Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Diskrete Strukturen
Marcel Erné
Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Vorlesung
für
Studierende der Bachelor-Studiengänge
Mathematik und Angewandte Informatik
Sommersemester 2006
1. Relationen und Digraphen
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Inhaltsverzeichnis
1 Relationen und Digraphen 3
1.1 Mengen und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Das Relationenprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Diagramme und Inzidenzmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Ordnungsrelationen und Digraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Transitive Hülle und Nachbarschaftsrelation . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Wege und Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Anhang: Operationen auf Relationen und Matrizen . . . . . . . . 22
2

1 Relationen und Digraphen
Bevor wir uns diesem wichtigsten Grundkonzept der diskreten Mathematik zuwenden,
wollen wir ein paar Definitionen und Notationen rekapitulieren, die
immer wieder gebraucht werden.
1.1 Mengen und Mengenoperationen
Was eine Menge ist, sagen wir nicht – diese Fragestellung gehört in den Bereich
der Logik und axiomatischen Mengenlehre. Wir interpretieren Mengen als Gesamtheit
gewisser Objekte, ihrer Elemente, und schreiben x ∈ X, falls x zu der
Menge X gehört; anderenfalls schreiben wir x ∉ X. Die Menge, die genau aus
den Elementen x 1 , ..., x n besteht, bezeichnen wir mit {x 1 , ..., x n }. Allgemeiner
bedeutet {x | E(x)} die Menge aller Elemente x mit einer Eigenschaft E(x).
Somit ist {x 1 , ..., x n } dasselbe wie die Menge {x | ∃ i ≤ n (x = x i )}. ∃ steht für
den Existenzquantor (“es gibt ...”) und ∀ für den Allquantor (“für alle ...”).
Einige Mengen erhalten festgewählte Symbole. So meinen wir mit
N die Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... ausschließlich 0
N 0 die Menge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, ... einschließlich 0
Z die Menge der ganzen Zahlen 0, ±1, ±2, ±3, ...
P die Menge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, ...
Q die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) z n
(z ∈ Z, n ∈ N)
R die Menge der reellen Zahlen.
Mit n bezeichnen wir die Menge {1, 2, ..., n} der ersten n natürlichen Zahlen.
Speziell ist 0 = ∅ die leere Menge, die kein Element enthält.
Aus gegebenen Mengen kann man mit einigen wohlbekannten Konstruktionen
neue bauen. So ist für zwei Mengen X und Y
X ∪ Y = {x | x ∈ X oder x ∈ Y } ihre Vereinigung,
X ∩ Y = {x | x ∈ X und x ∈ Y } ihr Durchschnitt,
X \ Y = {x | x ∈ X und x ∉ Y } ihre Differenz,
X △ Y = (X \ Y ) ∪ (Y \ X) ihre symmetrische Differenz.
Wir schreiben Y ⊆ X, falls Y eine Teilmenge von X ist (also jedes Element von
Y auch zu X gehört). Hingegen bedeutet Y ⊂ X, daß Y eine echte Teilmenge
von X ist, also Y ⊆ X und X ≠ Y gilt. Die Potenzmenge besteht aus allen
Teilmengen von X:
PX = {Y | Y ⊆ X}.
Eine Teilmenge M von PX wird Mengensystem auf X genannt. Man setzt in
Verallgemeinerung der obigen Definitionen
⋃ M = {x | ∃ Y ∈ M (x ∈ Y )} (Vereinigung von M)
⋂ M = {x | ∀ Y ∈ M (x ∈ Y )} (Durchschnitt von M)
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1.2 Relationen
Das kartesische Produkt zweier Mengen X und Y ist die Menge
X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }
aller geordneten Paare (x, y), deren erste Komponente zu X und deren zweite
zu Y gehört. Dabei muß man (x, y) sorgfältig von der Paarmenge {x, y} unterscheiden:
es ist
{x, y} = {y, x}, aber
(x, y) ≠ (y, x), falls x ≠ y.
Zwei geordnete Paare (x, y) und (x ′ , y ′ ) sind genau dann gleich, wenn x = x ′
und y = y ′ gilt.
(Um eine hieb- und stichfeste Definition geordneter Paare zu haben, kann man (x, y) :=
{{x}, {x, y}} setzen; aber diese etwas bizarre Festlegung werden wir nie brauchen.)
Allgemeiner hat man n-fache kartesische Produkte
X 1 × ... × X n = {(x 1 , ..., x n ) | x i ∈ X i (i ≤ n)}
und benutzt im Falle lauter gleicher “Faktoren” X = X 1 = ... = X n die Potenzschreibweise
X n = {(x 1 , ..., x n ) | x i ∈ X (i ≤ n)}.
Im Falle X = R ergibt sich so die Darstellung der Punkte des n-dimensionalen
Raumes R n mit Hilfe kartesischer Koordinaten (nach Descartes) – daher der
Name “kartesisches Produkt”.
Anschaulich ist eine Relation ein Beziehung zwischen gewissen Objekten. Da
der Begriff “Beziehung” aber mengentheoretisch nicht faßbar ist, reduziert der
Mathematiker diesen Begriff auf die Gesamtheit aller Paare, die in der jeweiligen
Relation stehen, und versteht deshalb unter einer (binären) Relation einfach eine
Menge R von geordneten Paaren. Im Falle R ⊆ X × Y spricht man von einer
Relation zwischen X und Y , und im Spezialfall R ⊆ X ×X von einer Relation
auf X. Jede Relation R kann als Relation auf einer (nicht eindeutigen) Menge
aufgefaßt werden. Die kleinste solche Menge ist
X = {x | ∃ y ((x, y) ∈ R oder (y, x) ∈ R)}.
Statt (x, y) ∈ R schreibt man einfacher und suggestiver xR y und meint damit
“x steht in Relation zu y”; entsprechend bedeutet x |R y das Gegenteil (x, y) ∉ R.
Zu jeder Relation R auf X haben wir somit die komplementäre Relation
R c = {(x, y) ∈ X × X | x |R y},
nicht zu verwechseln mit der dualen oder konversen Relation
R d = {(x, y) ∈ X × X | yR x}.
Wegen der Gleichungen R cc = R, R dd = R und R cd = R dc gilt
Satz 1.1 Die Operationen c , d und cd bilden zusammen mit der Identität (die
nichts verändert) eine vierelementige Gruppe von selbstinversen Abbildungen
auf der Menge RX = P(X ×X) aller Relationen auf X.
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1.3 Das Relationenprodukt
Sind mehrere Relationen R 1 , ..., R n gegeben (die auch übereinstimmen dürfen),
so schreibt man vereinfachend
x 0 R 1 x 1 R 2 ... x n−1 R n x n statt x 0 R 1 x 1 und x 1 R 2 x 2 und ... x n−1 R n x n .
Diese Konvention ist uns durchaus geläufig, wenn es sich z.B. um die Relation ≤
(kleiner oder gleich) auf reellen Zahlen handelt, wo häufig Ungleichungsketten
der folgenden Form vorkommen:
x 0 ≤ x 1 ≤ ... ≤ x n .
Für je zwei Relationen R und S ist deren Produkt definiert durch
RS = {(x, z) | ∃ y (xR y und yS z)}.
Statt RS schreiben wir auch S ◦ R, wobei man die Reihenfolge zu beachten
hat, denn im allgemeinen ist RS von SR verschieden! Dies verallgemeinert die
Verknüpfung G ◦ F zweier Funktionen
F : X −→ Y und G : Y −→ Z ,
bei denen es sich ja um spezielle Relationen handelt: Eine Abbildung oder Funktion
zwischen X und Y ist eine Relation F ⊆ X × Y , so daß es zu jedem
x ∈ X genau ein y ∈ Y mit xF y gibt; dieses y wird dann landläufig mit F (x)
bezeichnet. Definitionsgemäß gilt demnach
(G ◦ F )(x) = G(F (x)) (erst F , dann G anwenden).
Eine Abbildung F : X −→ Y heißt bekanntlich
injektiv, falls zu jedem y ∈ Y höchstens ein x ∈ X mit y = F (x) existiert,
surjektiv, falls zu jedem y ∈ Y mindestens ein x ∈ X mit y = F (x) existiert,
bijektiv, falls zu jedem y ∈ Y genau ein x ∈ X mit y = F (x) existiert.
(Anmerkung. Der Konvention mancher Autoren, R ◦ S statt RS zu schreiben, wollen
wir nicht folgen, da dies zu heillosem Durcheinander führt, sobald man mit Funktionen
arbeitet. Auch die in manchen Büchern auftauchende Behauptung, das Relationenprodukt
sei nicht immer definiert, ist falsch und stiftet unnötige Verwirrung.)
Das Relationenprodukt ist zwar nicht kommutativ, aber stets assoziativ:
R(ST ) = (RS)T .
Denn es gilt
x R(ST ) w ⇔ ∃ y (xR y ST w) ⇔ ∃ y∃ z (xR y S z T w) ⇔ ... x (RS)T w.
Die Diagonale, Identität oder Gleichheitsrelation
∆ X = id X = 1 X = {(x, x) | x ∈ X} = {(x, y) ∈ X ×X |x = y}
agiert als neutrales Element: Für jede Relation R auf X gilt
1 X R = R 1 X = R.
Zusammenfassend haben wir damit:
5

