4 Strahlung und Strahlungsprozesse

4 Strahlung und Strahlungsprozesse
4.1 Fluss und Intensität oder Irradianz und Radianz
Fluss oder Flux und Intensität sind die zwei hauptsächlichen Strahlungsgrössen, welche
ein Strahlungsfeld charakterisieren, wie wir es in der Atmosphärenphysik verwenden.
Der Strahlungsfluss oder kurz Flux ist ein Mass für die Energie, welche pro Zeit und pro
Fläche durch elektromagnetische Strahlung durch eine Ebene transportiert oder auf einer
Oberfläche deponiert wird. Flux wird in Watt pro Quadratmeter, W/m 2 , ausgedrückt.
Dabei kann die Oberfläche real sein (z.B. die Erdoberfläche, oder eine Wolkenoberschicht)
oder sie kann imaginär sein (z.B. ein beliebiger Level in der Atmosphäre, etwa eine fiktive
Fläche oberhalb der Troposphäre). Meistens ist die gemeinte Fläche horizontal. Das muss
aber nicht so sein. Es ist zu beachten, dass der Strahlungsfluss oder eben der Flux eine
breitbandige Grösse ist, also Strahlung über einen Wellenlängenbereich von 1 bis 2
erfasst. Als monochromatischen Fluss oder spktralen Fluss F bezeichnet man dann
F = lim
!0
F ( , + )
(4.1)
Die Einheit der monochromatischen Strahlung ist dann gegeben in Leistung pro Einheitsfläche
und Einheitswellenlänge, also z.B in Wm 2 µm 1 .
Nachdem wir den spektralen Fluss definiert haben, erhält man den breitbandigen
Fluss über das Wellenlängen-Intervall [ 1, 2] durch entsprechende Integration
F ( 1 , 2) =
Z 2
1
F d . (4.2)
An Stelle von Flux wird häufig auch die Bezeichnung Irradianz verwendet, vor allem
dann, wenn man den Strahlungsfluss auf eine Fläche meint. Irradianz und Flux sind aber
dasselbe. Es ist wichtig sich vor Augen zu halten, dass der Strahlungsfluss keinen Bezug
darauf nimmt, woher die Strahlung kommt. Ein Fluss von 600Wm 2 auf unseren Rasen
vor dem Haus ist 600Wm 2 unabhängig davon, ob er an einem klaren Tag direkt aus
der Richtung wo die Sonne steht kommt, oder an einem bewölkten Tag aus mehr oder
weniger allen Richtungen einfällt.
Damit wir ein Strahlungsfeld vollkommen charakterisieren können, müssen wir auch
sagen aus welcher Richtung die Strahlung kommt und allenfalls wohin sie geht. Diese
Information gibt uns die Strahlungsintensität, oder kurz Intensität. Ein anderes Wort für
dasselbe ist die Radianz. Zwischen der Radianz und der Irradianz, resp. der Intensität
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und dem Fluss gibt es einen nahen Zusammenhang. Den Strahlungsfluss, den Flux,
der auf eine Fläche fällt, erhält man durch Integration der Radianz oder Intensität
über alle Richtungen. Üblicherweise werden hierzu Polarkoordinaten und der Begri↵ des
Raumwinkels verwendet. Ein infinitesimales Raumwinkel-Element d!, vergl. Figur 4.1,
wird in Polarkoordinaten ausgedrückt als
d! =sin✓d✓d'. (4.3)
z
dω = sinθ dθ dφ
Die Intensität oder die Radianz eines Strahlungsfeldes ist also der Fluss pro Einheitsdθ
θ
dφ
φ
x
y
Abbildung 4.1: Raumwinkel-Element in Polarkoordinaten
raumwinkel in eine bestimmte Richtung. Die Einheit der Radianz ist somit Wm 2 sterad 1 .
Um den Zusammenhang zwischen Flux und Intensität zu veranschaulichen betrachten
wir einen Strahlungsfluss von unten nach oben durch ein Flächenelement dA in Richtung
ˆ⌦, wie in Figur 4.2 illustriert. Dieser Fluss durch dA muss das Integral der Intensität,
n
Ω
θ
dω
dA
Abbildung 4.2: Die Flussdichte der Strahlung durch die Fläche dA in Richtung ˆ⌦.
