Matrizen

Kapitel 3
Matrizen
3.1 Der Vektorraum der m×n –Matrizen
Viele algebraische Aspekte der Vektorraumtheorie, insbesondere Verfahren zur Lösung von
linearen Gleichunsgsystemen, basieren auf dem Konzept der Matrizen, das als Spezialfälle
Zeilen– und Spaltenvektoren umfasst.
3.1.1 Definition. (Körper)
Unter einem Körper versteht man eine Menge K zusammen mit einer Addition, einem Nullelement
0, einer Multiplikation und einem Einselement 1, so dass die gleichen Rechenregeln
wie in Q und R gelten, insbesondere also zu jedem Element a ein „Negatives” −a mit
a − a = −a + a = 0 existiert und jedes von 0 verschiedene Element b ein „Inverses” b −1
mit bb −1 = b −1 b = 1 hat.
3.1.2 Beispiele. (Spezielle Körper)
(1) Neben den bekannten Körpern R der reellen Zahlen und Q der rationalen Zahlen gibt es
den wichtigen Körper C der komplexen Zahlen. Es handelt sich dabei um die Ebene R 2 mit
den Basisvektoren 1 = (1, 0) und ı = (0, 1) und der Multiplikation
(a + bı)(c + dı) := (ac − bd) + (ad + bc)ı (a, b ∈ R)
wobei man einfach a für a1 schreibt. Insbesondere ist ı 2 = −1.
(2) Es gibt aber auch endliche Körper wie z. B. K = {0, 1} mit der Addition 1 + 1 = 0, die in
der Informatik eine besondere Rolle spielt. Hier ist −1 = 1, ansonsten funktioniert die Addition
und die Multiplikation wie in R.
Man kann nun Vektorräume über beliebigen Körpern als Skalarbereich genau so wie über R
definieren. Die allermeisten Regeln bleiben dabei erhalten; allerdings kann dann ein von 0
verschiedener Vektor bezüglich des Skalarprodukts auf sich selbst senkrecht stehen (z.B. (1, 1)
über dem Körper {0, 1}), und im Allgemeinen lassen sich Vektoren nicht mehr „normieren”,
weil die benötigten Wurzeln nicht existieren. Wir begnügen uns im Folgenden mit dem Körper
K = R der reellen Zahlen, betonen aber, dass dies keine zwingende Einschränkung ist.
3.1.3 Definition. (Matrizenräume)
K m×n := K m×n heißt der Vektorraum der m × n–Matrizen über K (m, n ∈ N 0 ). Die Matrizen
aus K n×n nennt man quadratisch.
33

KAPITEL 3. MATRIZEN 34
3.1.4 Bemerkungen.
(1) Formal ist eine m×n–Matrix A eine Abbildung von m × n = {(i, j) | i ∈ m, j ∈ n} nach K.
Man schreibt a ij für A(i, j) und ordnet die Bildwerte in einem rechteckigen Schema an:
⎛
a 11 . . . a 1n
A = ⎜
⎟
⎝ . . ⎠
a m1 . . . a mn
⎞
Im Computer wird eine Matrix meist als eine einzige lange Zeile eingegeben, wobei man zuvor
die Zeilen- und Spaltenzahl festgelegt hat und dann die Zeilen aneinanderhängt.
(2) Der Matrizenraum K m×n ist bis auf die rechteckige statt zeilenweise Anordnung der Komponenten
einfach der Vektorraum R mn und hat daher die Dimension mn.
Im Falle m = 0 oder n = 0 ist K m×n der Nullraum, der nur die Null enthält.
(3) Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation sind komponentenweise definiert, z. B.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 −1 0 0 2 1 2 −1 0 2 2
+
= ,
−
= ,
3 4 0 3 3 7 3 4 0 3 3 1
2
(
1 0
0 1
)
=
(
2 0
0 2
(4) Bis auf die Bezeichnungsweise ist
)
.
K 1×n der Raum K n der n–komponentigen Zeilenvektoren
K m×1 der Raum K m der m–komponentigen Spaltenvektoren.
(5) Aus der Vektorraumstruktur von K m×n ergeben sich folgende Rechenregeln:
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
(r + s)A = rA + sA
r(A + B) = rA + rB
r(sA) = (rs)A.
(6) Das Nullelement von K m×n ist die Nullmatrix
⎛
⎞
0 . . . 0
O = O mn := ⎜
⎟
⎝ . . ⎠ mit A + O = O + A = A, A − A = A + (−A) = O.
0 . . . 0
(7) Die kanonische Basis des Vektorraums K m×n besteht aus den Matrizen E kl , bei denen in
der k–ten Zeile an l–ter Stelle 1 und sonst überall 0 steht, z.B.
( )
0 1 0
E 12 =
in K 2×3 .
0 0 0

KAPITEL 3. MATRIZEN 35
3.1.5 Definition. (Einheitsmatrizen)
Die n×n–Einheitsmatrix E (genauer mit E n bezeichnet) ist gegeben durch
⎛
⎞
1 0 . . . 0
E :=
0 . . . 0
⎜ .
⎝ . .. = (δ ij ) mit δ ij = 1 für i = j und δ ij = 0 für i ≠ j.
. ⎟
⎠
0 . . . 0 1
3.1.6 Definition. (Transponierte)
Für A = (a ij ) ∈ K m×n ist die transponierte Matrix A T ∈ K n×m definiert durch
A T = (b ij ) mit b ij = a ji .
Sie entsteht aus A durch „Spiegelung an der Diagonalen”.
Insbesondere ist A genau dann ein Zeilenvektor, wenn A T ein Spaltenvektor ist.
(Andere Bezeichnungen für die Transponierte sind A t , t A, T A.)
A heißt symmetrisch, falls A = A T , und schiefsymmetrisch, falls −A = A T gilt.
Eine symmetrische oder schiefsymmetrische Matrix ist insbesondere quadratisch. Bei einer
schiefsymmetrischen reellen oder komplexen Matrix stehen stets Nullen in der Diagonalen.
3.1.7 Lemma. (Transpositionregeln)
(A + B) T = A T + B T , (rA) T = rA T , (A T ) T = A.
3.1.8 Beispiele. (Transponieren)
⎛ ⎞
( ) T 1 0
1 2 3
(1)
= ⎜
⎝ 2 0 ⎟
⎠
0 0 2
.
3 2
⎛
⎞
1 1 0
(2) Für A = ⎜
⎝−1 0 5
4 −1 1
⎟
⎠ ist A + =
ist schiefsymmetrisch, und es gilt
⎛
⎜
⎝
A + = 1 2 (A + AT ), A − = 1 2 (A − AT ), A = A + + A − .
⎞
⎛
⎞
1 0 2
0 1 −2
0 0 2 ⎟
⎠ symmetrisch, A − = ⎜
⎝−1 0 3 ⎟
⎠
2 2 1
2 −3 0
3.1.9 Satz. (Unterräume symmetrischer und schiefsymmetrischer Matrizen)
Für jede quadratische Matrix A ist die Matrix A + A T stets symmetrisch, während A − A T
stets schiefsymmetrisch ist. A kann auf eindeutige Weise als Summe einer symmetrischen und
einer schiefsymmetrischen Matrix geschrieben werden:
A = 1 2 (A + AT ) + 1 2 (A − AT ).
Die symmetrischen n×n–Matrizen bilden einen n(n+1)
2
-dimensionalen Unterraum des Matrizenraumes
K n×n , die schiefsymmetrischen n × n–Matrizen bilden einen n(n−1)
2
-dimensionalen
Unterraum, und K n×n ist die direkte Summe dieser beiden Unterräume.