Satz 1.2 Die Relationen auf einer Menge X bilden zusammen mit dem Relationenprodukt
ein Monoid RX, d.h. eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung
und einem neutralen Element 1 X .
Außerdem können wir natürlich Vereinigung und Durchschnitt von Relationen
bilden. Wir stellen eine Liste von nützlichen Rechenregeln zusammen.
Satz 1.3 Für beliebige Relationen R, S, T gelten die Distributivgesetze:
(R ∪ S)T = RT ∪ ST, T (R ∪ S) = T R ∪ T S ,
(R ∩ S)T ⊆ RT ∩ ST, T (R ∩ S) ⊆ T R ∩ T S ,
aber in den letzten beiden Fällen kann die Inklusion echt sein!
Die Operatoren c und d erfüllen folgende Gleichungen:
(R ∪ S) c = R c ∩ S c , (R ∩ S) c = R c ∪ S c ,
(R ∪ S) d = R d ∪ S d , (R ∩ S) d = R d ∩ S d ,
(RS) d = S d R d .
Entsprechendes gilt für unendliche Vereinigungen und Durchschnitte.
Beweis als Übung!
Wie in jeder Halbgruppe definiert man induktiv Potenzen von Relationen auf
einer Menge X:
R 0 := 1 X , R n+1 := R n R.
Vorsicht: Man muß die Potenzen bezüglich des Relationenprodukts sorgfältig von kartesischen
Potenzen unterscheiden; deshalb schreibt man für letztere auch n X statt X n .
Wegen des Assoziativgesetzes darf man bei Relationenprodukten mit mehreren
Faktoren Klammern weglassen. Die Relation R 1 R 2 ...R n besteht anschaulich
aus allen Paaren (x, y), für die ein “Weg” (x 0 , x 1 , ..., x n ) existiert mit
x = x 0 R 1 x 1 R 2 ... x n−1 R n x n = y.
Im Spezialfall einer einzigen Relation R = R 1 ... = R n spricht man von R-Wegen.
Der Ausdruck xR n y bedeutet also, daß es einen R-Weg von x nach y gibt.
Die diskrete Mathematik befaßt sich vorrangig mit endlichen Strukturen. Gibt
es zu einer Menge X eine natürliche Zahl m und eine bijektive Abbildung
f : m −→ X,
so ist X eine endliche Menge und m ihre Mächtigkeit oder Kardinalität, bezeichnet
mit |X|; anschaulich ist das die Anzahl der Elemente von X. Man schreibt
dann f i oder x i statt f(i) und bekommt damit die Darstellung X = {x 1 , ..., x m }.
Ein n-Tupel x = (x 1 , ..., x n ) ist übrigens nichts anderes als eine Abbildung x von
n in eine Menge, wobei x i = x(i) gesetzt wird. Diese Sichtweise ist sowohl für
strukturelle Untersuchungen als auch für kombinatorische Überlegungen (insbesondere
Abzählungen) häufig von Nutzen. Zum Beispiel gilt
|X n | = |X| n und |PX| = 2 |X| .
Beides beweist man durch Induktion nach n.
6

1.4 Diagramme und Inzidenzmatrizen
Für Relationen auf einer endlichen Menge X = {x 1 , ..., x m } hat man zwei wichtige
Darstellungsmöglichkeiten: Die eine, mittels Diagrammen, dient der Veranschaulichung
und Intuition. Die andere, mittels Inzidenzmatrizen, ist von grundlegender
Bedeutung bei der Implementierung im Computer.
In einem (Pfeil-)Diagramm einer Relation R auf X = {x 1 , ..., x m } wählt man
für die m Elemente x 1 , ..., x m ebensoviele Punkte der Ebene und zeichnet einen
Pfeil von dem Punkt, der x i entspricht, zu dem Punkt, der x j entspricht, falls
x i R x j gilt. Die Inzidenzmatrix D R der Relation R (auch Darstellungsmatrix
oder Adjazenzmatrix genannt) ist diejenige quadratische m×m-Matrix, bei der
in der i-ten Zeile und j-ten Spalte eine 1 steht, falls x i R x j gilt, und sonst
eine 0. Entsprechend kann man auch nichtquadratische Inzidenzmatrizen für
Relationen zwischen zwei verschiedenen endlichen Mengen X und Y definieren.
Die Darstellungsmatrix D R hängt natürlich nicht nur von der Relation R, sondern
auch von der gewählten Bijektion zwischen m und X, d.h. von der Nummerierung der
Elemente, ab. Je zwei Darstellungsmatrizen unterscheiden sich durch eine Transformation
mit einer Permutationsmatrix P , bei der in jeder Zeile und jeder Spalte genau
eine 1 steht (und sonst Nullen). Pfeildiagramme einer Relation sind sogar beliebig
vieldeutig, da ja schon die Wahl der darstellenden Punkte in der Ebene willkürlich ist.
Beispiel 1.4 Die Teilbarkeitsrelation auf der Menge 12 hat dies Pfeildiagramm:
❦✛
12❦
✐
11 ❦1
✧
✘✾ ✘✘✘ ❍❨ ✘
✻❅■
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❆❆❑ ❍
✛ ✔
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10❦
❈❅❘❆
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2 ❈ ❆
❦
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✧✙ ✔
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❅■ ❆
✄ ❈
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❆❯
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❅ ✑
✑✔
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❆
❅ ❈ 3 ❦
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✑✰ ✔ ✄
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8 ❦ ❅
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4
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7 ❦ ✄✎ ✁☛ ✠ ❦5
6 ❦
Die Inzidenzmatrix zur natürlichen Nummerierung sieht so aus:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
7