I( ˆ⌦), über alle möglichen Richtungen von ˆ⌦ nach oben sein, d.h. in den oberen Halbraum
42

4.2 Gesetze der thermischen Strahlung
von einem Raumwinkel von 2⇡ steradian, aber gewichtet mit dem cosinus des Winkels
relativ zur Flächennormalen ˆn .Für den nach oben gerichteten Fluss F " erhalten wir
somit
Z
F " = I " ( ˆ⌦)ˆn · ˆ⌦d!. (4.4)
2⇡
Es ist jedoch praktisch wiederum Polarkoordinaten zu wählen und die z-Achse senkrecht
auf der Fläche zu wählen. Für den nach oben gerichteten Fluss erhalten wir
F " =
Z 2⇡ Z ⇡/2
Analog erhält man für den nach unten gerichteten Fluss
0
0
I " (✓, ')cos✓ sin ✓d✓d'. (4.5)
F # =
Z 2⇡ Z ⇡
0 ⇡/2
I # (✓, ')cos✓ sin ✓d✓d'. (4.6)
Falls die Strahlung isotrop ist, d.h. wenn die Intensität unabhängig von der Richtung
ist, dann gilt der wichtige Sachverhalt:
F = ⇡I. (4.7)
Häufig interessiert der Netto-Strahlungstrom F net in irgend einer Höhe in der Atmosphäre.
Es gilt dann
F net (z) ⌘ F " (z) F # (z). (4.8)
4.2 Gesetze der thermischen Strahlung
Nach Definition ist ein schwarzer Körper ein perfekter Absorber 1 . Ein schwarzer Körper
emittiert bei einer gegebenen Temperatur ein Maximum an Strahlung, die nur von der
Temperatur abhängt. Die abgestrahlte Intensität oder Radianz, d.h. die Energie pro
Zeit, pro Einheitsfläche, pro Wellenlänge und Raumwinkel (in Steradian) ist gegeben
durch das Planck’sche Gesetz
B (T )d =
2hc
⇣
2
⌘d . (4.9)
5
e hc
kT 1
Man kann das Planck’sche Gesetz auch in Frequenz ausdrücken und erhält dann für die
Radianz
2h⌫ 3
B ⌫ (T )d⌫ = ⇣ ⌘d⌫. (4.10)
c 2 e h⌫
kT 1
Obschon Gleichung (4.9) und (4.10) aequivalente Darstellungen desselben physikalischen
Sachverhalts sind, kann man nicht den einen Ausdruck in den anderen umwandeln unter
1 Hier soll nur eine Zusammenfassung der wichtigsten Gesetzte aufgelistet werden. Für eine genaue
Betrachtung wird auf die Literatur verwiesen.
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der simplen Zuhilfenahme der Relation ⌫ = c/ ! Der Grund dafür liegt in der Tatsache,
dass die Planck-Funktion eine Dichte-Verteilungsfunktion ist und deshalb di↵erentiell
definiert ist, also pro Frequenz-Intervall oder pro Wellenlängen-Intervall. Für die Umrechnung
muss man berücksichtigen, dass
d⌫
d = c 2 . (4.11)
Das Minuszeichen können wir vergessen, da es lediglich eine Frage der Integrationsrichtung
ist. Wir erhalten somit für die Umrechnung
B d = B ⌫
c2 d . (4.12)
Man kann die Planck-Funktion auch ausdrücken als Anzahl der Photonen pro Zeit (an
Stelle von Watt) pro Einheitsbandbreite. Das ist z.B. von Nutzen, wenn man photochemische
Prozesse in der Atmosphäre untersucht. Dabei gilt für die Anzahl N der
Photonen, N = Leistung/h⌫, d.h.B (N) =B /h⌫, d.h
B (N,T)d =
2c
⇣ ⌘d . (4.13)
4
e hc
kT 1
Durch Ableitung von (4.9) nach der Wellenlänge oder analog nach der Frequenz und
anschliessendes Null setzen, kann die Wellenlänge der maximalen Emission bestimmt
werden 2 . Man erhält so das Wien’sche Verschiebungsgesetz
maxT = konst =2898µmK. (4.14)
Mit dieser Beziehung kann die Temperatur eines Schwarzkörpers bestimmt werden, wenn
das Maximum seiner Strahlung bekannt ist.