KAPITEL 3. MATRIZEN 36
3.2 Matrizenprodukt und lineare Abbildungen
Matrizen kann man nicht nur addieren und subtrahieren, sondern auch miteinander multiplizieren,
sofern sie die richtigen Abmessungen für Zeilen- und Spaltenzahl haben.
3.2.1 Definition. Für A ∈ K m×n und B ∈ K n×p ist das Matrizenprodukt AB ∈ K m×p
diejenige Matrix, bei der in der i–ten Zeile und k–ten Spalte das Skalarprodukt der i–ten Zeile
von A mit der k–ten Spalte von B steht:
n∑
A = (a ij ), B = (b jk ) =⇒ AB = (c ik ) mit c ik = a ij b jk .
Speziell ist für Spaltenvektoren a, b ∈ K n das Skalarprodukt a · b = a T b.
j=1
j
k
j
✲
❄
❄
b jk
B
i
✲
a ij
A
c ik
C
Matrizen ermöglichen unter anderem eine besonders einfache Beschreibung sogenannter linearer
Abbildungen zwischen Vektorräumen.
3.2.2 Definition. (Lineare Abbildungen)
Eine Abbildung f : V → W heißt linear, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
f(u + v) = f(u) + f(v) (u, v ∈ V ),
f(rv) = r f(v)
(v ∈ V, r ∈ K).
Die Gesamtheit aller linearen Abbildungen von V nach W (auch Homomorphismen genannt)
wird mit Hom (V, W ) bezeichnet. Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.
Im erweiterten Sinne ist Hom (V, W ) ein Vektorraum bezüglich elementweiser Addition und
skalarer Multiplikation:
(f + g)(v) = f(v) + g(v), (rf)(v) = r f(v).

KAPITEL 3. MATRIZEN 37
Am Ende dieses Abschnitts werden wir konkrete Beispiele linearer Abbildungen kennen lernen.
Zunächst der grundlegende Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen:
3.2.3 Definition. Für jede Matrix A ∈ K m×n definiert man eine Abbildung à durch
à : K n −→ K m , x ↦−→ Ax .
Die Spalten der Matrix A sind dann die Bilder Ã(e j) der kanonischen Einheitsvektoren.
Ein paar elementare Rechnungen zeigen:
3.2.4 Satz. (Durch Matrizen induzierte lineare Abbildungen)
Für jede Matrix A ∈ K m×n ist die Abbildung à linear. Die Abbildung
H : K m×n −→ Hom (K n , K m ), A ↦−→ Ã
ist ein Isomorphismus. Es gilt
Ã+B = Ã + ˜B für A, B ∈ K m×n ,
à B = à ◦ ˜B für A ∈ K m×n und B ∈ K n×p ,
Ẽ n = id Kn .
Da das Produkt der Matrizen der Verknüpfung der linearen Abbildungen entspricht, übertragen
sich nun sofort die Rechenregeln für letztere auf Gleichungen für Matrizen:
3.2.5 Satz. (Rechenregeln für Komposition und Matrizenprodukt)
Sofern die nachfolgenden Kompositionen bzw. Matrizenprodukte definiert sind, gilt:
lineare Abbildungen
Matrizen
Kommutativgesetz f +g = g+f A+B = B+A
Assoziativgesetze (f +g)+h = f +(g+h) (A+B)+C = A+(B+C)
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) (AB)C = A(BC)
(rf) ◦ g = r(f ◦ g) = f ◦ (rg)
(rA)B = r(AB) = A(rB)
Distributivgesetze f ◦ (g+h) = f ◦ g + f ◦ h A(B+C) = AB + AC
(g+h) ◦ f = g ◦ f + h ◦ f
r(f +g) = rf +rg
(B+C)A = BA + CA
r(A+B) = rA + rB
Neutralitätsgesetze f ◦ id = f, id ◦ g = g AE = A, EB = B
3.2.6 Bemerkung. Ist AB definiert, so nicht nowendig auch BA. Und selbst wenn sowohl
AB als auch BA definiert ist, gilt im Allgemeinen AB ≠ BA. Beispielsweise ist
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1
= ≠ =
.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3.2.7 Lemma. (Produktregel für Transponierte)
(AB) T = B T A T .
A T A und AA T sind stets symmetrisch, aber im Allgemeinen voneinander verschieden.

KAPITEL 3. MATRIZEN 38
Gemäß Satz 3.2.4 wird jede lineare Abbildung f : K n −→ K m durch eine eindeutige Matrix
A ∈ K m×n in der Form f =Ã dargestellt. Wir nennen deshalb A die Darstellungsmatrix von f.
Entsprechend lässt sich jede lineare Abbildung f : K m −→ K n mittels Multiplikation mit
einer eindeutigen Matrix B ∈ K m×n von rechts in der Form f(x) = xB darstellen, und auch
in diesem Fall nennen wir B die Darstellungsmatrix von f.
3.2.8 Beispiele. (Lineare Abbildungen und ihre Darstellungsmatrizen)
(1) Eine Streckung (oder Stauchung) entsteht durch Multiplikation mit einer festen Zahl r:
g(x) = rx. Die Darstellungsmatrix ist ein Vielfaches der Einheitsmatrix, also bei ebenen bzw.
räumlichen Streckungen
⎛ ⎞
r E 2 =
(
r 0
0 r
)
bzw. r E 3 =
⎜
⎝
r 0 0
0 r 0
0 0 r
(2) Man kann aber auch in jeder Koordinatenrichtung um einen anderen Faktor strecken:
Die Streckung f mit f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (r 1 x 1 , r 2 x 2 , r 3 x 3 ) oder in Spaltenschreibweise
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛
⎞
x 1 r f( ⎜
⎝ x ⎟ 2 ⎠ ) = 1 x 1
r ⎜
⎝ r 2 x ⎟ 2 ⎠ hat die Darstellungsmatrix 1 0 0
⎜
⎝ 0 r 2 0 ⎟
⎠ .
x 3 r 3 x 3 0 0 r 3
Zum Beispiel ist das Bild des Einheitskreises unter der „Streckung” f(x 1 , x 2 ) = (r 1 x 1 , r 2 x 2 )
eine Ellipse mit den Halbachsen r 1 und r 2 , genügt also der Gleichung
( ) 2 ( ) 2 x1 x2
+ = 1.
r 1 r 2
⎟
⎠ .
Entsprechend wird im Dreidimensionalen das Bild einer Kugel unter der Streckung
f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (r 1 x 1 , r 2 x 2 , r 3 x 3 ) ein Ellipsoid mit der Gleichung
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 x1 x2 x3
+ + = 1.
r 1 r 2 r 3
Bei Streckung in zwei Richtungen und Stauchung in der dritten entsteht ein „Surfbrett”

