Kapitel 5: Transformation von Gauss Strahlen

5 Transformation von Gauss Strahlen
5.1 Einleitung
Wir haben in Kapitel 4 gesehen, dass ein Gauss Strahl bei Ausbreitung im freien Raum
seine gaussförmige Charakteristik beibehält, dass aber der Strahlradius w(z) zunimmt
und sich die Krümmung der Wellenfront R(z) ändert. Der Strahl beginnt für Abstände,
die grösser sind als die konfokale Distanz z c , signifikant zu divergieren. Damit ein solcher
Strahl in einem optischen System verwendet werden kann, kommt man nicht darum herum
ihn wieder zu bündeln. Wie in der herkömmlichen Optik üblich, verwendet man dabei
Linsen und Spiegel. Diese Komponenten werden den Strahlradius und die Krümmung
der Wellenfront beeinflussen, so dass aus einem divergierenden Strahl ein konvergierender
Strahl wird. Dadurch wird eine neue Strahl Taille entstehen, von der aus der Strahl
wieder divergiert. Im Gegensatz zur geometrischen Optik gibt es in der Quasioptik keinen
Fokus in dem Sinne, dass die Strahlung zu einem Punkt konvergieren würde. Man
spricht auch nicht von einem Brennfleck, sondern von der Transformation von Strahl
Taillen. Es stellen sich somit Fragen, wie sich beispielsweise Strahl Taillen transformieren,
oder wie sich ein Gauss Strahl ausbreitet, der durch ein beliebiges optisches System
geht. Analog wie bei der Ausbreitung eines Strahles im freien Raum, könnte dies im
Prinzip mittels des Huygens Integral studiert werden. Dabei muss das optische System
charakterisiert werden, was durch die sogenannte ABCD-Matrix geschieht. Ferner geht
man davon aus, dass die Ausbreitung paraxial ist. Wir werden diese Herleitung aber
hier nicht durchführen und auf die Literatur verweisen. Ferner nehmen wir im Folgenden
immer einen Gauss Strahl in der Grundmode an. Einerseits sind viele in der Praxis
vorkommende Feldverteilungen tatsächlich nahezu so beschaffen. Andererseits wird eine
höhere Mode durch denselben Strahlradius w(z) und den gleichen Krümmungsradius
R(z) beschrieben, wie die Grundmode. Einzig die Phasenschiebung relativ zu einer ebenen
Welle Φ ist für unterschiedliche Moden anders. Wir erinnern uns, dass für einen
Gauss-Laguerre Mode gilt
Φ(z) = (2p + m + 1)Φ 0 (z) (5.1)
und für einen Gauss-Hermite Mode entsprechend
Φ(z) = (m + n + 1)Φ 0 (z). (5.2)
Wir werden die Ausbreitung eines Gauss Strahles mittels der Matrix Optik, d.h. der
ABCD- Matrizen, und dem komplexen Strahl Parameter q(z) beschreiben. Für q(z)
haben wir in Abschnitt 4.1.2 die folgenden Gleichungen hergeleitet:
1
q = 1 R − j λ q = z + j πw2 0
πw 2 λ . (5.3)
113

