beschriftet wurden.
Vervollständige das Baumdia gramm. Schreibe
insbesondere die Wahrscheinlich keiten an
die Pfade und gib hinter den Pfaden die Pfadwahrscheinlichkeit
an. Nutze die Hilfslinie.
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
Kr
P
H
K
1__
3
1__
3
1__
3
1__
3
1__
3
1__
3
1__
3
1__
3
1__
3
1__
3
1__
3
1__
3
P
H
K
Kr
H
K
Kr
P
K
Kr
P
H
1__
2 1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
1__
2 1__
2
1__
2
1__
2
1__
2
H
K
P
K
P
H
H
K
Kr
K
Kr
H
P
K
Kr
K
Kr
P
P
H
Kr
H
Kr
P
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
K
H
K
P
H
P
K
H
K
Kr
H
Kr
K
P
K
Kr
P
Kr
H
P
H
Kr
P
Kr
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
___ 1
24
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1
2
3
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1__
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
___ 1
16
Fülle die Tabelle aus.
Fülle die Tabelle aus.
Ereignis
P (Ereignis)
rote und schwarze Karten ab-
1__
wechselnd
3
keine Übereinstimmung mit der
___
9
Reihenfolge Kr, P, H, K 24 = __ 3 8
genau eine Übereinstimmung
___
8
mit der Reihenfolge Kr, P, H, K 24 = __ 1 3
genau zwei Übereinstimmungen
mit der Reihenfolge Kr, P,
___
6
H, K
24 = __ 1 4
genau drei Übereinstimmungen
mit der Reihenfolge Kr, P, H, K 0
Ereignis
P (Ereignis)
Pasch __
1 4
Augensumme 5 __
1 4
Augensumme größer als 5 __
3 8
Augenprodukt 4 ___
3
16
Augenprodukt ist ungerade __
1 4
Augensumme ist eine Primzahl ___
9
16
62

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsversuche und Baumdiagramme 2
1
a) Ordne die vier Sachverhalte den Baumdiagrammen zu und fülle diese vollständig aus. Schreibe
die Wahrscheinlichkeiten an die Linien. Notiere hinter jedem Pfad die Pfadwahrscheinlichkeit.
Sachverhalt 1:
Im letzten Arbeitsschritt werden Taschenrechner
(TR) von drei Kontrolleuren nacheinander auf Funktionsfähigkeit
getestet. Der erste Kontrolleur schafft
es, 80 % der fehlerhaften Stücke zu finden, der zweite
findet von den übrigen Fehlerhaften noch einmal
60 %, der dritte kommt noch auf 40 %. Ein Kunde
interessiert sich für die fehlerhaften TR, die durch
die Kontrolle kommen.
Sachverhalt 2:
Bei einem Adventure-Spiel hat man in einem Raum
die Wahl zwischen zwei gleichen Türen. Man
kommt jeweils in einen Raum mit drei gleichen
Türen. In dem einen Raum führt eine der drei Türen
in einen Kerker, die anderen führen ins Freie. In dem
anderen Raum ist es genau umgekehrt.
Sachverhalt 3:
Lars fährt mit dem Fahrrad zur Schule. Unterwegs
überquert er zwei Ampeln. Bei der ersten ist 60 s rot,
30 s grün und 10 s gelb. Die zweite ist eine Fahrradampel
mit 40 s rot und 20 s grün.
Sachverhalt 4:
In einer Urne befinden sich 5 rote, 10 blaue und 25
gelbe Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen
gezogen.
Sachverhalt 2 Sachverhalt 3
A
B
​ 1__
3 ​
​
__ 1
​
__ 1 ​ 1__
2 ​
3 ​
6 ​
​
__
K
2 3 ​ R 0,4
​ 1__ ​
R
T 1 F
​ 1__
6
3 ​ ​ 1__
0,6
​
​
__ 1
3
F
​ 2__
6 0,3
​
Gr 0,2
3 R 0,2
​ 1__ ​
​ 1__
2 ​ 3
​ 1__ ​
Gr
​ 1__ ​ F 6
T 2 3 K ​ 1__ ​
​
​ 1__
6 0,1
​ 2__ 1__ ​ Gr 0,1
​ 3 3 R
___ ​ 2
​ ​ 1__ ​
30
Ge
​
3 K 6 ​ 1__ ​ ___
Gr ​ 1
3 30 ​
Sachverhalt 4
Sachverhalt 1
C
___
​
_____
​ 4 R
20
1560 ​
D
39 ​ R
___ ​ 10
39 ​ B
____ ​ 50 ​
___
1560
​ 25
39 ​ G ____ ​ 125 ​
​
___ 5
1560
40 ​
___
___ ​ 5
____ ​ 50
​ 10
​
39 ​ R
40 ​ 1560
B ​ ____
0,6 80 ​
NA 0,048
___
B ​ 9
___
1560
​ 25
G
____ ​ 250
39 ​
39 ​
0,4 NA
​
0,2 NA
0,4 A
1560
​
___ 25
40 ​ 0,6 A
___ ​ 5
R
____ ​ 125
39 ​ ​
0,8 A
___
1560
G ​ 10
B
____ ​ 250 ​
39 ​ 1560
___
​ 24
G ​ ____ 600 ​
A: Aussortiert
39 ​ 1560 NA: Nicht aussortiert
b) Beantworte die Fragen zu den vier Sachverhalten:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt ein fehlerhafter TR in den Verkauf?
