Algebraische Verbandstheorie - Institut für Algebra, Zahlentheorie ...

Algebraische
Verbandstheorie
Marcel Erné
Institut für Algebra, Zahlentheorie
und Diskrete Mathematik
Leibniz Universität Hannover
erne@math.uni-hannover.de
Wintersemester 2006/2007

Inhaltsverzeichnis
1 Verbände und Ordnungen 2
1.1 Halbverbände und Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Darstellung von Verbänden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Distributivgesetze 11
3 Hüllen, Kerne, Adjunktionen 18
3.1 Hüllen und Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Adjunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Boolsche Algebren, Heyting-Algebren und Lokale 27
1

Kapitel 1
Verbände und Ordnungen
1.1 Halbverbände und Verbände
Das Verbandskonzept geht auf Dedekind und Schröder zurück (Ende des 19.
Jahrhunderts).
Definition:
Ein Verband ist eine Menge L zusammen mit zwei (binären) Verknüpfungen
⊔ und ⊓, so dass für alle x, y, z ∈ L die Gesetze der
Assoziativität: x ⊔ (y ⊔ z) = (x ⊔ y) ⊔ z x ⊓ (y ⊓ z) = (x ⊓ y) ⊓ z
Kommutativität: x ⊔ y = y ⊔ x x ⊓ y = y ⊓ x
gelten.
Absorption: x ⊔ (x ⊓ y) = x x ⊓ (x ⊔ y) = x
Bei Dedekind heißen solche Strukturen Dualgruppen. Der Name Verband
wurde von Fritz Klein (ca. 1930) gewählt. Garrett Birkhoff, der Begründer
der modernen Verbandstheorie, prägte den englischen Begriff lattice.
Indem man die beiden Verbandsoperationen getrennt betrachtet, gelangt
man zu folgender
Definition:
Ein Halbverband ist eine kommutative Halbgruppe (d.h. eine Menge H mit
einer assoziativen und kommutativen binären Verknüpfung ⊓), in der jedes
Element idempotent ist, d.h.
x ⊓ x = x.
2

Satz 1.1
(L, ⊔, ⊓) ist genau dann ein Verband, wenn (L, ⊔) und (L, ⊓) Halbverbände
sind, für die gilt
x ⊔ y = y ⇔ x = x ⊓ y.
Beweis:
Das Idempotenzgesetz folgt aus der Absorption: Ersetze in der Absorptionsformel
y durch x ⊔ z, dann gilt
x Abs = x ⊔ (x ⊓ y) = x ⊔ (x ⊓ (x ⊔ z)) Abs = x ⊔ x.
Aus x ⊔ y = y folgt außerdem x = x ⊓ (x ⊔ y) = x ⊓ y. Dual für ⊓.
Sind umgekehrt (L, ⊔) und (L, ⊓) Halbverbände mit
so ergibt sich wegen
x ⊔ y = y ⇔ x = x ⊓ y,
x ⊔ (x ⊔ y) Ass = (x ⊔ x) ⊔ y Idem = x ⊔ y
die Gleichung x = x ⊓ (x ⊔ y). Dual bekommt man x = x ⊔ (x ⊓ y).
□
Definition:
Eine Ordnung (Halbordnung) ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische
Relation ≤ auf einer Menge P , d.h. es gilt
x ≤ x
x ≤ y; y ≤ z ⇒ x ≤ z
x ≤ y; y ≤ x ⇒ x = y
für alle x, y, z ∈ P . Das Paar (P, ≤) (oft nur mit P bezeichnet) heißt dann
(halb) geordnete Menge. P d = (P, ≥) mit x ≥ y ⇔ y ≤ x ist die dual
geordnete Menge.
Definition:
Sind je zwei Elemente x, y vergleichbar, d.h. x ≤ y oder y ≤ x, so heißt
die Ordnung ≤ total oder linear und (P, ≤) linear geordnet.
3

Definition:
In einer Antikette sind alle Elemente paarweise unvergleichbar (d.h. =
ist die Ordnung). Analog sind in einer Kette alle Elemente paarweise vergleichbar.
Definition:
Ein Element z ∈ P heißt obere Schranke von Y ⊂ P , falls y ≤ z für alle
y ∈ Y gilt. In diesem Fall ist Y nach oben beschränkt.
Dual: untere Schranke, nach unten beschränkt.
Definition:
Eine obere (untere) Schranke z ∈ Y von Y heißt Maximum (Minimum)
oder größtes (kleines) Element von Y . Dagegen erfüllt ein maximales (minimales)
Element m nur die Bedingung
m ≤ y ∈ Y ⇒ m = y.
Definition:
Ein Element s ∈ P heißt Supremum einer Teilmenge Y ⊆ P , in Zeichen
s = ∨ Y , falls s die kleinste obere Schranke von Y ist, d.h. ∀ y ∈ Y (y ≤
z) ⇔ s ≤ z.
Ist s kleinste obere Schranke von zwei Elementen x und y, so schreibt
man s = x ∨ y und nennt s das Supremum von x und y.
Dual definiert man das Infimum i = ∧ Y als größte untere Schranke von
Y (falls sie existiert), und das Infimum zweier Elemente als i = x ∧ y.
Definitionsgemäß gilt also
x ≤ z und y ≤ z ⇔ x ∨ y ≤ z,
w ≤ x und w ≤ y ⇔ w ≤ x ∧ y.
Beispiele: Alle Ordnungen auf ≤ 3 Elementen Dabei sind 1.1, 2.2 und 3.2
Ketten (linear geordnete Mengen) und die einzigen Verbände mit höchstens
drei Elementen. 2.1 und 3.1 sind Antiketten, 3.4 ist ein ∧-Halbverband und
3.5 ein ∨-Halbverband (aber nicht umgekehrt).
Satz 1.2
Es besteht eine Bijektion (L, ≤) ↦→ (L, ∨, ∧) zwischen verbandsgeordneten
Mengen (d.h. solche, in denen je zwei Elemente ein Supremum und ein
Infimum besitzen) und Verbänden.
4

Die Umkehrabbildung (L, ⊔, ⊓) ↦→ (L, ⊑) ordnet jedem Verband eine geordnete
Menge zu, mit
x ⊑ y :⇔ x ⊔ y = y ⇔ x = x ⊓ y. (1.1)
Analog liefern die Zuordnungen (L, ≤) ↦→ (L, ∨) und (L, ≤) ↦→ (L, ∧) jeweils
Bijektionen zwischen geordneten Mengen, indenen je zwei ELemente ein
Supremum bzw. Infimum besitzen und (∨- bzw. ∧-)Halbverbänden.
Beweis: ’⇐’
Trick: x = y ⇔ ∀a (a ≤ x ⇔ a ≤ y)
• Assoziativität
Behauptung: 1 (x ∧ y) ∧ z = 2 inf{x, y, z} = 3 x ∧ (y ∧ z)
Die Gleichheitszeichen gelten, da für alle a: a ≤ (1) ⇔ a ≤ (2) und
analog: a ≤ (3) ⇔ a ≤ (2).
• Kommutativität
Ebenso aus dem Trick: a ≤ (x ∧ y) ⇔ a ≤ (y ∧ x), da in der Ordnung
je zwei Elemente (unabhängig von der Reihenfolge) dasselbe Infimum,
bzw. Supremum besitzen.
• Absorption
x ∨ (x ∧ y) ≤ a ⇔ x ≤ a und x ∧ y ≤ a ⇔ x ≤ a,
da x ∧ y ≤ x. Nun liefert der (umgedrehte) Trick angewendet auf den
linken und den rechten Teil der Äquivalenz den Beweis.
Duale Gleichungen folgen analog. Somit ist (L, ∨, ∧) ein Verband, und
die Ordnung .
Beweis: ’⇒’
Sei jetzt (L, ⊔, ⊓) ein Verband und ⊑ definiert durch (1.1). Für die Ordnungseigenschaften
genügt es, daß (L, ⊓) ein Halbverband ist.
• Reflexivität
Folgt direkt aus der Idempotenz.
• Transitivität
x ⊑ y ⊑ z
1.1
⇒ x ⊓ y = x, y ⊓ z = y ⇒ x ⊓ (y ⊓ z) = x
Ass
⇒ (x ⊓ y) ⊓ z = x ⇒ x ⊓ z = x ⇒ x ⊑ z
5