5 Transformation von Gauss Strahlen
Ist q(z) bekannt, so lässt sich der Strahlradius w(z) und der Krümmungsradius R(z)
bestimmen:
( ) 1/2 ( ( )) −1
λ
1
w =
πI(− 1) R = R . (5.4)
q
q
Die Wellenlänge ist jeweils die Wellenlänge λ im entsprechenden Medium.
5.2 Matrix Optik
Matrix Optik ist eine in der geometrischen Optik gängige Methode die Ausbreitung
paraxialer Strahlen 1 zu beschreiben. Dabei wird angenommen, dass sich die Strahlen
in einer Ebene ausbreiten. Das bedeutet, dass sich der Formalismus auf Systeme mit
planarer Geometrie und auf meridionale Strahlen in symmetrischen Systemen anwenden
lässt. In der paraxialen Näherung sind Position r und Winkel r ′ eines Strahles in der
Eingangsebene mit denjenigen in der Ausgangsebene verknüpft (Abbildung 5.1) und der
Zusammenhang wird durch zwei lineare Gleichungen beschrieben:
r 2 r2 ’
r 1
r 1 ’
L
z 1 z 2
z
Abbildung 5.1: Propagation eines optischen Strahles in einem System
r 2 = A · r 1 + B · r ′ 1 (5.5)
Dies lässt sich als Matrixgleichung schreiben:
[ ] [ ]
r2 A B
= ·
C D
r ′ 2
r ′ 2 = C · r 1 + D · r ′ 1. (5.6)
[
r1
r ′ 1
]
. (5.7)
1 Hier wird mit Strahlen effektiv ein geometrischer Strahl gemeint, engl. ray, im Gegensatz zu den
Gauss Strahlen, engl. beam.
114

5.2 Matrix Optik
Das heisst, das ganze System lässt sich durch eine 2 x 2 Matrix, eine sogenannte ABCD-
Matrix, beschreiben. Die vier Parameter A, B, C und D beschreiben das ganze optische
System. Da der Krümmungsradius R durch R = r/r ′ gegeben ist, lässt sich der Zusammenhang
zwischen R und der ABCD-Matrix nach Division von 5.5 durch 5.6 auch
schreiben:
R 2 = A · R 1 + B
C · R 1 + D . (5.8)
Wenn das optische System aus mehreren Komponenten besteht, z.B. eine Linse der
Brennweite f 1 gefolgt von einer weiteren Linse mit einer Brennweite f 2 im Abstand d, so
ist das ein dreiteiliges System, das durch drei zugehörige ABCD-Matrizen beschrieben
werden kann, oder aber durch eine einzige Matrix, die durch Multiplikation der einzelnen
Matrizen hervorgeht. Wenn wir, wie im Folgenden üblich, annehmen, dass das Signal
von links einfällt, so steht die Matrix der ersten Komponente ganz rechts und wird von
links durch die nachfolgenden Matrizen multipliziert. Das ganze System lässt sich so
durch eine einzige Matrix beschreiben, die zwar unter Umständen relativ kompliziert
ausfallen kann. Für die Determinante der Matrix gilt, dass AD-BC=n 1 /n 2 ist, wobei
mit n der Brechungsindex des Eingangsmedium resp. des Austrittsmediums bezeichnet
wird. Das bedeutet, dass für jegliches System, dessen Ausgangspunkt im selben Medium
ist wie sein Eingangspunkt, die Determinante gleich eins wird. Die einfachste Matrix M
ist diejenige eines homogenen Mediums der Länge L:
M dist =
[ 1 L
0 1
]
. (5.9)
Unter Verwendung des Gesetzes von Snell lässt sich zeigen, dass für den Übergang eines
gekrümmten Mediums mit Brechungsindex n 1 in ein Medium mit Index n 2 gilt:
[
M iface =
1 0
n 2 −n 1
n 2 R
]
n 1
n 2
. (5.10)
Dabei ist R der Krümmungsradius des Interface 2 , wobei R > 0 für einen von links
gesehen, konkaven Übergang. Für einen flachen Übergang geht R → ∞ und man erhält
so für einen flachen Übergang von n 1 nach n 2 die zugehörige Matrix:
[ ] 1 0
M flach =
0 n 1
. (5.11)
n 2
Durch Multiplikation der entsprechenden Matrizen findet man für ein Medium der Länge
L und Brechungsindex n 2 umgeben von einem Material mit Index n 1 , also z.B. für eine
dielektrische Platte, die zugehörige Matrix:
M platte =
[ 1
Ln 1
n 2
0 1
2 nicht zu verwechseln mit der Krümmung der Phasenfront des Gauss Strahles
]
. (5.12)
115