Das Planck’sche Strahlungsgesetz gibt die monochromatische Intensität eines Schwarz-
Körpers an. Beim Strahlungstransfer in der Atmosphäre interessiert häufig der breitbandige
Strahlungsfluss, der von einem Schwarz-Körper emittiert wird. Den totalen Fluss
eines Schwarzkörpers erhält man durch Integration von (4.9) über alle Wellenlängen
und den Halbraum. Berücksichtigt man noch, dass die Strahlung eines Schwarz-Körpers
isotrop ist, so erhält man für den Fluss eines Schwarz-Körpers F 3 BB :
F BB (T )=⇡
Z 1
Durch Einsetzen erhält man so das Gesetz von Stefan-Boltzmann:
0
B (T )d . (4.15)
P = F BB = T 4 . (4.16)
Dabei ist = 2⇡5 k 4
=5.67 · 10 8 Wm 2 K 4 ,dieStefan-Boltzmann Konstante und T die
15c 2 h 3
absolute Temperatur.
44

4.2 Gesetze der thermischen Strahlung
1e+08
Blackbody Emission Curves (Planck’s Function)
1e+07
1e+06
100000
6000 K
B λ (T) [W m -2 Sr -1 µm -1 ]
10000
1000
100
10
1
(a)
Wien’s Law
300 K
0.1
0.01
250 K
0.001
0.0001
0.1 0.15 0.2 0.3 0.5 1 1.5 2 3 5 10 15 20 30 50 100
λB λ (T) (normalized)
(b)
6000 K 300 K
250 K
0.1 0.15 0.2 0.3 0.5 1 1.5 2 3 5 10 15 20 30 50 100
Wavelength [µm]
Abbildung 4.3: a) Darstellung der Planck-Kurve für T =6000K, was der Sonne entspricht
und für T =300K, was ungefähr der Erdoberfläche entspricht.
Ebenfalls eingezeichnet ist das Maximum gemäss dem Wien’schen Verschiebungsgesetz,
b) Auf das Maximum normierte Kurven. Es ist deutlich
sichtbar, dass die beiden Kurven praktisch keine Überlappung haben
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Figur 4.3 illustriert für verschiedene Temperaturen die Planck-Funktion, einerseits für
einen Schwarz-Körper mit einer Temperatur, die in etwa derjenigen der Sonne entspricht
und andererseits der Temperatur der Erdoberfläche 4 . Die Planck Funktion B (T )beschreibt
die thermische Emission eines Schwarz-Körpers und somit die theoretisch maximale
Emission von einem Objekt der Temperatur T. In Realität sind die betrachteten
Objekte nicht unbedingt Schwarz-Körper. Wir führen den Begri↵ der Emissivität ein,
der beschreibt wie viel ein Körper abstrahlt, relativ zu einem Schwarz-Körper. Die monochromatische
Intensität der Strahlung eines Körpers der Temperatur T sei I . Diese
sei kleiner als die entsprechende Intensität eines Schwarzkörpers. Dann gilt für die monochromatische
Emissivität, "
" ⌘ I
B (T ) . (4.17)
Es ist wichtig zu beachten, dass " eine Funktion anderer Variablen sein kann, insbesondere
von T,✓ und '. Falls" = 1, dann ist die Fläche e↵ektiv schwarz. Analog zu der
monochromatischen Emissivität kann man auch eine Emissivität eines grauen Körpers
definieren, der den emittierten Fluss in Relation zum Stefan-Boltzmann Gesetz setzt,
d.h.