KAPITEL 3. MATRIZEN 39
(3) Jede Orthogonalprojektion des R n auf eine Hyperebene H 0 ,w = {x ∈ R n | x · w = 0} ist
(in Spaltenschreibweise) eine lineare Abbildung
p(x) = x − w w T x
(wobei w ein auf der Hyperebene senkrechter Einheitsvektor ist), mit der Darstellungsmatrix
P = E − w w T
(Spalte mal Zeile, nicht Skalarprodukt!).
Speziell wird die Projektion des Raumes R 3 auf die Ebene
H 0 ,(1,1,1) = {(x 1 , x 2 , x 3 ) T | x 1 + x 2 + x 3 = 0}
mit dem Normaleneinheitsvektor w = √ 1
3
(1, 1, 1) T durch folgende Darstellungsmatrix vermittelt:
⎛ ⎞ ⎛
⎞
E 3 − 1 3
⎜
⎝
1 1 1
1 1 1
1 1 1
⎟
⎠ = 1 3
2 −1 −1
⎜
⎝−1 2 −1
−1 −1 2
⎟
⎠ .
Die Punkte der Ebene, in die projeziert wird, bleiben natürlich unverändert. Anders ausgedrückt:
Zweimal projezieren liefert das gleiche Resultat wie einmal! Solche Abbildungen nennt
man idempotent (alle Potenzen sind gleich). Das bedeutet P = P m für alle m ∈ N.
(4) Die Spiegelung an einer Hyperebene H 0 ,w wird beschrieben durch die lineare Abbildung
s(x) = x − 2 w w T x
und diese durch die Matrix
S = E − 2 w w T , speziell für w = 1 √
3
(1, 1, 1) T :
E 3 − 2 3
⎛
⎜
⎝
1 1 1
1 1 1
1 1 1
⎞
⎟
⎠ = 1 3
⎛
⎞
1 −2 −2
⎜
⎝−2 1 −2
−2 −2 1
⎟
⎠ .

KAPITEL 3. MATRIZEN 40
(5) Matrixdarstellung des Vektorprodukts: Das Kreuzprodukt eines festen Vektors
⎛ ⎞
⎛
⎞
w 1
w w = ⎜
⎝ w ⎟ 2 ⎠ ∈ R 2 x 3 − w 3 x 2
3 mit einem Vektor x ∈ R 3 hat die Gestalt w × x = ⎜
⎝ w 3 x 1 − w 1 x ⎟ 3 ⎠ .
w 3 w 1 x 2 − w 2 x 1
Die so entstehende Abbildung ist linear.
Die Darstellungsmatrix ist hier schiefsymmetrisch und sieht folgendermaßen aus:
⎛
⎞
0 −w 3 w 2
V w = ⎜
⎝ w 3 0 −w ⎟ 1 ⎠ .
−w 2 w 1 0
(6) Die Formel für die Drehung eines Vektors x ∈ R 3 um die normierte Achse w ∈ R 3 mit
Drehwinkel ϕ ergibt sich durch Orthogonalzerlegung entlang der Achse und senkrecht dazu:
w w T x
x
d(x)
w
x−w w T x
ϕ
w × x
d(x) = w w T x + cos(ϕ) (x − w w T x) + sin(ϕ)(w × x).
Die Darstellungsmatrix („Drehmatrix”) sieht also folgendermaßen aus:
D = cos(ϕ) E + (1 − cos(ϕ)) w w T + sin(ϕ) V w
oder koeffizientenweise mit c = cos(ϕ) und s = sin(ϕ):
⎛
⎞
c + (1 − c)w
2 1 (1 − c)w 1 w 2 − w 3 s (1 − c)w 1 w 3 + w 2 s
D = ⎜
⎝ (1 − c)w 1 w 2 + w 3 s c + (1 − c)w
2 2 (1 − c)w 2 w 3 − w 1 s ⎟
⎠ .
(1 − c)w 1 w 3 − w 2 s (1 − c)w 2 w 3 + w 1 s c + (1 − c)w
2 3
Jede Drehung oder Spiegelung bildet die kanonische Basis auf eine Orthonormalbasis ab. Deshalb
ergeben die Spalten einer Drehmatrix ebenso wie die einer Spiegelungsmatrix stets eine
Orthonormalbasis.
Speziell für den zuvor schon benutzten diagonalen Achsen-Einheitsvektor w = √ 1
3
(1, 1, 1) T und
den Drehwinkel ϕ = 2π 3
bekommt man folgende sehr einfache Drehmatrix:
⎛ ⎞
0 0 1
D = ⎜
⎝ 1 0 0 ⎟
⎠ .
0 1 0
Sie dreht den Vektor e 1 nach e 2 , diesen nach e 3 und letzteren wieder nach e 1 .

KAPITEL 3. MATRIZEN 41
3.3 Kern, Rang und Inversion
Im Folgenden geht es darum, einen engen Zusammenhang zwischen Basen und den sogenannten
invertierbaren Matrizen herzustellen. Dazu brauchen wir eine leichte Variante des Basisbegriffs.
3.3.1 Definition. (Geordnete Basen)
Eine geordnete Basis eines n–dimensionalen Vektorraums V ist ein n–Tupel B = (b 1 , . . . , b n )
derart, dass {b 1 , . . . , b n } eine Basis von V ist.
Ist V = K n , so kann man jede geordnete Basis B = (b 1 , . . . , b n ) von K n als Matrix auffassen,
deren Spalten die Vektoren b 1 , . . . , b n sind, d. h. als Element von K n×n . Die kanonische Basis
entspricht dabei der Einheitsmatrix E n .
3.3.2 Satz und Definition. (Koordinatendarstellung)
Für eine geordnete Basis B = (b 1 , . . . , b n ) eines n–dimensionalen Vektorraums V ist
⎛ ⎞
x 1
h B : K n −→ V, ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ ↦−→ ∑ n x j b j
j=1
x n
ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung
k B : V −→ K n ,
v ↦−→ h −1
B (v)
heißt Koordinatendarstellung, und der Spaltenvektor k B (v) = h −1
B
(v) heißt Koordinatenvektor
von v bezüglich B. Er besteht aus den Koeffizienten der eindeutigen Darstellung von v als
Linearkombination der Basisvektoren b j .
Man nennt zwei Vektorräume isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Jeder n-dimensionale Vektorraum ist also zu K n isomorph!
Mit Hilfe der eindeutigen Darstellung von Vektoren als Linearkombinationen von Basisvektoren
sieht man leicht, dass sich beliebige lineare Abbildungen nach Vorgabe von geordneten Basen
mit Hilfe von Matrizen beschreiben lassen:
3.3.3 Satz und Definition. (Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen)
Gegeben sei ein Vektorraum V mit geordneter Basis B = (b 1 , ..., b n ) und ein Vektorraum V ′
mit geordneter Basis B ′ = (b ′ 1 , ..., b′ m). Zu jeder linearen Abbildung f : V −→ V ′ gibt es eine
eindeutige Matrix
A = M B B ′(f) = (a ij) ∈ K m×n
mit
(∗)
m∑
f(b j ) = a ij b ′ i für j ∈ n.
i=1
A heißt Darstellungsmatrix von f bezüglich B und B ′ . Umgekehrt gibt es zu jeder Matrix
A = (a ij ) ∈ K m×n genau eine lineare Abbildung f : V −→ V ′ mit (∗).
Im Falle der kanonischen Basen E n von K n und E m von K m ist diese Abbildung einfach f = Ã.