Darstellungsmatrizen sind sehr gut geeignet, um verschiedene Operationen
auf Relationen auszuführen (auch mit dem Computer). Offensichtlich gilt für
jede Relation R ⊆ X × Y = {x 1 , ..., x m } × {y 1 , ..., y n }:
D R c
D R d
= 1 mn − D R , wobei alle Koeffizienten der Matrix 1 mn gleich 1 sind,
= (D R ) t , wobei generell A t die Transponierte der Matrix A bedeutet.
Besonders hilfreich sind Darstellungsmatrizen bei der Berechnung von Produkten
und Potenzen. Wir setzen für beliebige Zahlen a und Matrizen A = (a ij ):
s(a) = 0, falls a ≤ 0, und s(a) = 1, falls a > 0, sowie
s(A) = (s(a ij )).
Nun definieren wir ein “reduziertes Matrizenprodukt” durch
A ⊙ B = s(AB), wobei AB das gewöhnliche Matrizenprodukt ist.
Satz 1.5 Für endliche Mengen X, Y, Z sowie beliebige Relationen R ⊆ X ×Y
und S ⊆ Y ×Z ist die Darstellungsmatrix des Relationenprodukts das reduzierte
Produkt der einzelnen Darstellungsmatrizen:
D RS = D R ⊙ D S .
Insbesondere gilt im Falle X = Y für alle natürlichen Zahlen l:
D R l = s(D R l ).
Genauer gibt der Koeffizient d (l)
l
ij in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von D R
die Anzahl der R-Wege der Länge l von x i nach x j an.
Beweis. Es sei X = {x 1 , ..., x m }, Y = {y 1 , ..., y n } und Z = {z 1 , ..., z p }. Dann
gilt für R ⊆ X×Y , S ⊆ Y ×Z und das Produkt RS ⊆ X×Z mit den zugehörigen
Darstellungsmatrizen D R = (d R ij ), D S = (d S jk ) und D RS = (d RS
ik ):
d RS
ik = 1 ⇔ x i RS z k ⇔ ∃ j (x i R y j S z k ) ⇔ ∃ j (dij R = dS jk = 1)
⇔ ∑ n
j=1 dR ij dS jk ≠ 0 ⇔ s(∑ n
j=1 dR ij dS jk ) = 1.
Dies ist aber gerade der entsprechende Koeffizient in der Matrix D R ⊙ D S .
Nehmen wir nun an, wir hätten für alle i und j schon gezeigt, daß d (l)
ij die
Anzahl der R-Wege der Länge l von x i nach x j angibt. Ist x i0 R x i1 R ....R x il
ein beliebiger Weg der Länge l mit Start x i = x i0 und Ziel x il = x j , so kann
dieser genau dann zu einem Weg x i0 R x i1 R ....R x j R x k der Länge l + 1 von x i
nach x k verlängert werden, wenn d jk = 1 gilt. Die Summe
d l+1
ik
= ∑ n
j=1 d (l)
ij d jk
ist also die Anzahl der R-Wege der Länge l + 1 von x i nach x k , und der Induktionschluss
von l auf l + 1 ist vollzogen.
□
In völlig analoger Weise zeigt man, daß die Anzahl der Wege
x i = x i0 R 1 x i1 R 2 ...R l x il = x j
der Länge l von x i nach x j durch den Koeffizienten in der i-ten Zeile und j-ten
Spalte der Produktmatrix D R1 ...D Rl gegeben ist.
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1.5 Ordnungsrelationen und Digraphen
Nicht nur in mathematischen Zusammenhängen, sondern auch in fast allen Bereichen
des täglichen Lebens spielen Ordnungsrelationen eine zentrale Rolle.
Die wichtigste Eigenschaft solcher Relationen ist die Transitivität, die besagt,
daß man “weiterschließen” kann: steht x in Relation zu y und y in Relation
zu z, so steht auch x in Relation zu z. (Nicht alle Relationen haben diese Eigenschaft:
z.B. folgt aus x ≠ y und y ≠ z nicht x ≠ z!) Daneben sind einige
weitere relationentheoretische Eigenschaften von Interesse, die wir im Folgenden
zusammenstellen wollen. Wir sagen, eine Relation R auf X sei
• reflexiv, falls stets xR x gilt,
• irreflexiv, falls nie xR x gilt,
• transitiv, falls aus xR y und yR z stets xR z folgt,
• symmetrisch, falls aus xR y stets yR x folgt,
• antisymmetrisch, falls xR y und yR x nur für x = y möglich ist,
• total, falls xR y oder yR x für beliebige x, y ∈ X gilt.
Alle diese Eigenschaften lassen sich mit Hilfe der Operatoren c und d sowie
des Relationenprodukts sehr einfach “elementfrei” beschreiben:
Satz 1.6 Für eine Relation R auf X und R 0 = id X gilt:
R ist reflexiv ⇔ R 0 ⊆ R
R ist irreflexiv ⇔ R 0 ⊆ R c
R ist transitiv ⇔ R 2 ⊆ R
R ist symmetrisch ⇔ R d ⊆ R
R ist antisymmetrisch ⇔ R d ⊆ R c ∪ R 0
R ist total ⇔ R c ⊆ R d
Man nennt eine Relation R auf X
• Quasiordnung, falls R reflexiv und transitiv ist,
• Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist,
• (Halb-)Ordnung, falls R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist,
• lineare Ordnung, falls R eine totale Ordnung ist.
Ein Digraph ist Paar (X, R), bestehend aus einer Menge X (von Knoten oder
Ecken) und einer beliebigen Relation R auf X (der Inzidenzrelation); die auf
der Diagonale liegenden Paare (x, x)∈R nennen wir Schleifen. Das Paar (X, R)
heißt quasi-, halb- oder linear geordnete Menge, je nachdem, ob R eine Quasi-,
Halb- oder lineare Ordnung ist. Nichtleere linear geordnete Mengen heißen auch
Ketten. Ein (ungerichteter) Graph hat eine symmetrische Inzidenzrelation; die
Paare (x, y) ∈ R, oder vereinfachend die entsprechenden Zweiermengen {x, y},
heißen in diesem Fall Kanten; von einem schlichten oder schleifenlosen Graphen
spricht man, wenn seine Relation irreflexiv und symmetrisch ist.
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Außer der offensichtlichen Tatsache, daß totale Relationen stets reflexiv sind,
bestehen keinerlei Implikationen zwischen den zuvor eingeführten sechs Eigenschaften.
Wir wollen das anhand eines mit Beispielen angereicherten Implikationsdiagramms
belegen. Schleifen deuten wir durch schwarz ausgefüllte Kreise
an.
Beispiele 1.7 Eigenschaften von Relationen
✦
✦
✦✦✦✦ ❅
❛❛ ❛❛❛❛
❅
❞
lineare
Allrelation
✁☛ ✁✕ ✲✛ ❆❑ ❆❯ ❞ ❞ relation
Gleichheits-
Ordnung ✁✕ ✲❆❯
✦ ❛❛ ✦ ✦
❛❛❛❛
❛❛ ✦ ❛❛❛❛ ❛❛
✦
✦✦✦✦ ✦
✦✦✦✦ ✦
❞
✦✦✦✦ ✦
✦✦✦✦ ❛ ❛❛❛
❞
Ordnung
Äquivalenzrelation
❞
✛✁✕ ❆❯
✲✛✁✕ ❆❑ ❞ ✁✕ ✲❆❯
❞ ✁✕ ❆❑
❛❛ ✦ ✦ ◗✦
◗
✦ ◗
✦✦✦✦ ❛ ❛❛❛
✦
❞
✦✦✦✦ ✦
✦✦✦✦
✘ ✘ ✘ ✘✘ ✘ ✘✘ ✘
✲✛
❛❛ ❛❛❛❛
❛❛ ✦ ❛❛❛❛ ❛❛ ✦
◗ ✦
✦✦✦✦ ✦
◗
❞ ❞
✦✦✦✦ ❛ ❛❛❛
❞
✲✛✁✕ ❆❯ ❞ ✁✕ ❆❯ ❞ ✁✕ ❆❯ ✁☛ ✁✕ ❆❑ ❆❯
✲✛✁✕ ❆❑
◗
◗❞ ✲✛ ❞ ✲ ❞
❛❛ ❳ ✦
❛ ❛❛ ❳ ✦
❛❛❛ ❛ ❳ ❛❛❛ ❳❳
❛❛ ✦
✦
✦✦✦✦ ❳ ❛❛❛❛
❳❳
✦❳
❞
✦✦✦✦ ❛
❛❛ ◗
❛❛❛
✦
❞
✦✦✦✦ ✘✘
❞
✘✘ ✘ ✘✘ ✘ ✘
✲✛ ❞
❛❛❛❛ ◗
✦
total
Quasiordnung
◗ ◗ ✦
❞
✦✦✦✦
✲✛✁✕
❞ ✲✛✁✕ ❞ ✁✕ ❆❯ ❞ ✁☛ ✁✕ ❆❑ ❆❯ ❞ ✲✛✁✕ ❆❑ ❞
❛❛
✦
reflexiv irreflexiv ❛ ❛❛❛
❅antisymm.
❅ ✦ ❞
✦✦✦✦ symm. transitiv
✲✛✁✕ ❞
Relation
In jedem Quadrat ist das Pfeildiagramm einer Relation skizziert, die alle auf
absteigenden Linien erreichbaren Eigenschaften inklusive der zum jeweiligen
Quadrat gehörigen besitzt, aber keine der übrigen in dem Gesamtdiagramm
vorkommenden Eigenschaften.
Beispiele 1.8 (1) Auf jedem System von Mengen ist die Teilmengenrelation ⊆
eine Ordnung, aber meist nicht linear (d.h. total). Im Prinzip kann man alle
Ordnungen R mit Hilfe von ⊆ beschreiben: Mit
Ry = {x|xR y}
gilt nämlich:
xR y ⇔ Rx ⊆ Ry.
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(2) Die Relation ≤ auf der Menge R der reellen Zahlen oder einer beliebigen
Teilmenge, z.B. N, Z oder Q ist eine lineare Ordnung. Die Relation < (“echt
kleiner”) ist transitiv und irreflexiv, also keine Ordnung. Solche Relationen nennt
man strikte Ordnungen.
(3) Auf einer endlichen Menge gibt es genauso viele lineare Ordnungen wie
Permutationen: Ist X = {x 1 , ..., x m } und σ eine Permutation von m, so wird
durch
x i ≤ σ x j
⇔ σ(i) ≤ σ(j)
eine lineare Ordnung definiert, und jede lineare Ordnung entsteht auf diese Weise
aus genau einer Permutation (Beweis durch Induktion).
(4) Auf der Menge der ganzen Zahlen ist die Teilbarkeitsrelation | eine Quasiordnung,
aber keine Ordnung: Die Antisymmetrie ist wegen z | −z und −z | z
verletzt. Hingegen ist die Teilbarkeitsrelation auf jeder Menge von natürlichen
Zahlen eine Ordnung.
(5) Für eine beliebige Abbildung f : X −→ Y wird durch
x ∼ f y ⇔ f(x) = f(y)
eine Äquivalenzrelation definiert.
Daß man auf diese Weise alle Äquivalenzrelationen erhält, zeigt der folgende
Satz 1.9 Für jede Äquivalenzrelation S auf X ist die Menge der Äquivalenzklassen
xS = {y|xS y} eine Partition von X (d.h. eine Zerlegung in paarweise
disjunkte nichtleere Teilmengen von X). Umgekehrt entsteht jede Partition Z auf
diese Weise aus genau einer Äquivalenzrelation: Die “kanonische Surjektion”
f : X −→ Z mit f(x) = Z, falls x in Z liegt, induziert eine Äquivalenzrelation
∼ f , deren Klassen genau die ursprüngliche Partition bilden.
Der Beweis dieses und des nächsten Satzes ist eine Übungsaufgabe.
Satz 1.10 Für eine beliebige Quasiordnung Q ist Q ∩ Q d eine Äquivalenzrelation.
Jede Quasiordnung entsteht auf genau eine Weise aus einer Äquivalenzrelation
S und einer Ordnung R auf der zugehörigen Partition, indem man diese
durch Q = {(x, y)|(xS, yS) ∈ R} festlegt. Man kann also jede Quasiordnung auf
eindeutige Weise aus einer Äquivalenzrelation und einer Ordnung zusammensetzen.
Ordnungen bezeichnet man häufig statt mit Buchstaben mit dem suggestiveren
Symbol ≤, darf dies aber natürlich nicht mit der üblichen “kleiner-odergleich”-Relation
auf den reellen Zahlen durcheinander bringen. Um Verwechslungen
auszuschließen, bietet sich das neutrale Symbol ⊑ an. Man schreibt
x < y für x ≤ y ≠ x, x ≥ y für y ≤ x, und x > y für y < x, bzw.
x ⊏ y für x ⊏ y ≠ x, x ⊒ y für y ⊑ x, und x ⊐ y für y ⊏ x.
Betrachtet man auf einer Menge simultan mehrere Ordnungen, so sollte man für
diese tunlichst unterschiedliche Symbole verwenden. Für Äquivalenzrelationen
ist das Symbol ∼ gebräuchlich.
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Statt Ordnungen betrachtet man häufig auch sogenannte strikte Ordnungen;
das sind irreflexive und transitive (und folglich auch antisymmetrische) Relationen.
Der Übergang von Ordnungen zu strikten Ordnungen und umgekehrt
geschieht einfach durch den Wechsel zwischen ≤ und