" ⌘ F T 4 . (4.18)
Manchmal ist es auch sinnvoll die Emissivität für einen bestimmten Wellenlängenbereich
zu definieren, etwa für den thermischen Infrarot-Bereich. Es gilt dann
"( 1 , 2) ⌘ F ( 1, 2)
F BB ( 1 , 2) = F ( 1, 2)
⇡ R . (4.19)
2
B (T )d
Das Kirchho↵’sche Gesetz schliesslich besagt, dass ein thermischer Strahler genau in
dem Masse Strahlung emittiert wie er Strahlung absorbiert. Definieren wir das Absorpitionsvermögen
↵ durch
1
↵ =
absorbierteStrahlungsleistung
auftreffendeStrahlungsleistung
(4.20)
so können wir das Kirchho↵’sche Gesetz in der Form
↵ = " (4.21)
schreiben. Einen Strahler mit ↵ = 1 nennen wir schwarz. Auch Gase können genauso
thermische Strahlung emittieren, wie sie Strahlung absorbieren können. Im allgemeinen
hängt das Emissionsvermögen von der Wellenlänge und der Richtung ab. Das bedeutet
z.B., dass ein Gas genau in den Wellenlängenbereichen thermische Strahlung emittiert,
in denen es Absorptionslinien oder- banden aufweist.
2 Achtung: Dieselbe Bemerkung wegen der Umrechnung von Wellenlänge in Frequenz gilt, wie oben
bemerkt. Das Übersehen dieses Sachverhaltes führt immer wieder zu Fehlern!
3 BB steht für black body
4 Figur aus G.Petty
46

4.3 Die solare Einstrahlung
Es ist zu beachten, dass das Gesetz von Kirchho↵ nur für den Fall gilt, wo thermodynamisches
Gleichgewicht herrscht, oder wenigstens lokales thermodynamisches Gleichgewicht
(LTE). LTE herrscht dann vor, wenn die Moleküle in einem System Energie
untereinander beispielsweise durch Stösse viel schneller austauschen als mit dem Strahlungsfeld.
Dies ist in der Atmosphäre bis in eine Höhe von etwa 80 km erfüllt. Erst
darüber werden Stösse so selten, dass diese Bedingung nicht mehr gilt.
4.3 Die solare Einstrahlung
Als solare Konstante S c bezeichnet man die Energieflussdichte der Sonne pro Einheitsfläche
und Zeit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung im mittleren Abstand Erde-Sonne 5 .
Der Wert beträgt ca. S c =1366W/m 2 . Da die Bahn der Erde um die Sonne leicht elliptisch
ist, variiert die aktuelle Energiflussdichte von der Sonne am Ort der Erde im Laufe
eines Jahres um ±3.4% um den Mittelwert herum. Tatsächlich ist die Solarkonstante
aber keine Konstante, vielmehr variiert die abgestrahlte Energie der Sonne dauernd
bei allen Wellenlängen und mit den unterschiedlichsten Zeitskalen. Den grössten Wert
erreicht die Solarkonstante im Maximum des elfjährigen Sonnenzyklus. Obschon im Maximum
des Zyklus am meisten Sonnenflecken auftreten, welche den Energiefluss zum Teil
einschränken, so wird doch dieser E↵ekt durch so genannte Faculae übertönt. Figur 4.4
zeigt den zeitlichen Verlauf der Solarkonstante, wie er vom Weltall aus gemessen wurde.
Die zeitlich und räumlich gemittelte Einstrahlung der Sonne auf die Erdoberfläche nennt
Days (Epoch Jan 0, 1980)
0 2000 4000 6000 8000 10000
Solar Irradiance (Wm −2 )
1368
1366
1364
1362
Model
HF
ACRIM I
HF
ACRIM I
HF
Min20/21 Min21/22 Min22/23 Min23/24
Average of minima: 1365.458 ± 0.016 Wm −2
Difference of minima to average: +0.054; +0.107; +0.053; −0.213 Wm −2
Cycle amplitudes: 0.955 ± 0.019; 0.919 ± 0.020; 1.040 ± 0.017 Wm −2 0.1%
75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 01 03 05 07 09 11
Year
ACRIM II
VIRGO
Abbildung 4.4: Totale solare Irradianz. Homogenisierte Datenreihe aus verschiedenen
Satellitendaten (Datenquelle PMOD-WRC, Davos).
5 Interessante Hinweise zur Solarkosntanten findet man unter http://www.pmodwrc.ch/
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4 Strahlung und Strahlungsprozesse
man die mittlere solare Einstrahlung und bezeichnet sie mit S 0 . Weil die Erde eine Fläche
RE 2 ⇡ (mit R E als Erdradius) aus der Sonnenstrahlung ausblendet, aber eine Oberfläche
von 4RE 2 ⇡ aufweist, so beträgt die mittlere solare Einstrahlung gerade ein Viertel der
Solarkonstante, d.h.