• Antisymmetrie
x ⊑ y ⊑ x ⇒ x ⊓ y = x, y ⊓ x = y
Kom
⇒
x = x ⊓ y = y ⊓ x = y
• Verknüpfungen ⊔, ⊓ sind sup und inf
a ⊑ x ⊓ y ⇔ a ⊓ (x ⊓ y) = a
Ass
⇔ (a ⊓ x) ⊓ y = a (1.2)
Daraus folgt
a ⊓ x
( )
Abs = (a ⊓ x) ⊔ (a ⊓ x) ⊓ y
1.2
= (a ⊓ x) ⊔ a Kom = a ⊔ (a ⊓ x) Abs = a
also einerseits a ⊑ x und analog a ⊓ y = a, d.h. a ⊑ y.
Andererseits folgt aus a⊓x = a und a⊓y = a mit (1.2) direkt a ⊑ x⊓y.
Analog für ⊔.
□
Wegen (1.2) unterscheiden wir häufig nicht zwischen Verbänden und verbandsgeordneten
Mengen.
Satz 1.3 Folgende Aussagen über eine geordnete Menge (L, ≤) sind äquivalent:
a) Jede Teilmenge Y hat ein Supremum ∨ Y .
b) Jede Teilmenge Z hat ein Infimum ∧ Z.
c) L hat ein kleinstes Element ⊥/0, und jede nichtleere Teilmenge hat
ein Supremum.
d) L hat ein größtes Element ⊤/1, und jede nichtleere Teilmenge hat ein
Infimum.
e) L hat ⊤ und ⊥ und jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge
hat ein Supremum.
f) L hat ⊤ und ⊥ und jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge
hat ein Infimum.
6

Beweis:
a ⇒ b: Sei Y := Z ↓ die Menge der unteren Schranken von Z ⊆ L.
Nach a) hat Y ein Supremum s, welches nach Definition über allen
unteren Schranken von Z liegt. Da aber s auch untere Schranke von
Z ist, ist s = ∨ Z.
b ⇒ a dual
a ⇒ c: ⊥ = ∨ Ø
c ⇒ e: ⊤ = ∨ L
e ⇒ a: L und jede Teilmenge davon ist durch ⊤ nach oben beschränkt,
und ∨ Ø = ⊥.
b ⇒ d ⇒ f ⇒ b dual
□
Definition:
Eine geordnete Menge mit diesen Eigenschaften heißt vollständig(er Verband).
Hat zumindest jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge ein
Supremum, so spricht man von einer bedingt vollständigen geordneten Menge.
Korollar 1.4 Für einen Verband L (mit der Ordnung ≤) sind äquivalent:
a) L ist bedingt vollständig.
b) Der duale Verband L d ist bedingt vollständig.
c) Jede nichtleere, beschränkte Teilmenge hat ein Supremum und ein Infimum.
Beweis:
a ⇒ c und b ⇒ c sind trivial.
c ⇒ a: Sei Y nichtleer und nach oben beschränkt. Wähle y ∈ Y , dann ist
W := {x ∨ y : x ∈ Y } beschränkt und nichtleer (y ∈ W ). Nach
Voraussetzung hat W ein Supremum s. Um zu zeigen, daß s = ∨ Y
gilt, ist nur noch x ≤ s für x ∈ Y zu zeigen. Dies gilt, da x ∨ y ∈ W ,
also x ∨ y ≤ s und insbesondere x ≤ s.
c ⇒ b: dual
□
Konvention:
Für zwei Mengen A, B bezeichne A B die Menge aller Abbildungen von
B nach A. Im folgenden wird I für eine beliebige Indexmenge verwendet.
Die Potenzmenge von I sei mit ↑P (I) oder 2 I bezeichnet, worin sich die
Größe der Potenzmenge wiederspiegelt. Die Isomorphie der Potenzmenge
7

zur Menge der Abbildungen von I nach {0, 1} ergibt sich, indem man jeder
Teilmenge j ⊂ I ihre characteristische Funktion χJ zuordnet:
χJ(i) =
{ 1 , falls i ∈ J
0 , sonst
.
Beispiele:
1. Eine Antikette ist bedingt vollständig, da nur die einelementigen Teilmengen
beschränkt sind. Je zwei Elemente besitzen weder Supremum
noch Infimum.
2. Das ”
Family Poset“ erfüllt c) aber weder a) noch b), ist
also bedingt vollständig, aber kein Verband, da z.B. die
beiden unteren Elemente keine kleinste obere Schranke
besitzen. Die (nichtleeren) beschränkten Teilmengen dagegen
sind Ketten und haben sogar Minimum und Maximum.
3. (R, ≤) und R M mit dem komponentenweisen ≤ sind bedingt vollständige
Verbände.
4. Ist L bedingt vollständig, so ist ¯L = L ∪ {−∞, ∞} = L ∪ {⊤, ⊥} mit
⊥ ≤ α ≤ ⊤ für alle α ∈ L vollständig.
5. Jedes kompakte Intervall [a, b] ⊆ R ist ein vollständiger Verband, analog
[f, g] ⊑ R M .
6. Jeder nichtleere, endliche Verband ist vollständig, ebenso jeder endliche
∨-Halbverband mit kleinstem Element.
7. N, Z, R, etc und Potenzen derselben sind bedingt vollständige Verbände,
aber nicht vollständig (ohne ⊤ und ggf. ⊥). Q ist nicht bedingt vollständig:
{α ∈ Q : x 2 ≤ 2} hat kein Supremum in Q.
8. Ordnung 3.4 (aus der Liste der Ordnungen mit ≤ 3 Elementen, s.o.) ist
ein ∨-Halbverband, 3.5 ein ∧-Halbverband, beide aber kein Verband,
wenn auch bedingt vollständig.
1.2 Darstellung von Verbänden
Definition:
8

Gilt x < y, aber es gibt kein z mit x < z < y, so schreiben wir x ≺ y
und nennen x einen unteren Nachbarn von y, bzw. y einen oberen Nachbarn
von x, und sagen: x und y sind benachbart.
• Bei der graphischen Darstellung von Ordnungen und Verbänden wird
stets nur die Nachbarschaftsrelatiuon eingetragen.
• Für endliche Ordnungen beginnt man mit den minimalen Elementen,
und setzt dann die oberen Nachbarn sukezessive auf.
Beispiel:
Definition:
Ein (unterer) Abschnitt einer geordneten Menge P ist eine Teilmenge A
mit x ≤ y ∈ P ⇒ x ∈ A. Dual sind obere Abschnitte definiert.
Korollar 1.5 Für Y ⊂ P ist
↓ Y := {x ∈ P | ∃ y ∈ Y (x ≤ y)}
der von Y erzeugte untere Abschnitt (d.h. der kleinste, der Y umfasst und
↑ Y := {x ∈ P | ∃ y ∈ Y (y ≤ x)}
ist der von Y erzeugte obere Abschnitt.
Definition:
Für endliches Y ⊂ P (geschrieben Y ⋐ P ) heißt ↓ Y bzw. ↑ Y endlich
erzeugt.
Definition:
Dagegen bezeichnet
Y ↓ := {x ∈ P | ∀ y ∈ Y (x ≤ y)}
die Menge der unteren Schranken (genannt unterer Schnitt), und
Y ↑ := {x ∈ P | ∀ y ∈ Y (y ≤ x)}
die Menge der oberen Schranken (oberer Schnitt) von Y .
9

Korollar 1.6 Für die Hauptideale
gilt also
↓ y =↓ {y} = {x ∈ P | x ≤ y}
↓ Y = ⋃ {↓ y | y ∈ Y }
Y ↓ = ⋂ {↓ y | y ∈ Y }.
Dual für obere Abschnitte und Schnitte.
Definition:
Es bezeichne AP die Menge aller (unteren) Abschnitte von P .
10