1.6 Transitive Hülle und Nachbarschaftsrelation
Aus einer gegebenen Relation R kann man durch einfache Konstruktionen neue
Relationen mit erwünschten Eigenschaften gewinnen, so zum Beispiel
R = = R ∪ R 0 , die reflexive Hülle
R≠ = R \ R 0 , den irreflexiven Kern
R → = ⋃ {R n : n ∈ N}, die transitive Hülle
R ∧ = ⋃ {R n : n ∈ N 0 } = R 0 ∪ R → , die reflexiv-transitive Hülle
R s
= R ∪ R d , die symmetrische Hülle oder Vergleichbarkeitsrelation
R s
= R ∩ R d , den symmetrischen Kern oder die Symmetrisierung.
Diese Namensgebungen werden motiviert durch den folgenden
Satz 1.12 Für eine beliebige Relation R auf X gilt:
(1) Die reflexive Hülle ist die kleinste R umfassende reflexive Relation.
(2) Der irreflexive Kern ist die größte in R enthaltene irreflexive Relation.
(3) Die transitive Hülle ist die kleinste R umfassende transitive Relation.
(4) Die reflexiv-transitive Hülle ist die kleinste R umfassende Quasiordnung.
(5) Die symmetrische Hülle ist die kleinste symmetrische Relation S ⊇ R.
(6) Der symmetrische Kern ist die größte symmetrische Relation S ⊆ R.
(7) Die Relation R s∧ ist die kleinste R umfassende Äquivalenrelation.
Beweis: (1) und (2) sind offensichtlich und leicht zu begründen: man nimmt
einfach alle Schleifen hinzu bzw. weg.
(3) R → ist transitiv: Aufgrund des Distributivgesetzes (vgl. Satz 1.3) gilt
(R → ) 2 = ( ⋃ {R n : n ∈ N}) 2 = ⋃ {R m+n : m, n ∈ N} ⊆ ⋃ {R n : n ∈ N} = R → .
Ist T eine beliebige transitive Relation mit R⊆T , so ergibt sich induktiv R n ⊆T ,
da aus R n ⊆ T auch R n+1 = R n R ⊆ T T ⊆ T folgt. Daher ist auch die transitive
Hülle R → = ⋃ {R n : n ∈ N} in T enthalten.
(4) Aus (3) folgt: (R ∧ ) 2 = (R 0 ∪R → ) 2 = R 0 ∪R → ∪(R → ) 2 ⊆ R 0 ∪R → = R ∧ . Ist
Q eine beliebige Quasiordnung mit R ⊆ Q, so schließen wir R ∧ = R 0 ∪R → ⊆ Q.
(5) Wegen (R s ) d = (R∪R d ) d = R d ∪R dd = R d ∪R = R s ist R s symmetrisch. Für
beliebige symmetrische Relationen S ⊇ R ergibt sich R s = R∪R d ⊆ S ∪S d = S.
(6) beweist man analog.
(7) Wir zeigen zuerst: Ist S symmetrisch, so auch S → und folglich S ∧ :
(S → ) d = ( ⋃ {S n |n ∈ N}) d = ⋃ {(S n ) d |n ∈ N} = ⋃ {S n |n ∈ N} = S → .
Nach (5) ist S = R s symmetrisch, und nach (4) ist Q = S ∧ eine Quasiordnung;
nach dem zuvor Gezeigten ist sie auch symmetrisch. Für jede Äquivalenzrelation
S mit R ⊆ S folgt R s ⊆ S s = S und daraus R s∧ ⊆ S ∧ = S.
□
13