S 0 =342W/m 2 . (4.22)
Multipliziert man S 0 mit der gesamten Erdoberfläche von 510·10 6 km 2 , so erhält man den
gesamten von der Sonne auf die Erde einfallenden Energiefluss pro Zeit zu 1.74 · 10 17 W .
Als Besonnung (Insolation) Q 0 bezeichnet man die gesamte pro Einheitsfläche und Tag,
von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang, auftre↵ende Strahlung. Die Besonnung hängt
ab von der geographischen Breite ' und vom Zenithwinkel # der Sonne. Die Bestrahlung
I (irradiance) einer horizontalen Fläche ist gegeben durch
I = S c
✓
Rm
R
◆ 2
cos #. (4.23)
Dabei ist R der momentane Abstand der Erde von der Sonne und R m der mittlere
Abstand. Das bedeutet, dass I ein Maximum im Januar erreicht, wenn die Erde im
Perihel ist und ein Minimum im Juli, wenn die Erde den fernsten Punkt, das Aphel,
erreicht. Für den Zenithwinkel # gilt
cos # =sin' sin +cos' cos cos h (4.24)
mit als der Deklination der Sonne und h dem Stundenwinkel. Für Sonnenaufgang und
Sonnenuntergang ist der Stundenwinkel h = H und # = ⇡/2, so dass
resp.
Die Tageslänge ist in Radian ausgedrückt
Die totale tägliche Besonnung ist somit
Mit dt = 12
⇡ dh wird Q 0 = 24
⇡ S c
sin ' sin +cos' cos cos H =0 (4.25)
cos H = tan ' tan . (4.26)
2H =2cos 1 ( tan ' tan ). (4.27)
✓ ◆ Untergang
2 Z
Rm
Q 0 = S c cos #dt. (4.28)
R
Aufgang
✓ ◆ 2 Rm
R
Z
0
H
cos #dh (4.29)
resp.
Q 0 = 24 ✓ ◆ 2
⇡ S Rm
c (H sin ' sin +cos' cos sin H) (4.30)
R
Eine Darstellung der über den Tag gemittelten Besonnung als Funktion der Zeit im
Jahr und der geographischen Breite ist in Figur 6 4.5 dargestellt. Bei Equinox ist die Be-
6 Figur aus G.Petty
48

4.3 Die solare Einstrahlung
Abbildung 4.5: Über den Tag gemittelte Insolation oberhalb der Atmosphäre als Funktion
der geographischen Breite und Jahreszeit. Einheiten sind Wm 2 .
Ebenfalls eingezeichnet ist die Deklination der Sonne in Grad, wobei die
Gradskala identisch ist mit derjenigen für die geographische Breite
49

4 Strahlung und Strahlungsprozesse
sonnung proportional cos ' weil ja überall der Tag gleich lang ist. Das Maximum ist am
Äquator, wo die Sonne im Zenith steht. An den Polen ist die Sonne am Horizont und somit
verschwindet die Besonnung. Die Exzentrizität der Erdbahn führt zu einer geringen
Asymmetrie zwischen der Nord- und der Südhalbkugel. Die jahreszeitliche Schwankung
der Besonnung hat einen starken Einfluss auf das Klima. Beispielsweise sind im Sommer
die Kontinente wärmer als die umliegenden Ozeane, wogegen es im Winter gerade
umgekehrt ist.
Abbildung 7 4.6 zeigt den zeitlichen Verlauf der solaren Einstrahlung für verschiedene
geographische Breiten. Man sieht, dass dabei mit zunehmender geographischen Breite
die jahreszeitlichen Unterschiede ausgeprägter werden. Eine etwas andere Darstellung
ist in Bild 4.7 gegeben, die den mittleren täglichen Strahlungsfluss oberhalb der Atmosphäre
als Funktion der geografischen Breite für die Solstizien und für das jährliche
Mittel zeigt 8 . Die definierte mittlere solare Einstrahlung und auch die Insolation be-
Abbildung 4.6: Tagesmittel der solaren Einstrahlung oberhalb der Atmosphäre im Laufe
des Jahres.