KAPITEL 3. MATRIZEN 42
3.3.4 Diagramm. (Matrizen und lineare Abbildungen)
f
V ✲ V ′
✻
✻
k B h B k B ′ h B ′
❄
K n
Ã
✲
❄
K m
Das Diagramm ist kommutativ in folgendem Sinn: Bei Durchlaufen zweier Wege mit gleichem
Anfangs–und Endpunkt sind die jeweiligen verknüpften Abbildungen stets gleich.
Der Verknüpfung linearer Abbildungen entspricht das Produkt der Darstellungsmatrizen.
3.3.5 Definition. (Kern, Bild und Rang linearer Abbildungen)
Für lineare Abbildungen f ∈ Hom (V, V ′ ) ist
Kern f := f − ({0 }) der Kern von f,
Bild f := f + (V ) das Bild von f,
Rang f := dim f + (V ) der Rang von f.
Die letzte Definition ist sinnvoll, da f + (V ) stets ein Vektorraum ist. Mehr noch:
3.3.6 Satz. (Dimensionssatz für Kern und Bild)
Der Kern einer linearen Abbildung f : V −→ V ′ ist ein Unterraum von V , das Bild ist ein
Unterraum von V ′ , und es gilt
dim Kern f + dim Bild f = dim V.
Diesen Satz kann man aus dem Dimensionssatz für Unterräume ableiten (vgl. Folgerung 3.3.8).
Wir übertragen nun Kern, Bild und Rang linearer Abbildungen auf Matrizen.
3.3.7 Definition. (Kern, Bild und Rang von Matrizen)
Für A ∈ K m×n sei
Kern A := Kern Ã, Bild A := Bild à , Rang A := Rang Ã.
Der Rang der Matrix A ist also die Dimension des Spaltenraumes Bild A, der aus allen Linearkombinationen
der Spalten von A besteht. Mit anderen Worten:
3.3.8 Folgerung. (Rang einer Matrix)
Der Rang ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten. Für A ∈ K m×n gilt
(Bild A) ⊥ = Kern A T , dim Kern A + Rang A = n.

KAPITEL 3. MATRIZEN 43
3.3.9 Beispiel. Für die Projektion
p : R n −→ R n , x ↦−→ x − w w T x
auf eine Hyperebene H 0 ,w mit der Darstellungsmatrix
gilt:
P = E − w w T
Kern P = R w, Bild P = H 0 ,w , Rang P = dim H 0 ,w = n − 1,
dim Kern P + dim Bild P = 1 + (n − 1) = n = dim R n .
Den invertierbaren linearen Abbildungen, d. h. den Vektorraum-Isomorphismen, entsprechen
die invertierbaren Matrizen:
3.3.10 Definition. (Invertierbare Matrizen)
Eine Matrix B ∈ K n×n heißt invertierbar, falls ein C ∈ K n×n mit BC = CB = E n existiert.
Invertierbare Matrizen lassen sich auf sehr vielfältige Arten beschreiben, die je nach Aufgabenstellung
von Vorteil sein können. Mit Hilfe des Darstellungssatzes 3.3.3 und des Dimensionssatzes
3.3.6 zeigt man:
3.3.11 Satz. (Charakterisierung invertierbarer Matrizen)
Für B ∈ K n×n sind folgende 15 Aussagen allesamt äquivalent:
(a) (a’) (a”) B ist invertierbar (hat Rang n, hat Kern {0 }).
(b) (b’) (b”) Die Spalten von B sind Basis (linear unabhängig, Erzeugendensystem) von K n .
(c) (c’) (c”) Zu y ∈ K n existiert genau (höchstens, mindestens) ein x mit Bx = y.
(d) (d’) (d”) Die lineare Abbildung ˜B ist ein Isomorphismus (injektiv, surjektiv).
(e) (e’) (e”) Es gibt ein (eindeutiges) C ∈ K n×n mit BC = E n (CB = E n ).
3.3.12 Definition. (Inverse Matrix)
Für eine invertierbare Matrix B heißt die eindeutige Matrix C mit
CB = BC = E
die Inverse zu B und wird mit B −1 bezeichnet. Also:
B −1 B = BB −1 = E.
3.3.13 Lemma. Ist B invertierbar, so ist auch B T invertierbar und (B T ) −1 = (B −1 ) T .
Denn es gilt ja B T (B −1 ) T = (B −1 B) T = E T = E.
3.3.14 Definition. (Orthogonale Matrizen)
Eine Matrix B ∈ K n×n heißt orthogonal (besser wäre orthonormal), falls B T B = E bzw.
B B T = E gilt, also ihre Spalten bzw. Zeilen eine ONB bilden. Die orthogonalen Matrizen sind
also genau die invertierbaren Matrizen B mit B −1 = B T .

