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<strong>Der</strong> <strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong> <strong>Schnitt</strong><br />
Wikipedia - http://<strong>de</strong>.wikipedia.org/wiki/<strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong>r_<strong>Schnitt</strong><br />
1
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Einleitung 3<br />
2 Papier- und Bildformate 3<br />
3 Tabellen 3<br />
4 Geschichte 3<br />
5 Herleitung <strong>de</strong>s Zahlenwertes 4<br />
2
1 Einleitung<br />
<strong>Der</strong> <strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong> <strong>Schnitt</strong> ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen. Es beträgt<br />
etwa 1,618:1. Streckenverhältnisse im <strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong>n <strong>Schnitt</strong> wer<strong>de</strong>n in <strong>de</strong>r Kunst und<br />
Architektur oft als i<strong>de</strong>ale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie<br />
angesehen.<br />
• Das Seitenverhältnis Φ beim <strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong>n <strong>Schnitt</strong> ist eine irrationale Zahl, das<br />
heißt, sie lässt sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen.<br />
• Subtrahiert man die kürzere <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Strecken von <strong>de</strong>r längeren, so erhält<br />
man eine noch kürzere Strecke, zu <strong>de</strong>r die mittlere <strong>de</strong>r drei Strecken wie<strong>de</strong>rum<br />
im Verhältnis <strong>de</strong>s <strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong>n <strong>Schnitt</strong>es steht.<br />
2 Papier- und Bildformate<br />
Im Buchdruck wur<strong>de</strong> früher gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, <strong>de</strong>r so genannte<br />
Satzspiegel, so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu<br />
Außensteg zu Fußsteg sich wie 2:3:5:8 verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen<br />
approximiert <strong>de</strong>n <strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong>n <strong>Schnitt</strong>.<br />
Typische Einsatzgebiete <strong>de</strong>r obigen prominenten Seitenverhältnisse lauten:<br />
Seitenverhältnis Einsatzgebiet<br />
√<br />
4 : 3 Traditionelles Fernsehformat<br />
2 : 1 Seitenverhältnis beim DIN-A4-Blatt<br />
16 : 9 Seitenverhältnis beim neuen Fernsehformat<br />
Tabelle 1: Einsatzgebiete<br />
3 Tabellen<br />
Die Werte für Φ und π lauten:<br />
Symbol Wert<br />
Φ 1,61<br />
π 3,14<br />
Tabelle 2: Symbole und Werte<br />
4 Geschichte<br />
Später beschäftigte sich <strong>de</strong>r Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro<br />
(1445–1514), <strong>de</strong>r an <strong>de</strong>r Universität von Perugia Mathematik lehrte, mit Euklids<br />
Arbeiten.<br />
Er nannte diese Streckenteilung Göttliche Teilung, was sich auf Platons I<strong>de</strong>ntifizierung<br />
<strong>de</strong>r Schöpfung mit <strong>de</strong>n fünf platonischen Körpern bezog, zu <strong>de</strong>ren Konstruktion<br />
<strong>de</strong>r <strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong> <strong>Schnitt</strong> ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges<br />
Werk „De Divina Proportione“ von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern.<br />
3
Bei <strong>de</strong>m ersten han<strong>de</strong>lt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die<br />
jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt.<br />
Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften <strong>de</strong>s Römers Vitruv aus <strong>de</strong>m 1.<br />
Jahrhun<strong>de</strong>rt v. Chr. zur Architektur, in <strong>de</strong>nen Vitruv die Proportionen <strong>de</strong>s menschlichen<br />
Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie<br />
von Leonardo da Vinci (1452-1519) über <strong>de</strong>n vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis<br />
von Quadratseite zu Kreisradius in diesem berühmten Bild (vgl. Abbildung<br />
1 auf Seite 4 entspricht mit einer Abweichung von 1,7% <strong>de</strong>m <strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong>n <strong>Schnitt</strong>, <strong>de</strong>r<br />
jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus wür<strong>de</strong> man<br />
diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht erwarten.<br />
Abbildung 1: Leonardo da Vinci: <strong>Der</strong> vitruvianische Mensch<br />
5 Herleitung <strong>de</strong>s Zahlenwertes<br />
Es seien a und b die Seitenlängen eines Rechtecks. Es gelte a > b > 0. Die Seitenverhältnisse<br />
genügen <strong>de</strong>r Gleichung a/b = (a + b)/a. Nach einigen Umformungen führt<br />
dieses für die <strong>Gol<strong>de</strong>ne</strong> Zahl Φ = a/b auf die quadratischen Gleichung Φ 2 −Φ−1 = 0.<br />
Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet Φ = (1+√ 5)<br />
2<br />
4
Verzeichnis <strong>de</strong>r verwen<strong>de</strong>ten Tabellen<br />
1 Einsatzgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
2 Symbole und Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
5
Verzeichnis <strong>de</strong>r verwen<strong>de</strong>ten Abbildungen<br />
1 Leonardo da Vinci: <strong>Der</strong> vitruvianische Mensch . . . . . . . . . . . . 4<br />
6