Im Prinzip muß man zur Berechnung der (reflexiv-)transitiven Hülle beliebig
hohe Potenzen der Relation berechnen. Im Falle einer endlichen Grundmenge
X = {x 1 , ..., x m } genügt es allerdings, bis zur (m−1)-ten Potenz zu gehen:
Satz 1.13 Die reflexiv-transitive Hülle einer Relation R auf X ={x 1 , ..., x m } ist
R ∧ = R 0 ∪ R ∪ R 2 ∪ ... ∪ R n = (id X ∪ R) n für alle n ≥ m−1.
Ihre Darstellungsmatrix ist daher gleich s((E + D R ) n ) für jedes n ≥ m−1.
Beweis: Es reicht zu zeigen, daß zu (x, y) ∈ R n mit n ≥ m ein k < n mit
(x, y) ∈ R k existiert (durch Iteration erreicht man dann schließlich k < m).
Es gelte also x = x 0 R x 1 ...x n−1 R x n = y; wegen n ≥ m sind mindestens zwei
der n+1 Folgenglieder gleich, etwa x i = x j für i < j. Aber dann gilt bereits
x = x 0 R x 1 ...x i = x j R x j+1 ...R x n = y, also (x, y) ∈ R k für k = n−(j−i) < n.
□
In der Praxis wird man versuchen, mit möglichst wenigen Matrizenmultiplikationen
auszukommen. Am ökonomischsten ist es, das kleinste k mit 2 k ≥ m−1
zu wählen und dann k-mal zu quadrieren:
D 0 = E + D R , D j+1 = D j 2
⇒ D k = (E + D R ) n mit n = 2 k ≥ m−1.
Bezeichnen ld den Logarithmus zur Basis 2 (“dyadischer Logarithmus”), so
braucht man demnach weniger als ld(m) + 1 Multiplikationen, um die Darstellungsmatrix
der transitiven Hülle zu berechnen!
Die anschauliche Bedeutung der reflexiv-transitiven Hülle besteht darin, daß
man durch sie sofort die Existenz von Wegen feststellen kann:
xR ∧ y gilt genau dann, wenn ein R-Weg von x nach y existiert.
R ∧ entsteht also durch Ergänzen aller Pfeile, die “indirekte” Wege beschreiben.
In gewissem Sinne umgekehrt verfahren wir, wenn wir zur Nachbarschaftsrelation
übergehen; im Falle einer Ordnung R ist sie gegeben durch
R ∨ = R≠ \ R≠2 .
Wir wollen diese Konstruktion des “Weglassens von indirekten Wegen” auf beliebige
Relationen R erweitern und setzen deshalb
R ∨ = R≠ \ ⋃ {R≠n |n > 1}.
Die so entstehenden Relationen erfassen wir durch folgende Definition: Ist eine
Relation S für alle natürlichen Zahlen n ≠ 1 disjunkt zu S n , so sprechen wir
von einer Diagramm-Relation und nennen (X, S) ein (Ordnungs-)Diagramm.
Konkret bedeutet dies, daß S keine Schleifen hat, also irreflexiv ist (n = 0!),
und daß niemals xS y gilt, wenn es einen “indirekten” S-Weg von x nach y gibt
(n>1!)
❞✲
❞ ✁✕
. . .‖
❞
❞ ✁✕ ❆❯ ❞
. . ✲.
✁☛❞
14

Während ein gezeichnetes Diagramm einer geordneten Menge natürlich in
keiner Weise eindeutig bestimmt ist, ermöglicht die exakte Definition von Diagrammen
eine eindeutige Zuordnung zwischen Ordnungen und Diagrammen.
Gegenüber den anschaulicheren, aber in gewissem Sinne unpräzisen graphischen
Diagrammen haben die mathematisch definierten Diagramme mehrere eklatante
Vorteile :
sie sind eindeutig durch die jeweilige Relation bestimmt,
man kann mit ihnen (oder ihren Darstellungsmatrizen) rechnen,
die entsprechende Ordnung läßt sich aus ihnen rekonstruieren.
Satz 1.14 Für jede Relation R auf X ist (X, R ∨ ) ein Diagramm. Jede endliche
Ordnung R ist die reflexiv-transitive Hülle ihrer Nachbarschaftsrelation:
R = R ∨∧ .
Beweis: Definitionsgemäß ist R ∨ stets irreflexiv, also R ∩ R 0 = ∅. Für n > 1 gilt
R ∨ ∩ (R ∨ ) n ⊆R ∨ ∩ (R≠) n = ∅, ebenfalls nach Definition von R ∨ .
Für eine Ordnung R ist die Inklusion R ∨∧ ⊆ R klar wegen R ∨ ⊆ R = R ∧ .
Für die umgekehrte Inklusion braucht man die Endlichkeit: Zu jedem Paar
(x, y) ∈ R≠ findet man ein maximales n, so daß x = x 0 R x 1 ...R x n = y mit
paarweise verschiedenen x 0 , x 1 , ..., x n gilt. Wegen der Maximalität von n muß
an allen Stellen statt R sogar R ∨ stehen (sonst könnte man noch weitere Elemente
interpolieren und die Länge des R-Weges vergrößern; hier kommt die
Antisymmetrie zum Tragen). Also haben wir bereits (x, y) ∈ R ∨∧ . □
Beispiele 1.15 (1) Für die Relation ≤ auf Z oder N ist die Nachbarschaftsrelation
gegeben durch x ≤ ∨ y ⇔ y = x+1, und offenbar ist < die transitive und ≤
die reflexiv-transitive Hülle dieser Relation, obwohl die Grundmenge unendlich
ist.
(2) Bezüglich der Mengeninklusion als Ordnung ist eine Menge dann und nur
dann oberer Nachbar einer anderen, wenn sie genau ein Element mehr hat. Die
Mengeninklusion ⊆ auf einer Potenzmenge erfüllt daher nur dann die Gleichung
⊆ = ⊆ ∨∧ , wenn die Grundmenge endlich war.
(3) Für die lineare Ordnung ≤ auf R oder Q ist die Nachbarschaftrelation
leer (wegen der Dichte: zwischen je zwei Elementen liegt ein weiteres). Also ist
die Behauptung R ∧ = R ∨∧ für unendliche Relationen hochgradig falsch!
Mit ähnlichen Argumenten wie zu Satz 1.14 zeigt man schließlich:
Satz 1.16 Für jede Diagramm-Relation S ist die reflexiv-transitive Hülle S ∧
eine Ordnung, und S ist deren Nachbarschaftsrelation:
S = S ∧∨ .
Somit entsprechen endliche geordnete Mengen und endliche Diagramme einander
bijektiv.
15