KAPITEL 3. MATRIZEN 44
3.3.15 Beispiele. (Inverse Matrizen)
(1) Für r 1 , r 2 , r 3 ∈ R ∗ ist die zu einer Streckmatrix
⎛
⎞
⎛
⎞
1
r 1 0 0
⎜
⎝ 0 r 2 0 ⎟
⎠ inverse Matrix r 1
0 0
⎜ 1
⎝ 0
r 2
0 ⎟
⎠ .
0 0 r
1
3 0 0
r 3
Allgemein stehen in einer Diagonalmatrix D = (d ij ) ∈ K n×n außerhalb der Diagonalen nur
Nullen, d. h. d ij = 0 für i ≠ j. Eine solche Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn alle
Diagonalelemente d ii von 0 verschieden sind. In diesem Fall ist die Inverse von D ebenfalls eine
Diagonalmatrix, und ihre Diagonalelemente sind die Inversen der entsprechenden Diagonalelemente
der Ausgangsmatrix: D −1 = (c ij ) mit c ii = d ii −1 und c ij = 0 für i ≠ j.
(2) Während für Einheitsvektoren w die Projektionsmatrix P = E − w w T nicht invertierbar
ist (warum?), ist die symmetrische Spiegelmatrix
S = E − 2 w w T
zu sich selbst invers, d.h. S 2 = SS = E.
Speziell ist eine ebene Spiegelung an einer Geraden mit Steigungswinkel ϕ/2 selbstinvers und
wird dargestellt durch die Spiegelmatrix
( )
cos ϕ sin ϕ
S ϕ =
= S T ϕ = S −1 ϕ .
sin ϕ − cos ϕ
(3) Eine ebene Drehung um den Winkel ϕ und ihre Inverse werden dargestellt durch die
Drehmatrizen
( )
( )
cos ϕ − sin ϕ
D ϕ =
, D −1 cos ϕ sin ϕ
ϕ = D −ϕ =
= D T ϕ .
sin ϕ cos ϕ
− sin ϕ cos ϕ
(4) Im Raum R 3 ist die Drehung um die Achse w und den Winkel ϕ offenbar invers zur Drehung
um die gleiche Achse und den Winkel −ϕ. Also ist die Drehmatrix
D = cos(ϕ) E + (1 − cos(ϕ)) w w T + sin(ϕ) V w
invers zur Drehmatix
D −1 = cos(ϕ) E + (1 − cos(ϕ)) w w T − sin(ϕ) V w .
Sowohl Spiegel- als auch Drehmatrizen sind stets orthogonal. Im Gegensatz zu Drehmatrizen
sind Spiegelmatrizen symmetrisch. Eine räumliche Spiegelung an einer Geraden kann man auch
als Drehung um diese Gerade (mit Drehwinkel π) ansehen.

KAPITEL 3. MATRIZEN 45
3.3.16 Definition. Drehspiegelungen entstehen durch Hintereinanderschalten einer Drehung
und einer Spiegelung an einer Ebene, oder umgekehrt.
3.3.17 Beispiel. Die Spiegelung am Ursprung (Punktspiegelung) x ↦−→ −x ist ein spezielle
Drehspiegelung. Sie entsteht z. B. durch Spiegelung an der x 3 -Achse und anschließende Spiegelung
an der x 1 -x 2 -Ebene, oder umgekehrt. Wir könnten aber auch um die x 1 -Achse drehen
und an der x 2 -x 3 -Ebene spiegeln, etc.
Meist kommt es auf die Reihenfolge der Hintereinanderausführung an!
Wir stellen ohne Beweis eine Liste von Eigenschaften zusammen, die Drehungen, Spiegelungen
und Drehspiegelungen im Raum charakterisieren.
3.3.18 Satz. (Hauptsatz über Drehungen und Spiegelungen)
Für eine Abbildung f : R 3 −→ R 3 sind folgende Aussagen sämtlich äquivalent:
(a) f ist eine Drehung, eine Spiegelung an einer Ebene oder eine Drehspiegelung.
(b) f bewahrt den Ursprung und Abstände: f(0 ) = 0 und ‖f(x) − f(y)‖ = ‖x − y‖.
(c) f bewahrt Längen und Winkel: ‖f(x)‖ = ‖x‖ und cos ∠(f(x), f(y)) = cos ∠(x, y).
(d) f bewahrt Längen und Flächeninhalte: ‖f(x × y)‖ = ‖f(x) × f(y)‖ = ‖x × y‖.
(e) f bewahrt Längen und Volumina: ‖f(x)‖ = ‖x‖ und ‖f(x)f(y)f(z)‖ = ‖xyz‖.
(f) f bewahrt Skalarprodukte: f(x) · f(y) = x · y.
(g) f bewahrt Längen und ist linear.
(h) f ist linear und bildet Orthonormalbasen auf Orthonormalbasen ab.
(i) f wird durch eine orthogonale Matrix dargestellt.
Im Fall einer Abbildung f der Ebene sind die obigen Eigenschaften mit Ausnahme von (e)
charakteristisch für Drehungen um 0 und Spiegelungen an einer Geraden durch 0 . Ebene Spiegelungen
haben eine Fixgerade, ebene Drehungen ≠ id haben nur 0 als Fixpunkt.
3.3.19 Folgerung. (Klassifikation orthogonaler Matrizen mittels Fixpunkten x=Ax)
Matrix Fixpunktraum Rang (A−E)
Einheitsmatrix dreidimensionaler Raum 0
Spiegelmatrix Ebene (Spiegelebene) 1
Drehmatrix Gerade (Drehachse) 2
Drehspiegelmatrix {0 } (Spiegelzentrum) 3
Aus Beispiel 3.2.8 (5) resultieren Achse und Winkel einer Drehmatrix:
3.3.20 Folgerung. Eine von ±E verschiedene Matrix D = (d ij ) ∈ R 3×3 beschreibt genau
dann eine Drehung, wenn sie orthogonal ist und Rang (D−E) = 2 gilt.
Drehwinkel ϕ und Drehachsen-Einheitsvektor w sind dann gegeben durch
cos ϕ = 1 2 (d 11 + d 22 + d 33 − 1), w = 1
2 sin ϕ (d 32 − d 23 , d 13 − d 31 , d 21 − d 12 ) T ( ϕ π ∉ Z).

KAPITEL 3. MATRIZEN 46
3.4 Elementarmatrizen und Umformungen
Im Folgenden werden Methoden (sogenannte elementare Umformungen) zur konkreten Bestimmung
des Ranges, der Inversen (falls existent) und der Lösungen linearer Gleichungssysteme
betrachtet. Sie sind auch beim Test der linearen (Un–)Abhängigkeit von Nutzen.
3.4.1 Definition. (Elementarmatrizen)
Eine Elementarmatrix ist eine Matrix der Form
E + r E ij ,
wobei im Falle i = j noch r ≠ −1 verlangt wird. Dadurch ist gesichert, dass jede Elementarmatrix
invertierbar ist.
Es gibt also die folgenden beiden Typen von Elementarmatrizen:
⎛
⎞
1 0 · · · · · · · · · · · · 0
0 . . . . .. .
. . .. . 1 .. .
(1) D i (s) =
. . .. . s .. .
= E + (s − 1)E ii (s ≠ 0).
. .
.. . 1 .. .
⎜
.
⎝ .
.. . .. 0
⎟
⎠
0 · · · · · · · · · · · · 0 1
⎛
⎞
1 0 · · · · · · · · · · · · 0
0 . . . . .. .
. . .. . .. . .. r .
(2) E ij (r) =
. . .. . .. . .. .
= E + r E ij (i ≠ j).
. .
.. . .. . .. .
⎜
.
⎝ .
.. . .. 0
⎟
⎠
0 · · · · · · · · · · · · 0 1
Gelegentlich bezeichnet man auch die folgenden Transpositionsmatrizen, die aus Einheitsmatrizen
durch Vertauschen der i–ten und j–ten Zeile entstehen, als Elementarmatrizen:
⎛
⎞
1 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0
0 . . . . .. .
. . .. 1 0 0 .
(3) T ij =
. 0 0 1
.
= E − E ii − E jj + E ij + E ji .
. 1 0 0 .
. . 0 0 1 .. .
⎜
.
⎝ .
.. . .. ⎟ 0 ⎠
0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 1