5 Transformation von Gauss Strahlen
Für eine dünne Linse der Brennweite f gilt:
[ 1 0
M linse =
−1
f
1
]
. (5.13)
Falls die Linse einen Brechungsindex n 2 hat und in einem Medium mit Index n 1 liegt, und
zudem der erste Krümmungsradius R 1 und der zweite R 2 ist, so gilt für die Brennweite:
1
f = n (
2 − n 1 1
− 1 )
. (5.14)
n 1 R 2 R 1
Mit unserer Vorzeichenkonvention gilt für eine bikonvexe Linse R 1 < 0 und R 2 > 0, und
somit ist das Matrixelement C immer negativ, falls n 2 > n 1 . In der paraxialen Näherung
ist ein sphärischer Spiegel mit Radius R äquivalent einer dünnen Linse, wobei
1
f = 2 R . (5.15)
Für einen elliptischen Spiegel, wo der Abstand der Brennpunkte zur Sektion der verwendeten
Ellipse, d 1 und d 2 sind, gilt
1
f = 1 d 1
+ 1 d 2
. (5.16)
Es ist wichtig zu realisieren, dass diese Abstände d 1 und d 2 nicht die Abstände der Strahl
Taillen (beam waists) vom Spiegel sind! Das ist ein Fehler, der anfänglich gemacht wird.
Schliesslich gilt für eine Linse der Dicke d:
[
1 +
(n 2 −n 1 )d
n
M 2 R 1
dlinse
−1
f
n 1 d
n 2
− (n 2−n 1 ) 2 d
n 1 n 2 R 1 R 2
1 + (n 1−n 2 )d
n 2 R 2
]
. (5.17)
Die Kombination zweier Linsen der Brennweiten f 1 und f 2 im Abstand f 1 + f 2 ergibt:
[
−f2
f
M 1
f 1 + f 2
summe −f
0
1
f 2
]
. (5.18)
Wir werden auf diese Kombination weiter unten im Abschnitt 5.3.2 noch zu sprechen
kommen. Nach dieser Zusammenstellung von ABCD-Matrizen im Sinne der Matrix Optik,
wollen wir uns nun der Transformation von Gauss Strahlen widmen.
5.3 Transformation des q-Parameter
Wie zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrössen in der geometrischen Optik, gilt
auch für einen Gauss Strahl ein analoges Gesetz zwischen dem q-Parameter in der Eingangsebene
und dem q-Parameter in der Ausgangsebene. Abbildung 5.2 zeigt diesen
Zusammenhang graphisch.
116

5.3 Transformation des q-Parameter
R 2
R 1
w 0out
w 0in
d in
w 1
A
C
B
D
w 2
d out
q 1
q 2
Abbildung 5.2: Transformation des q-Parameters eines Gauss Strahles in einem beliebigen
optischen System
Quantitativ gilt 3 :
q out = A · q in + B
C · q in + D . (5.19)
Im Abstand d in folge auf eine Strahl Taille w 0in ein allgemeines optisches System, das
durch eine ABCD-Matrix beschrieben werde. Dieses System bewirke, dass dann im Abstand
d out wieder eine Taille w 0out entstehe. Die zugehörige Matrix ist somit
M =
[ 1 dout
0 1
] [ A B
C D
] [ 1 din
0 1
]
. (5.20)
Mit q in = jz c , was für einen waist zutrifft, wo R = ∞, folgt, unter zu Hilfenahme von
5.19, für den q-Parameter am Ausgang q out :
q out = (A + Cd out)jz c + ((A + Cd out )d in + (B + Dd out ))
. (5.21)
Cjz c + Cd in + D
Durch Multiplikation mit dem konjugiert komplexen Nenner und separater Auflösung
des Realteils und Imaginärteils, erhält man schliesslich für den Outputwaist w 0out und
den zugehörigen Abstand d 0out :
d out = − (Ad in + B)(Cd in + D) + ACz 2 c
(Cd in + D) 2 + c 2 z 2 C
(5.22)
und
w 0out =
w 0in
. (5.23)
((Cd in + D) 2 + C 2 zc 2 ))
1/2
Dieser Zusammenhang gilt für irgend ein quasioptisches paraxiales System und irgend
eine Mode.
3 Eine Herleitung findet man z.B. im Buch von Siegman, Lasers, Kapitel 20
117