1.7 Wege und Zusammenhang
Bei R-Wegen (x 0 , ..., x n ) unterscheidet man zwischen offenen Wegen, bei denen
Anfangs- und Endpunkt verschieden sind (x 0 ≠ x n ), und geschlossenen Wegen,
die wieder zum Anfangspunkt zurückführen (x 0 = x n ).
❞
❞✲ ❞ ✁✕ ❆❯ ❞
❞✲
offen
❞ ✁✕
x 0 x n−1
❞ ✁☛❞ ✲ ❞ x n
❞ ✁✕ ✛
x 0
❞
❞ ✁✕ ❆❯ ❞
❞ ✁☛❞
x n−1
geschlossen (Zykel)
Einen geschlossenen Weg (x 0 , x 1 , ..., x n ), bei dem die Knoten x 1 , ..., x n paarweise
verschieden sind, nennt man einen Zykel der Länge n (er hat n Knoten und
n Pfeile). In einem Zykel darf also kein Knoten “mehrfach durchlaufen werden”,
während dies bei geschlossenen Wegen durchaus erlaubt ist.
❞x 3 ❞ x 8
x x ❞✛ ❞ ✁☛ ❆❑ 1 ❞ ✲x 2 ❞ ✁✕ ❆❯ x 4 ❞
✁✕ 10 x 9
❞ ✁✕ ✛ ❞ ✁☛❞ ✲ ❞ ✁✕ x 0 = x 12 x 11 x5
x 6
x 7
geschlossen
kein Zykel
Die Zykel der Länge 0 sind die Schleifen, alle anderen heißen echte Zykel.
Ein Diraph oder seine Relation heißt azyklisch, wenn es keine echten Zykel gibt.
Offenbar ist (x 0 , ..., x k , ..., x 0 ) dann und nur dann ein echter Zykel in (X, R),
wenn x 0 R ∧ x k R ∧ x 0 gilt, also die Antisymmetrie von R ∧ verletzt ist. Damit
bekommen wir sofort:
Satz 1.17 Eine Relation R ist genau dann azyklisch, wenn ihre (reflexiv-)
transitive Hülle antisymmetrisch, d.h. eine Ordnung ist. Äquivalent dazu ist
R 0 ∩ R≠n = ∅ für alle n ∈ N.
Zwischen azyklischen Relationen und Diagramm-Relationen besteht eine
große Ähnlichkeit; letztere sind stets azyklisch, aber nicht umgekehrt: Jede Ordnung
und erst recht jede strikte Ordnung ist nach Satz 1.17 azyklisch, aber Ordnungen
sind niemals Diagramm-Relationen (warum?), und auch strikte Ordnungen
sind nur selten Diagramm-Relationen (wann genau?)
Beispiel 1.18 Eine strikt geordnete Menge, die gleich ihrem Diagramm ist.
❞ ❞ ❞ ❞
❞ ✁✕ ❆❑ ❞ ✁✕ ❆❑ ❞ ✁✕ ❆❑ ❞ ✁✕ ❆❑ ❞
16

Neben den “gerichteten“ Wegen x 0 R x 1 ...R x n , bei denen alle Pfeile die gleiche
Richtung haben, betrachtet man in der Graphentheorie sehr häufig auch
“ungerichtete” Wege, bei denen es nicht auf die Richtungen der einzelnen Pfeile
ankommt. Formal sind das genau die R s -Wege, wobei
R s = R ∪ R d
die Vergleichbarkeitsrelation, d.h. die symmetrische Hülle von R ist. Sie “vergißt
die Richtung der Pfeile” und gibt nur an, ob zwei Element zueinander in Relation
stehen (egal in welcher Richtung). Im Falle xR s y sagt man, x und y seien
(bezüglich R) vergleichbar.
Wie wir in Satz 1.12 (7) gezeigt haben, ist die reflexiv-transitive Hülle von R s
die kleinste Äquivalenzrelation, die R umfaßt. Also bedeutet x R s∧ y, daß x und
y durch einen ungerichteten R-Weg verbunden sind. Die Äquivalenzklassen der
Relation R s∧ nennt man Zusammenhangskomponenten oder Wegkomponenten
des Digraphen (X, R). Zwei Elemente liegen also genau dann in der gleichen
Komponente, wenn sie durch einen ungerichteten Weg verbunden sind. Gibt es
nur eine einzige Komponente, nennt man den Digraphen oder seine Relation
zusammenhängend. Dies bedeutet offenbar, daß R s∧ die Allrelation X ×X ist.
Eine geordnete Menge mit einem größten oder kleinsten Element (siehe unten)
ist stets zusammenhängend. Unter den Äquivalenzrelationen ist natürlich
nur die Allrelation zusammenhängend.
Beispiele 1.19 Auf einer 3-elementigen Menge gibt es
6 lineare Ordnungen
✂❇ 3 nichtlineare Ordnungen mit größtem Element
❇✂
3 nichtlineare Ordnungen mit kleinstem Element
6 nichtlineare unzusammenhängende Ordnungen
6 totale, nicht antisymmetrische Quasiordnungen
3 nichttriviale Äquivalenzrelationen
die Gleichheitsrelation
die Allrelation
also insgesamt 29 Quasiordnungen, von denen 19 Ordnungen und auch 19 zusammenhängend
sind. Aber das ist ein glücklicher Zufall! Auf vier Elementen
gibt es bereits
355 Quasiordnungen,
233 zusammenhängende Quasiordnungen und
219 Ordnungen.
17