KAPITEL 3. MATRIZEN 47
Eine einfache Rechnung zeigt jedoch, dass jede Transpositionsmatrix ein Produkt von
Elementarmatrizen des Typs (1) und (2) ist:
T ij = (E − E ij )(E − 2E jj )(E − E ji )(E + E ij ) = E ij (−1) · D j (−1) · E ji (−1) · E ij (1).
3.4.2 Satz. (Elementare Umformungen)
(1) Eine Multiplikation von links mit D i (s) bewirkt eine Multiplikation der i–ten Zeile mit
dem skalaren Faktor s.
(2) Eine Multiplikation von links mit E ij (r) bewirkt eine Addition der r–fachen j–ten Zeile
zur i–ten Zeile.
(3) Eine Multiplikation von links mit T ij bewirkt eine Vertauschung von i–ter und j–ter Zeile.
Analog: Spaltenumformung durch Multiplikation von rechts.
3.4.3 Folgerung. (Invarianz unter elementaren Umformungen)
Bei elementaren Spalten– bzw. Zeilenumformungen ändert sich der Spalten– bzw. Zeilenraum
nicht. Daher bleibt der Rang bei Spaltenumformungen gleich. Außerdem ändert sich bei elementaren
Zeilenumformungen der Kern der zugehörigen linearen Abbildung nicht. Wegen der
Kern-Bild-Dimensionsformel bleibt auch hier der Rang erhalten.
Umformungen vom Typ 3 lassen sich auf Typ 1 und 2 zurückführen.
3.4.4 Satz. (Zeilenstufenform)
Jede Matrix A läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf sogenannte Zeilenstufenform
bringen. Genauer gibt es eine invertierbare Matrix C mit
⎛
⎞
1 0 ⋆ 0 0 ⋆ 0 ⋆
0 1 ⋆ 0 0 ⋆ 0 ⋆
. 0 0 1 0 ⋆ 0 ⋆
. 0 1 ⋆ 0 ⋆
CA =
.
. 0 0 1 ⋆
. 0 0
⎜
⎝ .
. . ⎟
⎠
0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0
Falls A invertierbar ist, gilt insbesondere CA = E, also C = A −1 .
Im nächsten Abschnitt über lineare Gleichungssysteme werden wir genauer beschreiben, wie
die Umformung auf Zeilenstufenform vor sich geht. Insbesondere ist damit dann ein Verfahren
zur Berechnung der inversen Matrix A −1 gegeben.
3.4.5 Definition. (Dreiecksmatrizen)
Eine obere (bzw. untere) Dreiecksmatrix ist eine Matrix A = (a ij ) ∈ K n×n mit a ij = 0 für i > j
(bzw. i < j). Eine Diagonalmatrix ist sowohl obere als auch untere Dreiecksmatrix, d. h. von

KAPITEL 3. MATRIZEN 48
der Form
D = diag (r 1 , . . . , r n ) =
⎛
⎜
⎝
⎞
r 1 0
. .. ⎟
⎠ .
0 r n
3.4.6 Folgerung. (Trigonalisierung quadratischer Marizen)
Jede quadratische Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen in eine obere Dreiecksmatrix
transformieren.
3.4.7 Definition. Zwei Matrizen A, A ′ ∈ K m×n heißen äquivalent, in Zeichen A ∼ A ′ , falls
es invertierbare Matrizen B und C mit A ′ = CAB gibt.
Der Name ist gerechtfertigt, denn ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf K m×n .
3.4.8 Definition. (Normalform)
Eine Matrix der Form
( )
Er m,n Er 0
:=
∈ K m×n
0 0
heißt Normalform einer Matrix A, falls A ∼ Er
m,n gilt. Speziell ist En
n,n = E n die n–reihige
Einheitsmatrix mit dem Rang n, und E m,n
0 = O ist die m × n–Nullmatrix mit dem Rang 0.
3.4.9 Beispiel. r = 2, m = 3 und n = 4:
⎛
⎞
1 0 0 0
E 3,4
2 = ⎜
⎝ 0 1 0 0 ⎟
⎠ , Rang E3,4 2 = 2.
0 0 0 0
3.4.10 Satz. (Normalform und Rang)
Eine Matrix A ∈ K m×n hat genau dann Rang r, wenn sie zu Er
m,n äquivalent ist. In diesem
Fall lässt sich A durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen in Er
m,n transformieren.
Folglich sind zwei Matrizen genau dann äquivalent, wenn sie gleichen Rang bzw. gleiche Normalform
haben.
Speziell ist eine quadratische Matrix A aus K n×n genau dann invertierbar, wenn sie zur Einheitsmatrix
E n äquivalent ist (also Rang n hat).
Zwei unmittelbare, aber keineswegs triviale Konsequenzen:
3.4.11 Folgerung. (Spaltenrang = Zeilenrang)
Für jede Matrix A gilt Rang A = Rang A T .
3.4.12 Folgerung. (Produktdarstellung invertierbarer Matrizen)
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie ein Produkt von Elementarmatrizen ist.

KAPITEL 3. MATRIZEN 49
3.5 Lineare Gleichungssysteme
Zur Erinnerung: Der Zeilenraum bzw. Spaltenraum einer Matrix ist der Unterraum, der von
den Zeilen bzw. Spalten der Matrix erzeugt wird. Der Spaltenraum ist also nichts Anderes als
das Bild der Matrix. Den Kern der Matrix nennt man auch Nullraum.
Die Matrixschreibweise ermöglicht nun eine kompakte Darstellung linearer Gleichungssysteme:
3.5.1 Definition. (Lineare Gleichungssysteme)
Ein System von Gleichungen der Form
a 11 x 1 + ... + a 1n x n = b 1
.
.
.
a m1 x 1 + ... + a mn x n = b m
heißt lineares Gleichungssystem.
In Matrixschreibweise mit A = (a ij ) ∈ K m×n , x ∈ K n , b ∈ K m lautet es:
Ax = b,
wobei A und b gegeben sind und x gesucht ist. Die Lösungen bilden den Lösungsraum.
Im Falle b = 0 heißt das Gleichungssystem homogen.
3.5.2 Satz. (Lösungsraum)
Das lineare Gleichungssystem
Ax = b mit A ∈ K m×n und b ∈ K n
ist genau dann lösbar, wenn der Rang von A gleich dem Rang der „geränderten” Matrix (A, b)
aus K m×(n+1) ist. Der Lösungsraum ist ein affiner Teilraum.
Jede Lösung setzt sich additiv aus einer speziellen Lösung von Ax = b und allen Lösungen des
homogenen Gleichungssystems Ax = 0 zusammen, die einen Unterraum von K n bilden.
Um ein konkret vorgegebenes lineares Gleichungssystem zu vereinfachen und schließlich zu
lösen (oder seine Unlösbarkeit festzustellen), nimmt man elementare Zeilenumformungen vor:
(1) Zeilenvertauschungen,
(2) Multiplikation einer Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl,
(3) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.
3.5.3 Lemma. (Invarianz von Rang und Lösungsraum)
Bei elementaren Zeilenumformungen bleibt sowohl der Zeilenraum als auch der Lösungsraum
unverändert, sofern man alle Umformungen nicht nur auf die Matrix A, sondern auch auf die
„rechte Seite” b anwendet.
Denn elementare Zeilenumformungen werden durch Multiplikation von links mit enstprechenden
Elementarmatrizen C bewirkt, und da diese invertierbar sind, gilt Ax = b ⇔ CAx = Cb.