Kapitel 2
Distributivgesetze
Definition:
Ein Verband heißt distributiv, falls für alle x, y, z ∈ L gilt:
x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
In Ringen gilt das Distributionsgesetz x(y + z) = xy + xz, aber nicht die
duale“ Formel x + yz = (x + y)(x + z). Hingegen:
”
Satz 2.1 Für einen Verband L sind folgende Eigenschaften äquivalent:
a) L ist distributiv.
a’) L d ist distributiv.
b) x ∧ ∨ Y = ∨ (x ∧ Y ) für alle Ø ≠ Y ⋐ L.
c) ∨ Y 1 ∧ · · · ∧ ∨ Y n = ∨ {y 1 ∧ · · · ∧ y n : y i ∈ Y i (i ≤ n)} für alle Ø ≠ Y i ⋐
L; (i ≤ n).
d) ∧ { ∨ Y : Y ∈ Y} = ∨ ⋂ Y für alle nichtleeren Y ⊆ {↓ F | F ⋐ L}.
e) Es gilt das Mediangesetz
(x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x) = (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z ∧ x) =: m. (2.1)
f) Anti-Blocking-Property (verwendet in KI)
x ∧ y ≤ z und x ≤ y ∨ z ⇒ x ≤ z.
11

g) Relative Komplemente sind eindeutig:
x ∨ y = x ∨ z und x ∧ y = x ∧ z ⇒ y = z.
h) L hat keinen Unterverband der Formen Pentagon“, Diamant“.
” ”
i) Alle fünfelementigen Unterverbände sind distributiv.
Beweis:
a ⇔ a ′ :
( ) ( )
(x ∨ y) ∧ (x ∨ z) =
a (x ∨ y) ∧ x ∨ (x ∨ y) ∧ z
(
)
Abs/a
= x ∨ (x ∧ z) ∨ (y ∧ z)
( )
Ass
= x ∨ (x ∧ z) ∨ (y ∧ z)
Abs
= x ∨ (y ∧ z)
a ⇒ b: Induktion
b ⇒ c: Induktion
c ⇒ d: Ist Y = {↓ Y i : i ≤ n}, Y i ⋐ L, so gilt
∧ → ∨
Y =
∧
{
∨
↓ Yi : i ≤ n} = ∧ { ∨ Y i : i ≤ n}
= ∨ {y 1 ∧ · · · ∧ y n : y i ∈ Y i (i ≤ n)} = ∨ ⋂ Y i
, da ⋂ Y =↓ {y 1 ∧ · · · ∧ y n : y i ∈ Y i (i ≤ n)}
a ⇒ e: Mehrfache Anwendung der Distributivitätsbedingung.
a ⇒ f: x = x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ≤ z.
f ⇒ g: x ∧ y = y ∧ z ≤ z, x ≤ x ∨ z = y ∨ z ⇒ x ≤ z, und analog z ≤ x,
also z = x.
g ⇒ h: Klar, da in N 5 und M 3 Komplemente nicht eindeutig sind.
h ⇒ i: N 5 und M 3 sind die einzigen nichtdistributiven Verbände mit 5
Elementen.
Die umgekehrten Beweise sind teilweise sehr aufwendig.
□
Definition:
Eine Boolsche Algebra ist ein distributiver Verband, in dem es zu jedem
x ein (eindeutiges) Komplement x ⊥ gibt, mit x ∧ x ⊥ = ⊥, x ∨ x ⊥ = ⊤, z.B.
Potenzmengen.
12

Definition:
Ein Lokal oder Rahmen ist ein vollständiger Verband L, so daß
x ∧ ∨ Y = ∨ (x ∧ Y ) (= ∨ {x ∧ y : y ∈ Y })
gilt, für alle x ∈ L und Y ⊆ L. Entsprechend gilt für ein duales Lokal
x ∨ ∧ Y = ∧ (x ∨ Y ).
Korollar 2.2 Vollständige Boolsche Algebren sind Lokale, da für alle a gilt
∨
(x ∧ Y ) ≤ a ⇔ ∀y ∈ Y (x ∧ y ≤ a)
BA ⇔ ∀y ∈ Y (y ≤ a ∨ x ⊥ )
⇔ ∨ Y ≤ a ∨ x ⊥ BA ⇔ x ∧
∨
Y ≤ a.
Konvention:
Für einen Operator (oder eine Abbildung) Φ bezeichne Φ → Y die Bildmenge
{ΦY : Y ∈ Y}. Insbesondere ist also ∨→ Y = { ∨ Y : Y ∈ Y} für
die Supremum-Abbildung ∨ : ↑P (L) ↦→ L eines vollständigen Verbandes.
Korollar 2.3 Ist L ein Lokal und Y, Z ⊆ L, Y = {↓ Y i : i = 1, . . . n} =
{x : ∃y ∈ Y i ; x ≤ y} ein endliches System unterer Abschnitte, so gilt
∨
Y1 ∧ · · · ∧ ∨ Y n = ∨ {y 1 ∧ · · · ∧ y n : y i ∈ Y i (i ≤ n)}
für alle Y i ⊆ L; (i ≤ n), und
∨ ⋂
Y =
∧ ∨ →
Y.
Umgekehrt folgt aus diesen Gleichungen, daß L ein Lokal ist.
Bemerkung:
Im Unterschied zu distributiven Verbänden (Satz 2.1 c und d) gelten
die Gleichungen hier auch für die leere Menge und endlich viele unendliche
Mengen Y i .
Beweis:
Die erste Gleichung folgt direkt aus der Definition des Lokals:
∨
Y ∧
∨
Z =
∨
(Y ∧
∨
Z) =
∨
(Y ∧ Z),
die Zweite kommt dadurch zustande, daß bei unteren Abschnitten der mengentheoretische
Durchschnitt gleich dem verbandstheoretischen Infimum ist.
13

□
Definition:
Ein vollständiger Verband L heißt volldistributiv, falls für jedes System
Y unterer Abschnitte gilt:
∨ ⋂ ∧ ∨ →
Y = Y.
Satz 2.4 Es gilt für jeden vollständigen Verband L:
L volldistributiv ⇔ L d volldistributiv ⇔
∀ x, y ∈ L (x ≰ y ⇒ ∃ p, q ∈ L : p ≰ y, x ≰ q, ↑ p ∪ ↓ q = L) (2.2)
Beweis:
Sei L volldistributiv, A x = ⋂ {↓ A = A : x ≤ ∨ A}, dann gilt x = ∨ A x ,
da
X = ∧ { ∨ ↓ A : x ≤ ∨ A} == ∨ ⋂ {↓ A = A : x ≤ ∨ A} = ∨ A x .
Wegen x ≰ y gibt es ein p ∈ A x mit p ≤ y. Setze q = ∨ (L\ ↑ p). Dann
gilt ↑ p∪ ↓ q = L (da L\ ↑ p ⊆↓ q), und x ≰ q (da sonst a x ⊆ L\ ↑ p im
Widerspruch zu p ∈ A x ).
Gelte umgekehrt (2.2) speziell für x = ∧ ∨→ Y, y = ∧ ⋂ Y. Dann ist
L\ ↑ p ∉ Y (da sonst
□
Bemerkung:
Die letzte Bedingung lässt sich auch als ∀z ∈ L : (p ≤ z oder z ≤ q)
schreiben, wodurch die zweifach verschachtelte Definition der Volldistributivität
durch einen Ausdruck erster Stufe (Quantoren nur bei Elementen)
beschrieben werden kann.
Beispiele:
1) Jede vollständige Kette ist nach Satz 2.4 volldistributiv. Desgleichen
jedes Produkt vollständiger Ketten, z.B. die Menge [0, 1] I (I beliebig).
Ebenso vollständige Unterverbände. Insbesondere für zwei Funktionen
f, g das Intervall“ [f, g] = {h : f ≤ h ≤ g} = ∏ ”
i∈I
[f(i), g(i)], sofern
dieses nicht leer ist (d.h. f ≤ g).
2) R R ist nicht volldistributiv, da nicht vollständig.
3) Jeder Abschnittsverband AP ist volldistributiv, da hier Vereinigung =
Supremum und Durchschnitt = Infimum sind.
14