5 Transformation von Gauss Strahlen
5.3.1 Transformation durch eine dünne Linse
Als kleines Beispiel betrachten wir, wie ein Gauss Strahl durch eine dünne Linse transformiert
wird. Im wesentlichen haben wir es hier mit drei Matrizen zu tun. Eine, die den
Abstand vom Ausgangspunkt bis zur Linse beschreibt, eine zweite für die Linse und die
dritte für den Abstand von der Linse zum Beobachtungspunkt. Unter Verwendung der
Matrizen aus der Matrix-Optik, wie in Abschnitt 5.2 erläutert, findet man:
d out
f
= 1 +
d in /f − 1
(d in /f − 1) 2 + z 2 c /f 2 (5.24)
und
Dabei ist die Vergrösserung
resp.
1
w 0out = w 0in . (5.25)
((d in /f − 1) 2 + zc 2 /f 2 )
1/2
M =
M = w 0out
w 0in
(5.26)
1
. (5.27)
((d in /f − 1) 2 + zc 2 /f 2 )
1/2
Aus diesen Gleichungen lassen sich einige wichtige Sachverhalte ableiten. Mit d in = f
folgt d out = f und die Vergrösserung ist maximal, nämlich:
M max = f z c
. (5.28)
Der Zusammenhang zwischen der Lage des Ausgangswaist als Funktion der Lage am
Eingang zeigt Abbildung 5.3 und die Abhängigkeit der Vergrösserung von der Eingangsdistanz
zeigt Abbildung 5.4
5.3.2 Gauss Teleskop
Wir betrachten die Anordnung zweier Linsen mit Brennweiten f 1 und f 2 im Abstand
d = f 1 + f 2 . Solch eine Anordnung nennt man Gauss Strahl Teleskop. Es gilt dann:
und
w 0out = f 2
f 1
w 0in (5.29)
d out = f 2
f 1
(f 1 + f 2 − f 2
f 1
d in ). (5.30)
Die Vergrösserung ist somit M = f 2 /f 1 und ist insbesondere unabhängig von d in und
der Wellenlänge. Ferner hängt d out nur von d in ab, und falls d in = f 1 dann d out = f 2 .
Das Gauss Teleskop ist von besonderem Nutzen wenn über eine grosse Bandbreite ein
waist in einen anderen waist transformiert werden soll. Im Submillimeter Bereich wird
diese Anordnung häufig durch Spiegel und nicht durch Linsen realisiert.
118

5.3 Transformation des q-Parameter
3
2.5
2
z c
/f
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
1.5
d out
/f
1
0.5
0
!0.5
!1
!5 !4 !3 !2 !1 0 1 2 3 4 5
d in
/f
Abbildung 5.3: Abhängigkeit der Lage d out des Augangswaist von der Eingangsdistanz
für verschiedene Werte von z c /f
4
3.5
3
z c
/f
0.25
0.50
0.45
1.00
1.25
1.50
1.45
2.00
2.5
-ergr1sserung
2
1.5
1
0.5
0
!5 !4 !3 !2 !1 0 1 2 3 4 5
d in
/f
Abbildung 5.4: Abhängigkeit der Vergrösserung M von der Eingangsdistanz für verschiedene
Werte von z c /f
119