KAPITEL 3. MATRIZEN 50
3.5.4 Algorithmus. (Gauß–Jordansches Eliminationsverfahren)
Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem Ax = b. Mit dem folgenden, nach den Mathematikern
Gauß und Jordan benannten Verfahren erzeugt man so viele Nullen, dass die Lösung am
Schluss „vom Himmel fällt”. (Alle Umformungen sind auch an der rechten Seite vorzunehmen!)
1. Schritt: „Regentropfen”
Falls die erste Spalte nur Nullen enthält, geht man
gleich zur zweiten Spalte über. Andernfalls bringt man
mit Hilfe der Umformungen (1) und (2) eine 1 in die
linke obere Ecke. Jetzt macht man mittels (3) alle Einträge
unter der ersten 1 zu 0.
Mit der nächsten Spalte verfährt man ebenso, indem
man zunächst eine 1 an die zweitoberste Stelle bringt
oder zur dritten Spalte übergeht. Man setzt das Verfahren
fort, bis eine „Zeilenstufenform” entstanden
ist, bei der unterhalb der Stufen nur Nullen und an
den Stufenabsätzen jeweils Einsen stehen.
2. Schritt: „Querschuss”
Jetzt kann man bereits eine Basis für der Zeilenraum
der Matrix A und den Rang ablesen: Er ist
gleich der Stufenzahl. Durch waagerechten Vergleich
testet man, ob bei jeder Nullzeile der Matrix
auch das entsprechende Element der rechten
Spalte gleich 0 ist. Falls ja, läßt man diese Zeilen
weg. Andernfalls hat das Gleichungssystem
keine Lösung und der Algorithmus ist beendet.
0
0
❄0
000 ✲
1
1
0
1
1
A
1
1
0 0 ?
b
3. Schritt: „Luftblasen”
Analog zu Schritt 1 gewinnt man durch Erzeugung
von Nullen aufwärts über den „Stufen-Einsen” Einheitsvektoren
in den Stufenspalten.
✻ 0 0
0
1 0
1
0
0
1
4. Schritt: „Einschub”
Für jede fehlende Stufe ergänzt man einen negativen
Einheits–Zeilenvektor, so dass eine quadratische obere
Dreiecksmatrix mit den Werten ±1 auf der Diagonale
entsteht.
5. Schritt: „Streichresultat”
Alle Spalten mit „Diagonal-Eins” werden gestrichen.
Ergebnis:
Die übrig bleibenden Spalten bilden eine Basis des
Lösungsraums U des homogenen Gleichungssystems
Ax = 0 . Der Lösungsraum des Gleichungssystems
Ax = b ist der affine Teilraum c + U, wobei c der
zuletzt erhaltene Spaltenvektor auf der rechten Seite
ist.
1 ∗ 0 ∗ 0 ∗
0 -1 0 0 0 0
1 ∗ 0 ∗
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0
1
0
∗
-1
∗ ∗ ∗
-1 0 0
∗ ∗
0
0 0
-1 0
∗
-1
0
0
0
c

KAPITEL 3. MATRIZEN 51
3.5.5 Bemerkung. (Orthogonalräume als Lösungsräume)
Eine geordnete Basis B = (b 1 , ..., b n ) eines Unterraumes U von K m kann man als m×n-Matrix
auffassen, und der Orthogonalraum U ⊥ ist der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems
B T x = 0 .
Umgekehrt ist für jedes homogene Gleichungssystem Ax = 0 der Lösungsraum der Orthogonalraum
des Spaltenraumes von A T . Dies bestätigt die Ranggleichung Rang A = Rang A T .
3.5.6 Beispiel. (Basis eines Orthogonalraumes zur Raumdiagonalen)
Gesucht ist eine Basis des Orthogonalraumes zu der Geraden durch (1, 1, 1) bzw. (1, 1, 1) T .
Nur der vorletzte und letzte Schritt des Gauß-Jordan-Verfahrens ist hier noch zu vollziehen.
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 1
1
1
⎜
⎝ 0 −1 0 ⎟
⎠ , L = R ⎜
⎝−1
⎟
⎠ + R ⎜
⎝ 0 ⎟
⎠ .
0 0 −1
0 −1
Der Orthogonalraum hierzu wird wegen U ⊥⊥ = U von dem Ausgangsvektor (1, 1, 1) erzeugt.
Das kann man durch nochmaliges Lösen eines Gleichungssystems bestätigen. Wir schreiben
die Basisvektoren des Lösungsraumes L als Zeilen:
( )
1 −1 0
.
1 0 −1
Regentropfen: Subtraktion der ersten von der zweiten Zeile liefert
( )
1 −1 0
.
0 1 −1
Luftblasen: Addition der zweiten Zeile zur ersten ergibt
( )
1 0 −1
.
0 1 −1
Einschub des negativen dritten Einheitsvektors führt auf die quadratische Matrix
⎛
⎞
1 0 −1
⎜
⎝ 0 1 −1 ⎟
⎠
0 0 −1
... und deren letzte Spalte erzeugt den Lösungsraum von Ax = 0 . Das ist bis auf das Vorzeichen
wieder der (transponierte) ursprüngliche Vektor.
3.5.7 Beispiel. (Symmetrische Durchlaufmatrizen)
Wir betrachten die Gleichungssysteme Ax = 0 mit den quadratischen Matrizen A = (a ij ),
wobei a ij = i + j − 1. Die entsprechende 4×4–Matrix sieht so aus:
⎛
⎞
1 2 3 4
2 3 4 5
.
⎜
⎝ 3 4 5 6 ⎟
⎠
4 5 6 7