Allgemeiner nennt man eine Teilmenge Y eines Digraphen zusammenhängend,
wenn je zwei ihrer Elemente durch einen ganz in Y verlaufenden
ungerichteten Weg verbunden sind.
Beispiel 1.20 In dem nachfolgend dargestellten Digraphen ist die Teilmenge
Y total unzusammenhängend, d.h. keine zwei ihrer Punkte sind innerhalb von
Y durch einen Weg verbunden, obwohl es zwischen je zwei ihrer Elemente sogar
einen gerichteten Weg in dem gesamten Digraphen gibt.
❞ ❞
❆❯
❞ ✁ ✁✁✕ ❞ ✁✕ ❆❯
Y ❞
✛ ❆❯ ❞
Satz 1.21 Die Komponenten eines Digraphen sind die maximalen zusammenhängenden
Teilmengen. Diese bilden also eine Partition des Digraphen.
Beweis: Sei K eine Komponente des Digraphen (X, R), d.h. eine
Äquivalenzklasse xS bezüglich der Wegerelation S = R s∧ . Dann sind je zwei
Elemente dieser Klasse mit x durch einen (ungerichteten) R-Weg verbunden. Da
man Wege “aneinanderhängen” kann, sind diese Elemente dann auch untereinander
durch einen Weg verbunden; und da Elemente außerhalb der Komponente
nicht mit x verbunden sind, müssen diese Wege ganz in K verlaufen; mit anderen
Worten, K ist maximal zusammenhängend.
Sei umgekehrt K eine maximale zusammenhängende Teilmenge. Da einpunktige
Mengen sicher zusammenhängend sind, können wir ein x aus K wählen. Nun
ist jedes Element aus K mit x durch einen Weg verbunden, also jedenfalls in
der Komponente xS enthalten. Da diese ebenfalls zusammenhängend ist, folgt
aus der Maximalität von K bereits K = xS.
□
Abschließend wollen wir kurz andeuten, wann und wie man zusammenhängende
Teilstücke “zusammenkleben” kann. Dazu definieren wir für jeden
Digraphen (X, R) eine Zusammenhangsrelation ⊲⊳ R auf dem System P(X) \ {∅}
aller nichtleeren Teilmengen durch
Y ⊲⊳ R Z ⇔ es gibt y ∈ Y und z ∈ Z mit y = z oder yR z oder z R y.
Dann kann man das folgende sehr allgemeine Resultat beweisen:
Satz 1.22 Es sei (X, R) ein beliebiger Digraph, d.h. R eine Relation auf X.
(1) Eine Teilmenge Z von X ist genau dann zusammenhängend, wenn die
Beziehung Y ⊲⊳ R Z \ Y für jede nichtleere echte Teilmenge Y von Z erfüllt ist.
(2) X sei die Vereinigung eines Systems Z zusammenhängender nichtleerer
Teilmengen. Der Digraph (X, R) ist genau dann zusammenhängend, wenn Z
bezüglich der Relation ⊲⊳ R zusammenhängend ist.
18

Zum Abschluß wollen wir versuchen zu präzisieren, was unter “Diskreter
Ordnungstheorie” zu verstehen sein könnte. In der angewandten Mathematik
versteht man unter “Diskretisierung” grob gesprochen die Zurückführung auf
endliche Strukturen, Prozesse oder Algorithmen.
Andererseits wird der Begriff “diskret” häufig als Gegenstück zu “kontinuierlich”
gesehen. Die Analysis ist eine typische Wissenschaft der kontinuierlichen
Strukturen (“stetig” bedeutet ja im Wesentlichen das gleiche wie “kontinuierlich”).
Dort wird eine Teilmenge des n-dimensionalen Raumes R n diskret
genannt, wenn jeder ihrer Punkte eine Umgebung besitzt, die keinen anderen
Punkt der Menge enthält. Es gibt also keine Häufungspunkte in dieser Menge.
Analog betrachtet man die Menge Z der ganzen Zahlen und jede ihrer Teilmengen
(z.B. N und N 0 ) ordnungstheoretisch als diskrete Struktur, während
die Menge R der reellen Zahlen und “dichte” Teilmengen wie Q oder die Menge
D der dyadischen Brüche (deren Nenner Zweierpotenzen sind) als “kontinuierlich”
angesehen werden. Wie wir früher bemerkt haben, ist einer der wesentlichen
Unterschiede zwischen Z und dichten Mengen wie R, Q oder D, daß die
Ordnung ≤ auf Z durch ihre Nachbarschaftsrelation vollständig bestimmt ist
(nämlich als deren reflexiv-transitive Hülle), während es in dicht geordneten
Mengen überhaupt keine benachbarten Elemente gibt.
Aufbauend auf diesen elementaren Feststellungen, wollen wir einen Digraphen
(X, R) oder seine Relation R endlich verkettet nennen, falls zu jedem
(x, y) ∈ R ein maximaler R≠-Weg von x nach y existiert, d.h. einer, der nicht
Teilfolge eines anderen R≠-Weges ist. Die maximalen R≠-Wege sind offenbar
genau die R ∨ -Wege, wobei R ∨ wie in Abschnitt 1.6 die Nachbarschaftsrelation
bezeichnet.
x 1
❞ ✲ ❞ x (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) maximal
✻ ❞ ✲ ❞ ❄
2✲ ❞ (x 0 , x 3 , x 4 ) nicht maximal
x 0 x3 x4
Eine Relation R ist demnach genau dann endlich verkettet, wenn sie in der
reflexiv-transitiven Hülle ihrer Nachbarschaftsrelation enthalten ist, in Zeichen:
R ⊆ R ∨∧ .
Anschaulich bedeutet endliche Verkettung, daß man keinen Weg immer weiter
“verfeinern” kann. Endlich verkettete Ordnungen verdienen den Namen diskrete
Ordnungen, denn man gelangt von einem Element zu einem größeren stets über
einen endlichen Weg, dessen einzelne Schritte benachbarte Elemente verbinden.
Das bedeutet nicht, daß alle Ketten zwischen zwei Punkten endlich sein müssen!
Umgekehrt ist aber jede endliche Ordnung sicher diskret.
✦
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❅ ❞
19

In der allgemeinen Graphentheorie wäre es nicht sehr sinnvoll, endlich verkettete
Digraphen diskret zu nennen; denn es gibt viele endliche Digraphen, die
diese Eigenschaft nicht haben, nämlich solche mit echten Zykeln:
Satz 1.23 Jede endlich verkettete Relation ist azyklisch, und umgekehrt ist jede
endliche azyklische Relation auch endlich verkettet.
Beweis: Ist x 0 R x 1 ...R x k = x 0 ein echter Zykel, so ist sicher kein R≠-Weg
x 0 R y 1 ...R y n = x 1 von x 0 nach x 1 maximal, denn x 0 R y 1 ...R y n R x 2 ...R x k R x 1
ist ebenfalls ein (längerer) R≠-Weg. Bei endlich verketteten Relationen sind also
echte Zykel ausgeschlossen.
Sei nun R endlich und azyklisch. Zu (x, y) ∈ R gibt es dann eine maximale
endliche Menge {x 0 , ..., x n } mit x = x 0 R...R x n = y. Dieser Weg ist bereits ein
maximaler R-Weg von x nach y, denn wäre x 0 R...R x k R y 1 ...R x k+1 R...R x n ein
längerer Weg, so müßte y 1 mit einem der x i übereinstimmen, und man könnte
einen echten Zykel herausschneiden.
□
Die folgende Notation erweist sich als sehr bequem, sowohl bei einigen Begriffsbildungen,
als auch in vielen Beweisen: Für eine beliebige Relation R sei
R ≥k = ⋃ {R n |n ≥ k}.
Speziell ist
R ≥0 = R ∧ die reflexiv-transitive Hülle,
R ≥1 = R → die transitive Hülle,
R ≥2 = RR →
und generell
R ≥k+l = R ≥k R ≥l sowie R ≥kl = (R ≥k ) ≥l ,
wie man jeweils durch Induktion zeigt. Ebenfalls mit Induktion ergibt sich für
die transitive Hülle T = R → :
T ≥k = R ≥k (k ∈ N).
R selbst ist genau dann transitiv (also identisch mit T ), wenn
R ≥2 ⊆ R.
Sinnvollerweise wird man deshalb eine Relation intransitiv nennen, falls
R ≥2 ⊆ R c .
Aber diese Bedingung bedeutet ja nichts anderes als R ∩ R n = ∅ für n > 1, und
der Fall n = 0, also die Irreflexivität, folgt daraus unmittelbar. Daher sind die
intransitiven Relationen genau die Diagramm-Relationen. Da eine intransitive
Relation R irreflexiv und disjunkt zu R ≥2 ist, folgt
R ∨ = R \ R ≥2 = R.
Wie wir früher sahen, ist andererseits R ∨ für jede Relation R eine Diagramm-
Relation, d.h. intransitiv. Daraus schließen wir:
Satz 1.24 Die intransitiven Relationen sind diejenigen, die mit ihrer Nachbarschaftsrelation
übereinstimmen. Jede intransitive Relation ist endlich verkettet.
20