4) ↑P (I) ist volldistributiv für eine beliebige Menge I, da die Potenzmenge
isomorph ist zu 2 I = [0, 1] I .
5) Jede Topologie ist ein Lokal , da hier ∨ ≡ ⋃ , ∧ ≡ ⋂ und
denn
U ∩ ⋃ Y = ⋃ {U ∩ V : V ∈ Y},
x ∈ U ∩ ⋃ Y ⇔ x ∈ U und ∃V ∈ Y : (x ∈ V )
⇔ ∃V ∈ Y : (x ∈ U und x ∈ V )
⇔ ∃V ∈ Y : (x ∈ U ∩ V ) ⇔ x ∈ ⋃ {U ∩ V : V ∈ Y}.
6) Eine Topologie ist selten ein duales Lokal. So ist z.B. eine T 1 -Topologie
T , die ein duales Lokal ist, bereits diskret. Sei L = T c der Verband
der abgeschlossenen Mengen und L sei ein Lokal. Verbandstheoretisch
ist der Abschluss das Supremum der einpunktigen Teilmengen:
Ā = ⋃ } {{a} : a ∈ A = ∨ {
}
{a} : a ∈ A .
Und für x ∈ X gilt:
{x} ∩ Ā = {x} ∩ ∨ {{a} : a ∈ A
} Lokal
= ∨ }
{{x} ∩ {a} : a ∈ A
und dies ist die leere Menge für alle x ∉ A, also ist A = Ā.
7) Die Scott-Topologie oder obere Topologie auf [0, 1] n besteht aus allen
euklidisch offenen oberen Abschnitten und ist die größte Topologie, in
der alle Hauptideale ↓ y = [0, y] abgeschlossen sind. Sie ist volldistributiv,
aber nicht T 1 .
8) Lokale, die nicht isomorph zu einer Topologie sind (gäbe es keine solchen
Lokale, so würde die Theorie der Lokale gleich der der Topologien
sein, und man könnte sie sich sparen), sind z.B. alle vollständigen Boolschen
Algebren ohne Atome. Die einzigen Boolschen T 0 -Topologien
sind die Potenzmengen, denn in einer solchen Topologie ist jede einpunktige
Menge als Durchschnitt aller offenen = abgeschlossenen Mengen
abgeschlossen, also auch offen.
Eine vollständige, atomlose Boolsche Algebra ist L/N , mit der Menge
der Lebesgue-meßbaren Mengen L und dem Ideal der Nullmengen N .
Einelementige Mengen (die als Atome in Frage kämen) und sogar endliche
Mengen werden hier mit der leeren Menge Ø = ⊥ identifiziert,
da sie dieser fast überall gleich sind.
15

9) Weitere vollständige Boolsche Algebren (und damit Lokale) sind alle
Verbände regulär offener Mengen topologischer Räume. Eine Menge
A ist regulär offen, wenn der offene Kern des Abschlusses gleich der
Ausgangsmenge ist.
Definition:
Ein Verband L heißt modular, falls das Distribtivitätsgesetz für je drei
Elemente gilt, von denen zwei vergleichbar sind.
16

Bemerkung:
Dies ist weniger als Distributivität. Die Zusatzbedingung lässt sich auch
so ausdrücken:
(x ∧ y) ∨ z = x ∧ (y ∨ z), falls x ≥ z.
Dabei ist die Forderung x ≥ y aus Symmetriegründen alternativ, während
die Gleichung für x ≤ y, bzw. x ≤ z trivialerweise erfüllt ist (wende Absorption
an). Ebenso gilt die Distributivität automatisch, wenn nur y und z
vergleichbar sind.
Dedekind hat eine weitere Darstellung in reiner Gleichungsform vorgestellt:
( )
(x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = x ∧ y ∨ (x ∧ z) .
Dies folgt sofort aus der Übersetzung z = x ∧ z ⇔ z ≤ x.
Satz 2.5 (Dedekind 1900)
Für einen Verband L sind äquivalent
a) L ist modular.
b) Das Distriubtivitätsgesetz gilt für je drei Elemente, von denen zwei
vergleichbar sind.
c) Aus z ≤ x, x ∨ y = y ∨ z und x ∧ y = y ∧ z folgt x = z.
d) L enthält kein Pentagon (N 5 ) als Unterverband.
e) Für x, y, z ∈ L gilt
x ∧
( )
y ∨ (x ∧ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
Beweis:
a ⇒ b: Ist z ≤ x, so gilt x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) nach a). Analog,
falls y ≤ z. Gilt hingegen x ≤ y oder x ≤ z, so sind beide Seiten
gleich x. Im Falle y ≤ z oder z ≤ y kommt auf beiden Seiten
x ∧ y heraus.
b ⇒ a: z ≤ x ⇒ x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = (x ∧ y) ∨ z
a ⇒ c: x = x ∧ (x ∨ y) = x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ z = (x ∧ z) ∨ z = z
c ⇒ d: Das Pentagon widerspricht c).
d ⇒ a: Es ist stets ˜z := (x ∧ y) ∨ z ≤ x ∧ (y ∨ z) =: ˜x. Wäre ˜z ≤ ˜x, so
ergäbe sich ein Pentagon:
a ⇔ e: Folgt aus der Übersetzung x = x ∧ x ⇔ z ≤ x.
17
□

Kapitel 3
Hüllen, Kerne, Adjunktionen
3.1 Hüllen und Kerne
Definition:
Ein Hüllenoperator auf einer Menge X ist eine Abbildung Γ : ↑P (X) →
↑P (X) mit
Y ⊆ Γ(Z) ⇐⇒ Γ(Y ) ⊆ Γ(Z).
Schreibweise: Y statt Γ(Y ).
Dual ist ein Kernoperator auf X eine Abbildung K : ↑P (X) → P p(X)
mit
K(Y ) ⊆ Z ⇐⇒ K(Y ) ⊆ K(Z).
Schreibweise: Y ◦ statt K(Y ).
Eine Abbildung Φ : ↑P (X) → ↑P (X) bewahrt (endliche, gerichtete Vereinigungen),
falls für (endlich, gerichtete) Y ⊆ ↑P (X) gilt:
(⋃ )
Φ Y = ⋃ Φ → (X)
Eine quasigeordnete Menge ist gerichtet, falls jede endliche Teilmenge eine
obere Schranke hat.
Ein Hüllenoperator heißt topologisch, falls er endliche, algebraisch, falls
er gerichtete und A-topologische, falls er beliebige Vereinigungen bewahrt.
Eine A-Topopologie ist algebraisch und topologisch.
Beispiele:
18

1) Der euklidische Abschluss im R n ist topologisch, aber nicht algebraisch.
⋃ { }
[ 1
n , 1] |n ∈ N = ] 0, 1 ] = [ 0, 1 ] ,
⋃ { }
[ 1
aber
n , 1] |n ∈ N = ] 0, 1 ]
2) Die lineare Hülle ist algebraisch, aber nicht topologisch (in beliebigen
Vektorräumen).
{(x, y)|y = 0} ∪ {(x, y)|x = 0} = {(x, y)|x = 0 und y = 0}
≠ {(x, y)|x = 0 oder y = 0}
Also ist der Hüllenoperator nicht topologisch, aber algebraisch:
Sei Y ein gerichtetes System von Teilmengen des Vektroraums V . Dann
gilt
< ⋃ Y >= ⋃ {
< Y > |Y ∈ Y
}
denn für Linaearkombinationen braucht man nur endlich viele Elemente.
3) Die Operation ↓ ist A-topologisch.
Definition:
Eine Hüllenoperation auf einer geordneten Menge P ist eine Abbildung
γ : P → P mit
y ≤ γ(z) ⇐⇒ γ(y) ≤ γ(z).
Eine Kernoperation auf einer geordneten Menge P ist eine Abbildung γ :
P → P mit
y ≥ γ(z) ⇐⇒ γ(y) ≥ γ(z).
Satz 3.1 Eine Abbildung γ : P → P ist genau dann eine Hüllenopertion,
wenn gilt:
1.) x ≤ γ(x) (extensiv, expansiv)
2.) x ≤ y ⇒ γ(x) ≤ γ(y) (ordnungserhaltend, isoton)
3.) γ(γ(x)) = γ(x) (idempotent)
Eine Abbildung γ : P → P ist genau dann eine Kernopertion, wenn gilt:
1.) x ≥ γ(x) (kontraktiv, regressiv)
2.) x ≥ y ⇒ γ(x) ≥ γ(y) (ordnungserhaltend, isoton)
3.) γ(γ(x) = γ(x) (idempotent)
19