KAPITEL 3. MATRIZEN 52
Wir lassen die Regentropfen fallen, subtrahieren also Vielfache der ersten Zeile von den anderen
Zeilen und multiplizieren diese anschließend mit −1:
⎛
⎞
1 2 3 4
0 1 2 3
.
⎜
⎝ 0 2 4 6 ⎟
⎠
0 3 6 9
Addition von negativen Vielfachen der zweiten Zeile zu den darunterliegenden erzeugt mehrere
Nullzeilen. Wir lassen diese weg und erhalten eine Basis des Zeilenraumes:
( )
1 2 3 4
.
0 1 2 3
Bleibt noch ein Luftblasenschritt:
( )
1 0 −1 −2
.
0 1 2 3
Jetzt der Einschub der negativen Einheitsvektoren:
⎛
⎞
1 0 −1 −2
0 1 2 3
.
⎜
⎝ 0 0 −1 0 ⎟
⎠
0 0 0 −1
Und schließlich ergibt Streichen der Spalten mit Diagonal-Einsen eine Basis des Lösungsraumes,
der wegen A = A T der Orthogonalraum des Spaltenraumes ist!
⎛ ⎞
−1 −2
2 3
.
⎜
⎝−1 0 ⎟
⎠
0 −1
Im Falle invertierbarer Matrizen ist das Gauß-Jordan-Verfahren ebenfalls sehr nützlich:
3.5.8 Folgerung. (Matrizeninversion) Für A ∈ K n×n sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) A ist invertierbar.
(b) Ax = 0 ist nur trivial (durch x = 0 ) lösbar.
(c) Ax = b ist universell (für jedes b ∈ K n ) lösbar.
(d) Ax = b ist universell eindeutig lösbar (durch x = A −1 b).
Sind diese Bedingungen erfüllt, so hat für jede Matrix B ∈ K n×m die Matrixgleichung AX = B
die eindeutige Lösung X = A −1 B. Man findet sie, indem man auf A und B genau die gleichen
elementaren Zeilenumformungen anwendet, bis aus A die Einheitsmatrix wird. Aus B ist dann
die Lösungsmatrix X = A −1 B geworden. Speziell ergibt sich für B = E die Inverse A −1 .
Dieses Verfahren deckt auch auf, ob es sich überhaupt um eine invertierbare Matrix handelt:
Ergeben Umformungen eine Nullzeile, so ist Rang A < n, die Matrix also nicht invertierbar.

KAPITEL 3. MATRIZEN 53
3.5.9 Beispiel. (Hilbert-Matrizen)
Diese nach dem Mathematiker David Hilbert benannten Matrizen spielen in zahlreichen Anwendungen
eine wichtige Rolle und sind definiert durch
H n = (h ij ) ∈ R n×n mit h ij =
1
i + j − 1 .
Sie sind stets invertierbar, obwohl die Zeilen „fast” linear abhängig sind: Die Winkel zwischen
je zwei Zeilenvektoren sind sehr klein. Die inverse Hilbertmatrix Hn
−1 hat stets alternierende
ganzzahlige Einträge, die betragsmäßig riesengroß werden! Wir rechnen den Fall n = 3 durch:
1
1
2
1 1
2 3
1 1
3 4
1
1
2
0
1
12
0
1
12
1
1
2
H 3 E 3
1
3
1
4
1
5
1
3
1
12
4
45
1
3
0 1 1
0 1
16
15
1
1
2
1
3
0 1 1
0 0
1
15
1
1
2
1
3
0 1 1
0 0 1
1
1
2
0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
E 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
− 1 2
1 0
− 1 3
0 1
1 0 0
−6 12 0
−4 0 12
1 0 0
−6 12 0
2 −12 12
1 0 0
−6 12 0
30 −180 180
−9 60 −60
−36 192 −180
30 −180 180
9 −36 30
−36 192 −180
30 −180 180
Als Kuriosität und zur Demonstration, wie groß die Koeffizienten der inversen Hilbert-Matrizen
werden, sei hier noch die explizite Formel erwähnt:
Unter Verwendung der Binomialkoeffizienten ( n) k =
n!
k!(n−k)!
gilt:
( )( )( ) 2
n + i − 1 n + j − 1 i + j − 2
Hn −1 = (g ij ) mit g ij = (−1) i+j (i + j − 1)
.
n − j n − i i − 1
H −1
3

KAPITEL 3. MATRIZEN 54
3.5.10 Beispiel. (Inversion einer 2×2–Matrix)
Wir testen die Wirkung des Gauß-Jordan-Algorithmus bei der Inversion einer beliebigen 2×2–
Matrix. In die linke Spalte schreiben wir die jeweilige Multiplikation von links mit der geeigneten
Elementarmatrix.
Mult. A E ∆ = ad − bc Mult. A E
v. l. (a ≠ 0) v. l. (a = 0)
1
a
0
0 1
1 0
−c 1
1 0
0
a
∆
1 − b a
0 1
a
c
b
d
b
1
a
c d
b
1
a
∆
0
a
b
1
a
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1
a
0
0 1
1
a
0
− c a
1
− c ∆
d
∆
− c ∆
1
a
0
a
∆
− b ∆
a
∆
E A −1 A −1 = 1 ∆
A invertierbar ⇔ ∆ ≠ 0
(
d −b
0 1
1 0
1
c
0
0 1
1 0
0
1
b
1 − d c
0 1
0 b
c
c
d
d
0 b
1
d
c
0 b
1
d
c
0 1
Hieraus resultieren unmittelbar die Darstellungen als Produkte von Elementarmatrizen:
A −1 =
A −1 =
(
1 −
b
a
0 1
(
1 −
d
c
0 1
) (
1 0
a
0
∆
) (
1 0
0
1
b
) (
1 0
−c 1
) ( 1
c
0
0 1
und daraus durch nochmalige Inversion
( ) ( ) (
a 0 1 0 1 0
A =
0 1 c 1
A =
(
0 1
1 0
) (
c 0
0 1
0
∆
a
) (
1 0
0 b
−c
) ( 1
a
0
0 1
) (
0 1
1 0
) (
1
b
a
0 1
) (
1
d
c
0 1
a
)
)
)
)
)
(a ≠ 0, ∆ ≠ 0)
1 0
0 1
E
(a = 0, b ≠ 0 ≠ c)
(a ≠ 0, ∆ ≠ 0)
(a = 0, b ≠ 0 ≠ c)
1 0
0 1
0 1
1 0
0
1
c
1 0
1
0
c
1
b
0
− d bc
1
c
1
b
0
Für die letzten beiden Gleichungen beachte man, dass sich beim Invertieren eines Produkts
die Reihenfolge der invertierten Faktoren umkehrt, und dass folgende Regeln allgemein für die
Inversion von Elementarmatrizen gelten:
E ij (r) −1 = E ij (−r) (i ≠ j)
D i (s) −1 = D i (s −1 )
T −1
ij
= T ij
A −1