Ein fehlerhafter TR kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,8 % in den Handel.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt man als Spieler ins Freie?
Man kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von __ ​ 1 ​ ins Freie.
2
Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss Lars mindestens einmal stehen bleiben?
Lars muss mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 mindestens einmal stehenbleiben.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man zwei verschiedene Kugeln?
Mit einer Wahrscheinlichkeit von _____ ​
850 ​ zieht man zwei verschiedene Kugeln.
1560
63

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsversuche und Baumdiagramme 3
Irina und Tobias veranstalten eine Tombola. Es befinden sich jeweils eine rote, fünf gelbe und
vier blaue Kugeln in einer Socke. Irina lässt mit Zurücklegen, Tobias ohne Zurücklegen ziehen.
Spielregeln: Wird eine blaue Kugel gezogen, so ist das Spiel beendet. Bei einer roten oder gelben
Kugel muss der Spieler weiterziehen. Nach der dritten Ziehung ist das Spiel in jedem Fall beendet.
a) Ordne die Baumdiagramme Tobias und Irina zu und fülle sie aus.
Name: Tobias
Name: Irina
_____ 1
___ 1
R 1000
10
5__
___ 5
4__
_____ 5
9
8 ___ 1
R 10 G
R G 4__
___ 4
1000
G
8 36
_____ 4
___ 1 10
4
___ 1
___ 1 B
1000
___
4__
B
10
36
10 ____ 5
B 90
G R
9
5
1000
___ ___ 4 ___ 5 _____ 25
___ 1
4__
10
10
8
___ 1
10 10 G 1000
R G 36
___ 4
_____ 20
R B
1__
4__
___ 1
10 B
___ 4
1000
9
8 B 36 10 1
____ 5
___
___ 1 ___ 1
R 1000
___ 5
1__
10
4__
R 36 10
10
9
8 R
___ 5 ____ 25
G
3__
___ 1
G G G 1__
10
___ 4 10 1000
____ 20
8
12
B
4__
1__ ___ 5
___ 5
10 ___ 5 1000
B
8
9 10
G
10
10
G G 1_
___ 1
4__
8
10
____ 25
___ 4
R
9
___ 4
1000
10
2__
___ 4
1__
B 9
10 B 10 _____ 100
5 B
___ 4
1000
___ 4
10
B 10
4
B ___
10
b) Bestimme mit den Pfadregeln die Wahrscheinlichkeiten der Spielausgänge.
Spiel mit Zurücklegen
Spiel ohne Zurücklegen
P (dreimal rot) 0,001 0
P (zweimal rot, einmal gelb) 0,015 0
P (einmal rot, zweimal gelb) 0,075
___ 1
12 = 0,083
P (dreimal gelb) 0,125
___ 1
12 = 0,083
P (irgendwann blau) 0,784
__ 5
6 = 0,83
c) Gewinnpläne:
Irina Preis im Wert von… Tobias Preis im Wert von…
3 × R 100 € 2 × G, 1 × R 9 €
1 × G, 2 × R 10 € 3 × G ?
1 × R, 2 × G 4 €
3 × G 2 €
Irina verlangt für ein Spiel 1 € Startgeld. Wie viel Gewinn wird sie bei 1000 Spielen voraussichtlich
machen?
1000 ·(0,001 · 100 € + 0,015 · 10 € + 0,075 · 4 € + 0,125 · 2 €) = 800 € Irina wird voraussichtlich ca. 200 € Gewinn
Welchen Gewinn darf Tobias im Falle dreimal Gelb ausschütten, um auf Dauer bei einem Einsatz machen.
von 1 € weder Gewinn noch Verlust zu machen?
1 € – ___ 1 · 9 € = 0,25 €
12
0,25 € : ___ 1
= 3 €
12
Im Falle „dreimal gelb“ darf er bis zu
3 € ausschütten.
64