Mit − ist γ(x) = x, x ≤ x, x ≤ y ⇒ x ≤ y, x = x.
Beweis: ’⇒’
Sei γ eine Hüllenoperation.
1.) γ(x) ≤ γ(x) ⇒ x ≤ γ(x)
2.) x ≤ y trans ⇒ x ≤ γ(y) def
⇒ γ(x) ≤ γ(y)
3.) γ(x) ≤ γ(γ(x))(extensiv), γ(x) ≤ γ(x) Def.
⇒ γ(γ(x)) ≤ γ(x).
Beweis: ’⇐’
Sei umgekehrt γ extensiv, isoton und idempotent.
Wegen der Extensivität folgt aus γ(y) ≤ γ(z) bereits y ≤ γ(z); gilt andererseits
y ≤ γ(z), so gilt wegen der Isotonie γ(y) ≤ γ(γ(z)) = γ(z) aufgrund
der Idempotenz.
□
Definition:
Ein Hüllenbereich einer geordneten Menge P ist eine Teilmenge H derart,
dass zu jedem x ∈ P ein kleinstes x ∈ H mit x ≤ x existiert. Ein
Kernbereich einer geordneten Menge P ist eine Teilmenge H derart, dass zu
jedem x ∈ P ein kleinstes x ◦ ∈ H mit x ≥x ◦ existiert.
Beispiele:
1) Runden auf n Stellen nach oben: Hüllenoperation
nach unten: Kernoperation
2) Es sei (N 0 , |) die durch die Teilerrelation geordnete Menge. Dann ist
die Abbildung
n ↦→ ∏ p
p∈P
p|n
eine Kernoperation.
3) Die identische Abbildung id : P → P ist die einzige Abbildung, die
sowohl Hüllen- als auch Kernoperation ist.
Satz 3.2 Die Zuordnung γ ↦→ γ → (P ) ist ein dualer Isomorphismus zwischen
der geordeneten Menge aller Hüllenoperationen und der Menge ( durch
⊆ geordneten ) aller Hüllenbereiche. Dasselbe gilt dual für Kernoperationen.
Beweis:
(i) γ → (P ) = H ist ein Hüllenbereich, denn für x ∈ P ist x = γ(x) das
20

” ⇐=“: y ∈ H ⇒ y = γ H (y) ≥ γ H
′ (y)
kleinste Element von H über x.
(ii) Für jeden Hüllenbereich H ⊆ P definiert
{ P → P
γ H :
x ↦→ x := min{h ∈ H|x ≤ h}
eine Hüllenoperation, da y ≤ z ∈ H ⇐⇒ y ≤ z ist.
(iii) Für H = γ → (P ) ist γ = γ H .
γ(x) ∈ H ⇒ γ H (x) = x ≤ γ(x)
und h ∈ H & x ≤ h ⇒ ∃y ∈ P ( h = γ(y) )
Also ist γ H (x) = γ(x).
(iv) Für einen Hüllenbereich H gilt: H = γH → (P ).
⇒
γ(x) ≤ γ(y) = h
x ∈ H ⇒ γ H (x) = x ∈ γ → H (P )
x ∈ γ → h (P ) ⇒ ∃y ∈ P ( x = γ H (y) ∈ H ) .
(v) H ⊆ H ′ ⇐⇒ γ H
′ ≤ γ H :
” =⇒“: Das Minimum kann höchstns kleiner werden, da Y ⊆ Y ′ ⇒ min Y ≤
min Y ′
ist.
γ H extensiv
⇒
y = γ H
′ (y) ∈ H
Satz 3.3 Eine Hüllenopertaion γ : L → L bewahrt genau dann beliebige
(endliche, gerichtete) Suprema, wenn der Hüllenbereich H = γ → (P ) abgeschlossen
gegen (endliche, gerichtete ) beliebige Suprema ist.
Beweis: ’⇐’
Es bewahre γ Suprema. Dann gilt für beliebige (endliche, gerichtete)
Y ⊆ H:
(∨ )
γ Y = ∨ γ → (Y )
= ∨ Y (F ixpunkt)
□
21

⇒ ∨ Y ∈ H. Beachte γ → (L) = {x|γ(x) = x} = F ix γ.
Beweis: ’⇒’
Umgekehrt sei H gegen Suprema abgeschlossen. Für beliebige (endliche,
gerichtete) Y ⊆ L ist auch γ → (Y ) beliebig (endlich, gerichtet) und eine
Teilmenge von H. Wegen der Isotonie von γ gilt: γ → (Y ) ≤ γ( ∨ Y ), da y ≤
( ∨ Y ) für alle y ∈ Y ist. Andererseits folgt aus γ → (Y ) ≤ s auch γ( ∨ Y ) ≤ s,
da ∨ γ → (Y ) ∈ H und ∨ γ → (Y ) ≤ s sowie ∨ Y extensiv
≤ ∨ γ → (Y ) = h =
γ(h) ∈ H. Also ist γ( ∨ Y ) ≤ h ≤ s. Das heißt γ( ∨ Y ) ist kleinste obere
Schranke von γ → (Y ).
Beispiele:
□
1) Der Abschnittsoperator ↓ bewahrt beliebige Vereinigungen, da das System
der Abschnitte abgeschlossen gegen Vereinigungen ist.
2) Ein Hüllenoperator ist genau dann topologisch (d.h. er bewahrt endliche
Vereinigungen), wenn seine Bildmenge eine duale Topologie (d.h.
abgeschlossen gegen beliebige Durchschnitt und endliche Vereingungen
ist) ist.
3) Ein Hüllenoperator bewahrt genau dann gerichtete Vereinigungen, wenn
seine Bildmenge ein algebraisches Hüllensystem ( d.h. abgeschossen
gegen gerichtete Vereinigungen ist) ist.
Korollar 3.4 Die Zuordnung γ ↦→ γ → (L) ist eine Bijektion zwischen
1) Hüllenoperator, die beliebige Vereingiungen bewahren, und Hüllenbereichen,
die gegen beliebige Vereinigungen abgeschlossen sind.
2) Hüllenoperator, die endliche Vereingiungen bewahren, und Hüllenbereichen,
die gegen endliche Vereinigungen abgeschlossen sind.
3) Hüllenoperator, die gerichtete Vereingiungen bewahren, und Hüllenbereichen,
die gegen gerichtete Vereinigungen abgeschlossen sind.
Satz 3.5 In einem vollständigen Verband sind die Hüllenbereiche genau die
gegen Durchschnitt abgeschlossenen Teilmengen. Insbesondere sind Hüllensysteme
gegen Durchschnittsbildung abgeschlossene System.
Beweis: ’⇒’
22

Es sei H ⊆ L und H ∨–abgeschlossen. Dann ist für jedes x ∈ L
∨
{y ∈ H|x ≤ y} = γH (x)
das kleinste über x liegende Element von H.
Beweis: ’⇐’
Umgekehrt ist jeder Hüllenverband gegen Suprema ∨ abgeschlossen. Sei
Y ⊆ H, X = ∨ Y . Dann existiert ein kleinstes h ∈ H mit x ≤ h. Da h ≤ y
für alle y ∈ Y ⊆ H ist, ist h ≤ x. Somit ist x = ∨Y = h ∈ H.
Beispiel:
Alle Hüllenbereiche der Verbände
□
bilden ein Hüllensystem, also einen vollständigen Verband, der nicht modular
ist, da ein Pentagon enthalten ist, aber semimodular,
das heißt, es gilt a ≺ a ∨ b ⇒ a ∧ b ≺ b.
3.2 Adjunktionen
Definition:
Eine Adjunktion zwischen geordneten Mengen P und Q ist ein Paar von
Abbildungen
P
ρ
↼ ⇁λ Q
, mit λ(p) ≤ q ⇐⇒ p ≤ ρ(q).
Galois–Verbindungen zwischen P und Q sind Adjunktionen zwischen P d
und Q, das heißt:
(ϕ, ψ) Galois Verbingung ⇐⇒ ( q ≤ ψ(p) ⇔ p ≤ ϕ(q) )
Es sind dann ϕ ◦ ψ, ψ ◦ ϕ Hüllenoperationen.
ρ
↼
Satz 3.6 Es seien P und Q geordnete Mengen. Dann gilt P ⇁λ Q genau dann,
wenn λ, ρ isoton sind, λ◦ρ eine Kernoperation und ρ◦λ eine Hüllenoperation
ist. Eigentlich genügt bereits, dass λ ◦ ρ kontraktiv und ρ ◦ λ extensiv ist. Die
Abbildungen entlang der diagonalen Pfeile sind surjektiv restringiert. Ferner
gilt λ ◦ ρ ◦ λ = λ und ρ ◦ λ ◦ ρ = ρ, die sogenannte Pseudoinversen.
23