5 Transformation von Gauss Strahlen
5.4 Anpassen von Gauss Strahlen (mode matching)
Häufig ist man in einem quasioptischen System mit der Aufgabe konfrontiert, einen
Gauss Strahl mit gegebenen Radius w 0in , resp. Strahltaille, in einen Teil der Optik ein
zu koppeln, der einen ganz anderen Radius w 0out verlangt. Abbildung 5.5 illustriert eine
solche Anordnung. Ein exemplarisches Beispiel ist etwa die optische Einkopplung eines
f
2w 0in
2w 0out
d in
d out
Abbildung 5.5: Anpassung zweier Gauss Strahlen mit einer Linse
Lokaloszillators in einen Mischer. Der Lokaloszillator, z.B. ein Gunn Oszillator, wird
sein Signal über eine Hornantenne abstrahlen. Die Geometrie der Hornantenne wird die
Intensitätsverteilung bestimmen. Wird ein Rillenhorn verwendet, so wird ein recht guter
Gauss Strahl produziert werden, mit entsprechendem Strahl- und Krümmungsradius.
Der Strahl wird also divergieren. Um ihn in den Mischer ein zu koppeln braucht es eine
Optik, welche zum Beispiel aus einem fokussierenden Spiegel und einer Hornantenne
beim Mischer definiert wird. Damit die Leistung des Lokaloszillators nun optimal beim
Mischer ankommt, müssen die entsprechenden Hornantennen und Spiegel aufeinander
abgestimmt sein, das heisst sie müssen angepasst sein. Englisch nennt man dies mode
120

5.4 Anpassen von Gauss Strahlen (mode matching)
matching. Wir haben im Abschnitt 5.3.2 gesehen, wie eine Taille eines Gauss Strahles in
eine andere übergeführt werden kann und erst noch unabhängig von der Frequenz. Das
Gauss Teleskop verlangt zwei fokussierende Komponenten in einem Abstand, der durch
die Vergrösserung resp. Verkleinerung der gewünschten Taillen bestimmt ist. Wir wollen
im folgenden vier häufig vorkommende Anpassungen studieren.
5.4.1 Anpassung bei gegebenen Taillen, jedoch beliebigem Abstand
Sind die Taillen vorgegeben, so ist damit auch die Vergrösserung M gegeben. Aus der
allgemeinen Formel für die Vergrösserung bei einem fokussierenden Element mit Brennweite
f, Gleichung (5.27), erhalten wir einen Bezug für die Eingangsdistanz:
d in
f − 1 = ± [
M −2 −
( ) ] 2 0.5
zc
. (5.31)
f
Aus Gleichung (5.24) finden wir zusammen mit Gleichung (5.27) für die Ausgangsdistanz:
d out
f
− 1 = M2 (
din
f − 1 )
. (5.32)
Wenn wir nun Gleichung (5.31) in Gleichung (5.32) einsetzen, so erhalten wir einen
Bezug der Ausgangsdistanz zur konfokalen Distanz des Eingangsstrahles:
d out
f − 1 = ±M2 [
M −2 −
Es ist noch üblich den Parameter f 0 einzuführen
( ) ] 2 0.5
zc
. (5.33)
f
f 0 = πw 0inw 0out
. (5.34)
λ
Mit dieser Definition erhalten wir für die Eingangsdistanz, resp. die Ausgangsdistanz,
folgende Zusammenhänge:
d in = f ± M −1 [ f 2 − f 2 0
] 0.5
(5.35)
d out = f ± M [ f 2 − f 2 0
] 0.5
. (5.36)
Die Brennweite, die diese Transformation ermöglicht, hat einen Minimalwert für f = f 0 .
In diesem Fall ist aber d in = d out = f. Falls f > f 0 dann gibt es zwei Werte für die
Eingangs- und Ausgangsdistanzen. Man muss dasselbe Vorzeichen verwenden. Man sieht,
dass es viele Möglichkeiten gibt eine Anpassung vor zu nehmen, wenn nur die Taillen
gegeben sind.
121