Denn bei intransitiven Relationen R ist definitionsgemäß jeder R≠-Weg schon
maximal. Nun zu zwei sehr kurzen Charakterisierungen:
Satz 1.25 Für jede endlich verkettete Relation R gilt R ∨ = R ∧∨ und R ∧ =
R ∨∧ .
Für eine beliebige Relation R gilt:
(1) R = R ∧∨ ⇔ R ist intransitiv,
(2) R = R ∨∧ ⇔ R ist eine diskrete Ordnung.
Beweis: Da R nach Satz 1.23 azyklisch ist, gilt R 0 ∩R ≥2 = ∅ und (R ∧ )≠ = R≠→ .
Unter Ausnutzung der Transitivität von R ∧ berechnen wir:
R ∧∨ = R≠→ \ (R≠→ ) 2 = R≠≥1 \ R≠≥2 = R≠ \ R≠≥2 = R ∨ .
R ∧ ⊆ R ∨∧ folgt aus der für endlich verkettete Relationen charakteristischen
Inklusion R ⊆R ∨∧ , und R ∨∧ ⊆R ∧ aus der allgemein gültigen Inklusion R ∨ ⊆ R.
Speziell ergibt sich mit Satz 1.24: R = R ∧∨ ⇔ R = R ∨ ⇔ R ist intransitiv.
Andererseits gilt für eine diskrete (endlich verkettete) Ordnung R = R ∧ = R ∨∧ ,
und umgekehrt folgt aus der Gleichung R = R ∨∧ , daß R sowohl eine Quasiordnung
als auch endlich verkettet, insbesondere antisymmetrisch ist. □
Aufgrund der bisherigen Überlegungen bestehen folgende Implikationen:
endliche Ordnung ⇒ diskrete Ordnung ⇒ Ordnung ⇒ transitiv
⇓
intransitiv ⇒ endlich verkettet ⇒ azyklisch ⇒ antisymmetrisch
Zusammenfassend gelangen wir zu folgendem Hauptergebnis, welches den
umkehrbaren Wechsel zwischen diskreten Ordnungen und ihren intransitiven
Diagramm-Relationen erlaubt:
Folgerung 1.26 (1) Die Nachbarschaftsrelation R ∨ einer diskreten Ordnung R
ist intransitiv, und R ist ihre transitive Hülle: R = R ∨∧ .
(2) Die reflexiv-transitive Hülle S ∧ einer intransitiven Relation S ist eine diskrete
Ordnung, und S ist deren Nachbarschaftsrelation: S = S ∧∨ .
(3) Die Zuordnungen R ↦→ R ∨ and S ↦→ S ∧ liefern zueinander inverse Bijektionen
zwischen diskreten Ordnungen und intransitiven Relationen.
Nennen wir schließlich zwei Relationen R und S auf X weg-äquivalent, falls
jeder R-Weg zwischen zwei Punkten sich durch einen S-Weg ersetzen läßt und
umgekehrt, so erhalten wir eine Äquivalenzrelation auf der Menge der endlich
verketteten Relationen, und Satz 1.25 liefert die
Folgerung 1.27 Für jede endlich verkettete Relation R ist
– R ∧ die größte weg-äquivalente Relation,
– R ∨ die kleinste weg-äquivalente Relation,
und die Äquivalenzklasse von R enthält alle Relationen zwischen R ∨ und R ∧ .
⇓
21

1.8 Anhang: Operationen auf Relationen und Matrizen
Wir stellen auf dieser Seite noch einmal alle relevanten Operationen zusammen,
die wir in diesem Kapitel auf Relationen angewandt haben, und geben die jeweils
entsprechende Operation auf den Darstellungsmatrizen an.
R ⊆ X ×Y Relationen D R = A = (a ij ) Matrizen
S ⊆ Y ×Z D S = B = (b ij )
Operation Beschreibung Operation Beschreibung
Dualisierung R d = {(x, y)|(y, x) ∈ R} Transposition A t = (a ji )
Komplement R c = {(x, y)|(x, y) ∉ R} Negation A c = (1 − a ij )
Produkt RS = {(x, z)|∃ y (xR ySz)} reduziertes Produkt A ⊙ B = s(AB)
Potenz R k = R...R (k-mal) reduzierte Potenz A ○k = s(A k )
nullte Potenz R 0 = id X Einheitsmatrix E = (1−s(|i−j|))
reflexive Hülle R = = R ∪ R 0 Diagonal-Addition s(A + E)
irreflexiver Kern R≠ = R \ R 0 Diagonal-Subtraktion s(A − E)
Hyperpotenz R ≥k = ⋃ {R l : l ≥ k} Geometr. Reihe ab k s( ∑ l≥k Al )
transitive Hülle R → = R ≥1 Geometr. Reihe ab 1 s( ∑ l≥1 Al )
refl.-trans. Hülle R ∧ = R ≥0 Geometr. Reihe ab 0 s( ∑ l≥0 Al )
Durchschnitt R ∩ S elementweises Produkt A ⊓ B = (a ij b ij )
Vereinigung R ∪ S reduzierte Summe A ⊔ B = (s(a ij +b ij ))
Differenz R \ S reduzierte Differenz A ¬ B = (s(a ij −b ij ))
symmetr. Hülle R s = R ∪ R d obere Symmetrisierung A ⊔ A t
symmetr. Kern R s = R ∩ R d untere Symmetrisierung A ⊓ A t
Nachbar.-relation
R ∨ = R≠ \ R≠≥2
neg. geometr. Reihe
A ¬ ∑ k≠1
s(A − E)k
22

Literatur
M. Erné, Einführung in die Ordnungstheorie, B.-I.-Wissenschaftsverlag, Bibliographisches
Institut, Mannheim 1982
(enthält nur den relationentheoretischen Teil)
R. Haggarty, Diskrete Mathematik für Informatiker, Pearson Studium,
Addison-Wesley, München, 2004
(sehr elementar)
Th. Ihringer, Diskrete Mathematik, Heldermann Velag, Berlin 2002
(mittlerer Umfang und Schwierigkeitsgrad)
J. Matoušek und J. Nešetřil, Diskrete Mathematik, Springer-Verlag, Berlin 2000
(sehr ausführlich)
23