Beweis: ’⇒’:
Wegen der Isotonie gilt
Wegen der Isotonie von λ gilt
Weiter gilt:
p ∈ P ⇒ λ(p) ≤ λ(p) ⇐⇒ p ≤ ρ ◦ λ(p)
q ∈ Q ⇒ ρ(q) ≤ ρ(q) ⇐⇒ λ ◦ ρ(q) = q
p ≤ p ′ ⇒ p ≤ ρ ◦ λ(p ′ ) ⇒ λ(p) ≤ λ(p ′ )
q ≤ q ′ ⇒ q ≤ λ ◦ ρ(q ′ ) ⇒ ρ(q) ≤ ρ(q ′ )
id ≤ ρ ◦ λ ⇒ λ ≤ λρλ
⇒
ρ ≤ ρλρ.
λ ◦ ρ ≤ ⇒ λ ◦ ρ ◦ λ
⇒
ρ ◦ λ ◦ ρ ≤ ρ
Somit ist λ ◦ ρ ◦ λ = λ, ρ ◦ λ ◦ ρ = ρ und λ ◦ ρ ◦ λ ◦ ρ = λ ◦ ρ, ρ ◦ λ ◦ ρ ◦ λ = ρλ.
Also ist λ ◦ ρ kontraktiv, isoton und idempotent und ρ ◦ λ extensiv, isoton
un idempotent.
Beweis: ’⇐’:
Sei λ , ρ isoton, λ ◦ ρ kontraktiv und ρ ◦ λ extensiv. Dann ist
λ(p) ≤ q
ρ anwenden
=⇒ ρ ◦ λ(p) ≤ ρ(q) ext. =⇒ p ≤ ρ(q)
λ anwenden
=⇒ λ(p) ≤ λ ◦ ρ(q) kontr. =⇒ λ(p) ≤ q.
□
Korollar 3.7
(ϕ, ψ) ist Galoisverbingung ⇐⇒ ϕ, ψ antiton
&
ϕ ◦ ψ, ψ ◦ ϕ Hüllenoperationen
Satz 3.8 Für eine Abbildung λ : P → Q zwischen geordneten Mengen sind
äquivalent:
1) λ ist residuiert, das heißt, Urbilder von Hauptidealen ( ↓ q = {x|x ≤
q}) sind Hauptideale.
24

ρ
↼
2) Es gibt (genau) eine Abbildung ρ : Q → P mit P ⇁λ Q. Diese ist gegeben
durch
{ Q → P
ρ :
q ↦→ ∨ {p ∈ P |λ(p) ≤ q}
Diese Bedingungen implizieren:
3) λ bewahrt Suprema.
Wenn P vollständig ist, so gelten auch die umgekehrten Implikationen ( von
(c) nach (a), (b) ).
Beweis:
a ⇒ b: Die Menge {p ∈ P |λ(p) ≤ q} = λ ← (↓ q) ist ein Hauptideal ↓ ρ(q)
und dann gilt:
λ(p) ≤ q ⇐⇒ p ≤ ρ(q).
Eindeutigkeit (notwendigerweise): ρ(q) = max λ ← (↓ q).
b ⇒ a: Wegen ( ↼ ⇁ ) ist λ← (↓ q) =↓ ρ(q) ein Hauptideal.
a ⇒ c: p = ∨ Y in P. Dann ist
λ(p) ≤ q ⇔ p ≤ ρ(q)
⇔ ∀y ∈ Y ( y ≤ ρ(q) )
⇒ λ(p) = ∨ λ to (Y )
↔ ∀y ∈ Y ( λ(p) ≤ q )
Also ist λ(p) = ∨ λ → (Y ).
c ⇒ a: Es ist P vollständig und λ bewahrt Suprema. Es ist zu ueigen,
∀p q
(
λ ← (q) =↓ p q
)
.
Setze:
p q = ∨ {p ∈ P |λ(p) ≤ q}
Dann folgt
λ(p q ) = ∨ {p ∈ P |λ(p) ≤ q} ≤ q
Das heißt p q = max{p ∈ P |λ(p) ≤ q}, also ↓ p q = λ ← (↓ q).
□
25

Korollar 3.9 Für ρ : Q → P sind äquivalent:
1) ρ ist residual, das heißt Urbilder Huaptideale (↑ p) sind duale Hauptideale.
2) Es gibt genau ein λ mit P
Dies impliziert:
3) ρ bewahrt Infima.
ρ
↼ ⇁λ Q.
Die Umkehrung gilt, falls Q vollständig ist.
Korollar 3.10 Für ϕ : P → Q sind äquivalent:
1) Urbilder von Hauptidealen sind duale Hauptideale.
2) Es gibt genau ein ψ, so dass (ϕ, ψ) eine Galoisverbindung ist.
Dies impliziert:
3) ϕ( ∨ Y ) = ∧ ϕ → (Y ).
Die Umkehrung gilt, falls P vollständig ist.
Satz 3.11 Jürgen Schmitt (1950)
ρ
↼
Ist P ⇁λ Q eine Adjunktion, so ist ˜P
˜ρ
↼
Q. mit ⇁˜λ ˜P = ρ → (Q) und ˜Q = λ → (P )
ein Paar zueinander inversen Isomorphismen, wobei ˜λ(p) = λ(p) und ˜ρ(q) =
ρ(q) ist.
Sind umgekehrt ˜λ : ˜P → ˜Q und ˜ρ : ˜Q → ˜P zueinander inverse Isomorphismen
zwischen einem Hüllenbereich ˜P ⊆ P und einem Kernbereich ˜Q ⊆ Q,
ρ
↼
so gibt es ganeu eine Adjunktion P ⇁λ Q, so dass das Diagramm ?? kommutiert.
26

Kapitel 4
Boolsche Algebren,
Heyting-Algebren und Lokale
Definition:
Ein komplementierter, distributiver Verband heißt Boolscher Verband.
Man nennt ihn weiterhin Boolsche Algebra (BA), falls die nullstelliigen Operationen
0 = ⊥ und 1 = ⊤, sowie die einstellige Komplementoperation ′
hinzugenommen werden.
Die Theorie der BA geht eigentlich auf Ernst Schröder und nicht auf
George Boole zurück. Boole betrachtete nur Summen disjunktiver Klassen
(vgl. Grassmann; bei Boole fehlt die Idempotenz der Summation x+x = x).
Literatur: Der Operationskreis des Logik Kalkuls - 1877; E. Schröder
Schröders Axiome, die auch wir im folgenden voraussetzen werden, sind
die Kommutations- und Assoziationsgesetze, sowie die Idempotenzgesetze.
Dies ergibt eine Struktur, die (mit zwei Halbverbandsoperationen) später
bisemilattice genannt wurde.
Hinzu kommt ein Distributionsgesetz x(y+z) = xy+xz, woraus das duale
Gesetz folgen sollte; hierzu ist aber ein weiteres Axiom notwendig (s.u.).
Beispiel:
Sei (S, +) = (S, ·) ein Halbverband, dann erfüllt (S, +, ·) alle bisherigen
Gesetze, inklusive des dualen Distributionsgesetz x + yz = (x + y)(x + z).
Weiterhin haben wir aus der Komplementiertheit die Komplementgesetze
∀ x∃ x ′ : xx ′ = 0, x + x ′ = 1.
27