5 Transformation von Gauss Strahlen
5.4.2 Anpassung bei gegebenen Taillen und vorgegebenem Abstand
Wenn wir nun die Einschränkung machen, dass der Abstand der Taillen vorgegeben ist,
d.h.
d = d in + d out , (5.37)
und die Ausdrücke für d in und d out aus obigem Abschnitt einsetzen, so erhalten wir
d = 2f ± ( M + M −1) [ f 2 − f 2 0
] 0.5
. (5.38)
Diese Gleichung kann nach f aufgelöst werden. Für den Fall M ≠ 1 erhalten wir
f =
±
[ (M
− M
−1 ) 2
f
2
0 + d 2 ] 0.5 (
M + M
−1 ) − 2d
(
M − M
−1 ) 2
(5.39)
und für den Fall M = 1
f = d 4 + f 2 0
d . (5.40)
Durch Einsetzen von (5.39) in (5.35) und in (5.36) erhalten wir für die Eingangs- und
Ausgangsdistanzen für diesen Fall mit vorgegebenen festen Abstand
d in = d − f ( 1 − M 2)
1 + M 2 (5.41)
und
d out = M2 d + f ( 1 − M 2)
1 + M 2 . (5.42)
5.4.3 Anpassung bei gegebenen Taillen und vorgegebener
Eingangsdistanz
Ein Fall, der häufig auftritt ist der, wo die Eingangs- und Ausgangs Taillen gegeben
sind, zusammen mit der Eingangsdistanz zum fokussierenden Element. In diesem Fall
erhalten wir für die Brennweite
f = z c
(
din
Nz c
) ⎡ ⎣1 ±
(
1 − N
[
1 +
vorausgesetzt, dass M ≠ 1 ist, wogegen im Falle, wo M = 1 ist, gilt
wobei
(
din
z c
) −2
]) 0.5
⎤
⎦ (5.43)
f = z c
1 + (d in /z c ) 2
2d in /z c
(5.44)
N = 1 − M −2 . (5.45)
Figur 5.6 zeigt die Lösungen für positive Brennweiten. Man sieht, dass im Falle einer
Vergrösserung, d.h. M > 1, ein Minimalwert für d in /z c existiert, der gerade M ist. Falls
die Eingangsdistanz grösser als dieser Minimalwert ist, so gibt es zwei Lösungen. Für
M < 1 gibt es Lösungen für alle d in /z c Werte.
122

5.5 Transformation höherer Moden
"!
*
)
(
'
23'
1.z c,n
&
%
23%
$
#
23#
23"
"
23!4#
!
! " # $ % & ' ( ) * "!
+ .z ,n c,n
Abbildung 5.6: Benötigte Brennweite bei einer Anpassung mit gegebener Vergrösserung
und Eingangsdistanz
5.5 Transformation höherer Moden
Höhere Moden haben dieselben Werte für den Strahlradius w(z) und den Krümmungsradius
R(z) wie die Grundmode. Damit ist der q-Parameter, der ja die beiden Grössen
beinhaltet (vgl. Gleichungen 4.32 und 4.34), der gleiche. Das bedeutet aber, dass sich
eine höhere Mode genau gleich transformiert wie die Fundamentalmode. Es ist einzig zu
bedenken, dass die transversale Ausdehnung grösser ist (vgl. Abschnitt 4.3.3) und damit
optische Komponenten grösser sein müssen, um ein Abschneiden der Intensitätsmaxima
zu verhindern. Wenn aber die Phase eine Rolle spielt, so ist zu beachten, dass höhere
Moden eine grössere Phasenschiebung haben als die Grundmode.
5.5.1 Collins-Chart
Ähnlich wie bei der Impedanzanpassung eines reziproken Zwei-Tores bei einer Übertragungsstrecke
(transmission line) mittels der Smith-Chart, ist es möglich die Anpassung
von Gauss Strahlen graphisch mit einer sog. Collins-Chart durchzuführen. Collins hat
diese graphische Methode in den sechziger Jahren eingeführt. Sie hat sich allerdings nicht
recht etabliert und ist somit nur aus historischen Gründen von Interesse. Interessant ist
allerdings die Verwandtschaft mit der Smith-Chart.
123

5 Transformation von Gauss Strahlen
Abbildung 5.7: Collins Chart für Gauss Strahl Anpassungen, b ≡ z c
124