zieht sich auf einen Wert oberhalb der Atmosphäre. Die Insolation stellt also eine Art
obere Grenze der Sonnenstrahlung dar, die zur Verfügung steht. Bild 9 4.8 illustriert wie
viel von dieser Strahlung letztlich bis zum Erdboden durchdringt. Rund 30% werden ins
Weltall zurück reflektiert. Man nennt das gesamte Reflexions- und Rückstreuvermögen
der Erde, wie es von einem Objekt ausserhalb der Atmosphäre beobachtet wird, die
7 Figur aus Roedel
8 Figur aus G.Petty
9 Figur aus Roedel
50

4.3 Die solare Einstrahlung
600
Insolation
500
21 December
21 June
Insolation [W m -2 ]
400
300
200
Annual
100
0
SP 60S 30S EQ 30N 60N NP
Latitude
Abbildung 4.7: Mittlere tägliche Insolation oberhalb der Atmosphäre als Funktion der
geographischen Breite.
planetare Albedo. Daneben spricht man von der Bodenalbedo als das Rückstreu- und Reflexionsvermögen
der Erdoberfläche selbst. Die Bodenalbedo ist natürlich sehr stark von
der Boden-Bescha↵enheit abhängig und kann zwischen ca. 4% und 80% betragen. Die
globale Bodenalbedo variiert zwischen ca. 7% und 12%. Rund 20% der Strahlung wird in
der Stratosphäre und der Troposphäre absorbiert, ein Teil wird di↵us gestreut. Die Summe
der zum Erdboden gelangenden Strahlung wird Globalstrahlung genannt. Sie setzt
sich aus der restlichen direkten Sonnenstrahlung und der di↵us in der Luft und an Wolken
zur Erdoberfläche gestreuten Strahlung zusammen. Sie beträgt noch etwa 50% der
solaren Einstrahlung oder etwa 170W/m 2 . Die Globalstrahlung hängt aber ganz wesentlich
von der Bewölkung und von der Lufttrübung ab. Dem Erdboden kommt schliesslich
die Globalstrahlung minus des am Boden reflektierten Anteils zu Gute. Das Monatsmittel
der Globalstrahlung für die Monate Juni und Dezember ist in Figur 10 4.9 dargestellt.
Die Insolation stellt einen Mittelwert dar. Der momentane Strahlungsfluss am Erdboden
kann wesentlich grösser, jedoch natürlich nie grösser als die Solarkonstante multipliziert
mit cos #. Vergleiche hierzu auch die Formeln (4.23) und (4.24). Ein Beispiel für die gemessene
Strahlung am Erdboden in Bern zeigt Figur 4.10 und Figur 4.11. Aktuelle Werte
für Bern-Exakte-Wissenschaften sind auf dem Internet dargestellt 11 . Es ist auch möglich
Datensätze über wichtige Meteo-Parameter über die vom IAP betriebene Datenbank
STARTWAVE zu beziehen 12 . Wir haben bereits den Begri↵ des Strahlungsflusses, d.h.
der Strahlungsenergie pro Zeit und Fläche verwendet. Es gibt verschiedene Begri↵e, wie
Flux, Intensität, Radianz und Irradianz, die bei der Beschreibung von Strahlungsgrössen
10 Figur aus Roedel
11 http://www.iapmw.unibe.ch/research/projects/meteo/time series.html
12 http://www.iapmw.unibe.ch/research/projects/STARTWAVE/startwave dbs.html
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4 Strahlung und Strahlungsprozesse
Abbildung 4.8: Globales Budget der solaren Strahlung. Die Absorption in Wolken
ist relativ ungenau bekannt. Aus diesem Grunde werden zwei Werte
angegeben.
52

4.3 Die solare Einstrahlung
Abbildung 4.9: Monatsmittel der Globalstrahlung.
53

4 Strahlung und Strahlungsprozesse
Abbildung 4.10: Gemessene Werte der solaren Einstrahlung am Boden bei der Mess-
Station auf dem Dach des Gebäude ExWi im Jahr 2006.
?
Abbildung 4.11: Gemessene Momentan-Werte der solaren Einstrahlung am Boden bei
der Mess-Station auf dem Dach des Gebäude ExWi im August 2007.
Deutlich sichtbar ist der Tagesgang.
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