Hieraus folgen sofort x · 0 = 0,
x + 1 = 1, da
x · 0 kompl
= xxx ′ idem = xx
′ kompl
= 0,
(entsprechend dual, im weiteren 0’- und 1’-Gesetze genannt) und x+0 = x·1,
da
x + 0 idem = xx + 0 kompl
= xx + xx ′ distr
= x(x + x ′ ) kompl
= x · 1.
Wie das obige Beispiel zeigt folgt daraus nicht, daß x + 0 = x · 1 = x,
daher setzen wir auch dies als Axiom voraus (0-Gesetz oder 1-Gesetz).
Korollar 4.1 Es gilt die Absorbtion.
Beweis:
a(a + b) distr = aa + ab idem = a + ab distr = a(1 + b) 1′
= a1 1 = a
und
a + ab 1 = a1 + ab distr = a(1 + b) 1′ ,1
= a.
Nun folgt auch das duale Distributionsgesetz:
□
(a+b)(a+c) distr = aa+ac+ba+bc idem = a+ac+ab+bc abs = a+ab+bc abs = a+bc.
Lemma 4.2 In einem boolschen Verband L gibt es zu je zwei Elementen x
und z genau ein Element z\x, so daß für alle y ∈ L gilt
z ≤ x ∨ y ⇔ z\x ≤ y.
Das Element z\x ist die mengentheoretische Differenz; wir setzen z\x =
z ∧ x ′ .
Beweis: ’⇒’
Beweis: ’⇐’
z\x = z ∧ x ′ vorr
≤ (x ∨ y) ∧ x ′
distr
= (x ∧ x ′ ) ∨ (y ∧ x ′ ) kompl
= 0 ∨ (y ∧ x ′ ) 0 = y ∧ x ′ abs
≤ y
z 1 = z ∧ 1 kompl
= z ∧ (x ∨ x ′ ) distr = (z ∧ x) ∨ (z ∧ x ′ ) vorr
≤ x ∨ y.
Die Eindeutigkeit liegt in der Definition begründet.
28

□
Dual gilt: In einem Boolschen Verband gibt es zu je zwei Elementen x, z
genau ein Element x → z, so daß für alle y ∈ L gilt
x ∧ y ≤ z ⇔ y ≤ x → z.
Definition:
In einem ∧-Halbverband S mit ⊥ heißt ein Element x ⊥ Pseudokomplement
oder ∧-Komplement von x, falls
x ∧ y = ⊥ ⇔ y ≤ x → z.
Für das duale Pseudokomplement oder ∨-Komplement x ⊤ in ∨-Halbverbändern
gilt entsprechend
x ∨ y = ⊤ ⇔ y ≥ x ⊤ .
Beispiele:
1) In einem Boolschen Verband ist das eindeutige Komplement sowohl
∧- als auch ∨-Kopmlement, und wie wir später sehen werden ist ein
Verband, bei dem das ∧- gleich dem ∨-Komplement ist, boolsch.
2) Das Pentagon ist ∧- und ∨-komplementiert, aber nicht boolsch, da die
Komplemente nicht gleich sind (y ⊥ = x ≠ z = y ⊤ ).
3) Der Diamant ist weder ∧- noch ∨-komplementiert an den drei mittleren
Atomen.
4) Jeder endliche distributive Verband ist ∧- und ∨-komplementiert, aber
nicht unbedingt boolsch (Beweis später).
5) Der Teilerverband T 0 ist distributiv und ∨−, aber nicht ∧-komplementiert.
Desgleichen (N 0 × N 0 ) ∪ ∞.
6) Jede Topologie ist ∧-komplementiert aber selten ∨-komplementiert.
Für offenes U ⊆ X ist (X\U) ◦ das ∧-Komplement.
Definition:
Gilt für je drei Elemente x, z und x → z aus einem ∧-Halbverband S
x ∧ y ≤ z ⇔ y ≤ x → z
für alle y ∈ S, so heißt x → z relatives Pseudokomplement oder relatives
∧-Komplement von x bezüglich z.
29

Schreibweisen: x z (Spezialfall: x ⊥ ), z x (Ähnlichkeit zur Menge der Funktionen
von x nach z), z : x (als komplementierte Funktion zu ∧ = ·) oder x ⋆ z
(weil dies keine weitere Bedeutung impliziert).
Dual definiert sich das relative ∨−Komplement z\x.
Lemma 4.3 Jeder relativ ∧-komplementierte ∧-Halbverband mit ⊥ ist ∧-
komplementiert. Es ist x z das größte Element von I z x := {y ∈ S : x ∧ y ≤ z}
Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht (Pentagon).
Lemma 4.4 Folgende Aussagen sind für einen Verband L äauivalent:
a) Jedes I z x ist ein Ideal in L.
b) y 1 , y 2 ∈ I z x ⇒ y 1 ∨ y 2 ∈ I z x
c) X ∧ y 1 ≤ z und x ∧ y 2 ≤ z ⇒ x ∧ (y 1 ∨ y 2 ) ≤ z, und insbesondere
z = (x ∧ y 1 ) ∨ (x ∧ y 2 )
d) L ist distributiv.
Also folgt aus der Existenz aller z − ∧-Komplemente die Distributivität.
Im folgenden betrachten wir allgemeiner eine Halbgruppe S anstelle eines
Halbverbands. Definition:
Eine (links) residuierte Halbgruppe ist eine Halbgruppe S mit einer Irdnung
≤, so daß zu x, z ∈ S ein eindeutiges z : x existiert mit
xy ≤ z ⇔ y ≤ z : x.
D.h. die (links-)Translationen λ x : y ↦→ xy haben obere Adjungierte ρ x :
z ↦→ z : x.
Beispiele:
1 z − ∧-komplementierte Halbverbände
2 Geordnete Gruppen mit isotonen Translationen, z.B. (Z, +, ≤) oder
(R, ·, ≤)
Korollar 4.5 In einer residuierten Halbgruppe S gilt:
1) Die Links-Translationen bewahlren beliebige Suprema. Ist S ein vollständiger
Verband, so gilt auch die Umkehrung.
30

2) Falls die Multiplikation kommutativ ist, hat man für jede Abbildung
Ψ z : x ↦→ x : z eine Galois-Verbindung (Ψ z , Ψ z ). Insbesondere gilt
dann z : ∨ W = ∧ {z : x| x ∈ W }.
Beweis:
1) klar, da untere Adjungtionen Suprema bewahren.
2) x ≤ Ψ z (y) = z : y ⇔ yx ≤ z ⇔ xy ≤ z ⇔ y ≤ z : y = Ψ z (x)
Umkehrung: Falls λ x beliebige Suprema bewahrt, so hat es im vollständigen
Fall eine obere Adjungierte.
□
Motivation:
Die Intuitionisten lehnen die Äquivalenz (p → q) ⇔ (¬p ∨ q) ab. Etwas,
daß nicht wahr ist, muß also nicht unbedingt falsch sein. Mit der Folgerung
→ als neues Operatorsymbol, kann man die Negation weglassen, da es nun
anstelle von falsch“ (≠ p) den Begriff widerlegbar“ (p → ⊥) gibt.
” ”
Im folgenden betrachten wir das verbandstheoretische Modell der intuitionstischen
Logik:
Definition:
Ein realtiv pseudokomplementierter Halbverband heißt Brouwerscher
Verband.
Wir betrachten schwächer einen pseudokomplementierten Halbverband
S.
Korollar 4.6 Die Funktion Ψ : S → S, x ↦→ x ⊥ liefert eine Galoisverbindung
(Ψ, Ψ).
Insbesondere ist Ψ 2 : S → S, x ↦→ x ⊥⊥ eine Hüllenoperation.
Satz 4.7 (Rechenregeln für Pseudokomplemente)
a) x ≤ y ⇒ y ⊥ ≤ x ⊥ ⇒ x ⊥⊥ ≤ y ⊥⊥
b) x ≤ x ⊥⊥
c) x ⊥ = x ⊥⊥⊥
d) x ⊥ ∧ x = ⊥ = x ⊥ ∧ x ⊥⊥
e) x ∧ (x ∧ y) ⊥ = x ∧ y ⊥
f) (x ∧ y) ⊥ = (x ∧ y ⊥⊥ ) = (x ⊥⊥ ∧ y ⊥⊥ )
g) (x ∧ y) ⊥⊥ = x ⊥⊥ ∧ y ⊥⊥ 31

Beweis:
a) aus Galouisverbindung
b) aus Hüllenoperator
c) folgt aus a und b
d)
e) Es gilt x ∧ y ≤ y a ⇒ y ⊥ ≤ (x ∧ y) ⊥ ⇒ x ∧ y ⊥ ≤ x ∧ (x ∧ y) ⊥ . Nach d
gilt (x ∧ y) ∧ (x ∧ y) ⊥ = ⊥ also folgt x ∧ (x ∧ y) ⊥ ≤ y ⊥ , ≤ x, x ∧ y ⊥ .
f) Nach b ist x ∧ y ≤ x ∧ y ⊥⊥ also ist nach a (x ∧ y ⊥⊥ )y ⊥ ≤ (x ∧ y) ⊥ .
Aus d und e folgt nun x∧(x∧y) ⊥ ∧y ⊥⊥ e = x∧y ⊥ ∧y ⊥⊥ d = x∧⊥ = ⊥
und daraus (x ∧ y) ⊥ ≤ (x ∧ y ⊥⊥ ) ⊥ .
Wiederholt für x ⊥⊥ .
g) Aus f ergibt sich (x ∧ y) ⊥⊥ = (x ⊥⊥ ∧ y ⊥⊥ ) ⊥⊥ = x ⊥⊥ ∧ y ⊥⊥ , da x ⊥⊥
und y ⊥⊥ Hüllenelemente sind und Hüllenoperationen gegen Infima
abgeschlossen sind.
□
Beispiel:
Der gezeigte Halbverband ist distributiv und endlich, also brouwersch
und insbesondere pseudokomplementiert. Wird dieser auf die Menge der
Pseudokomplemente eingeschränkt, so ergibt sich ein Boolscher Verband.
Dies ist zum einen erstaunlich, da die Distributivität erhalten bleibt, während
Eigenschaften wie Komplementiertheit und Supremum kostenlos dazukommen,
und zum zweiten, da dies auf jede Einschränkung auf Pseudokomplemente
(Skelett) zutrifft, wie der folgende Satz beweist.
Satz 4.8 (Glivenko 1928; Frink 1963)
Für jeden (∧-)pseudokomplementierten Halbverband ist die Abbildung
Ψ 2 : S → S; x ↦→ x ⊥⊥ eine ∧-bewahrende Hüllenoperation. Der zugehörige
Hüllenbereich (Skelett)
S ⊥⊥ = S ⊥ = {x ⊥ : x ∈ S} = {y ∈ S : y = y ⊥⊥ }
ist ein Boolscher Verband mit Komplement x ⊥ und Supremum
s := x ⊥ ∨ y = (x ⊥ ∧ y ⊥ ) ⊥ .
Beweis:
Es sind ⊥ und ⊤ zueinander komplementär, daher sind beide in jedem
Falle in S ⊥ enthalten.
Zunächst: x ⊥ ∧ y ⊥ ≤ x ⊥ , y ⊥ 4.7a ⇒ x ⊥⊥ , y ⊥⊥ ≤ (x ⊥ ∧ y ⊥ ) ⊥ = s. Da
x = x ⊥⊥ in S ⊥ ist also s obere Schranke von x und y.
32

Weiterhin: Ist x, y ≤ z = z ⊥⊥ , so folgt z ⊥ ≤ x ⊥ , y ⊥ , also z ⊥ ≤ x ⊥ ∧ y ⊥ .
Mit (4.7) a ist s also die kleinste obere Schranke und damit das Supremum.
Nach (4.7) d ist x ⊥ ∧ x ⊥⊥ = ⊥ also ist x ⊥ ⊥ ∨ x ⊥⊥ = (x ⊥⊥ ∧ x ⊥⊥⊥ ) ⊥ =
⊥ ⊥ = ⊤, also ist x ⊥ das Komplement von x.
Schließlich ist ist das Skelett brouwersch, denn es gibt ein relatives Pseudokomplement
y z := (y ∧ z ⊥ ) ⊥ .
x ∧ y ≤ z
in S ⊥
⇔ x ∧ y ≤ z ⊥⊥ ⇔ x ∧ (y ∧ z ⊥ ) = ⊥ ⇔ x ≤ y z .
Brouwersch ist insbesondere distributiv, damit schließlich ist das Skelett S ⊥
ein Boolscher Verband.
Korollar 4.9 Falls S ein Verband ist, ist die Abbildung x ↦→ x ⊥⊥ ein Verbandshomomorphismus
von S auf S ⊥ .
Beweis: Wegen (4.7) f bewahrt die Abbildung Infima, wegen der Definition
von ⊥ ∨ Suprema und als untere Adjungierte sogar beliebige Suprema.
Korollar 4.10 Ist L ein Lokal (insbesondere pseudokomplementiert), so ist
Ψ 2 : L → L ⊥ ein Lokal-Homomorphismus auf einem vollständigen Boolschen
Verband.
Exkurs: Regulär offene Mengen
Regulär offene Mengen sind diejenigen offenen Mengen, die gleich dem
offenen Kern ihren Abschlusses sind. Die Menge ist nicht gegen Vereinigungen
abgeschlossen; so sind in R die Intervalle (a, b) und (b, c) zwar jeweils
offen, aber der Kern des abschlusses beiden Mengen enthält zusätzlich den
Punkt b, somit ist die Vereinigung der beiden offenen Intervalle keine regulär
offene Menge.
Verbandstheoretisch aber ist die Vereinigung das Supremum, welches
seinerseits als Kern des Abschlusses definiert ist; damit ist der Verband der
regulär offenen Mengen gegen Vereinigung abgeschlossen.
Beliebige Durchschnitte offener Mengen müssen nicht einmal offen sein.
Verbandstheoretisch aber ist das Infimum der Kern des Durchschnitts, und
□
□
33

dieser ist offen.
Das Komplement ist U ⊥ = (X\U) ◦ und
U ⊥⊥ =
(X\(X\U) ◦) ◦ ( ) ◦ ◦
= X\(X\U) = U .
Korollar 4.11 Für jede Topologie T auf X ist das System T ⊥⊥ = {U ∈
◦
X : U = U ⊥⊥ = U} der regulär offenen Mengen ein vollständiger Boolscher
Verband.
Satz 4.12 Sei φ : S → S ein idempotenter ∧-Homomorphismus eines ∧-
Halbverbands S und
F φ = {x ∈ S : x = φ(x)} = φ → S
seine Fixpunktmenge. Dann ist F φ wieder ein ∧-Halbverband. Falls S vollständig
ist, au ist es auch F φ . Ist x z ein Pseudokomplement von x bezüglich z in S,
so ist φ(x z ) ein Pseudokomplement von x bezüglich z in F φ .
Beweis:
Abgeschlossenheit gegen Infima: φ(x) ∧ φ(y) = φ(x ∧ y) ∈ F φ .
Pseudokomplement: Ist x das Supremum von Y ⊆ F φ in S, so ist φ(x)
das Supremum von φ → Y = Y in F φ : Für y ∈ Y ist φ(y) ≤ φ(x), da φ isoton
ist. Also ist φ(x) obere Schranke, z.Z. kleinste! Ist z eine obere Schranke von
Y in F φ , so folgt x ≤ z, also auch φ(x) ≤ φ(z) = z. x ∧ y ≤ z ⇔ y ≤ x z .
Für x, y, z ∈ F φ folgt x ∧ y ≤ z ⇒ y = φ(y) ≤ φ(x z ). Also
x ∧ y ≤ x ∧ φ(x z ) = φ(x) ∧ φ(x z ) = φ(x ∧ y z ) ≤ φ(z) = z.
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