6.4 Stetige Funktionen

6.4 Stetige Funktionen
Eine Funktion f heißt stetig im Punkt a , falls sie dort definiert ist und folgende Gleichung erfüllt:
lim x/a
f x = f a
Ist dies für alle Punkte des Definitionsbereichs A erfüllt, so nennt man f eine (auf A) stetige Funktion.
Anschaulich erkennt man solche Funktionen daran, dass man sie "in einem Zug" durch zeichnen kann,
ohne abzusetzen.
Entsprechend sind linkseitige und rechtsseitige Stetigkeit eindimensionaler Fuktionen definiert.
Wie man sofort sieht, bedeutet für eine Funktion in einer Variablen Stetigkeit im Punkt a, daß sie dort
sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist.
Gehört ein Punkt a nicht zum Definitionsbereich von f und gilt
lim x/a
f x = c ,
so sagt man, f sei im Punkt a stetig ergänzbar (durch f a
= c).
Bei der konkreten Überprüfung der Stetigkeit arbeitet man meist mit dem
Folgenkriterium
Eine Funktion f ist genau dann stetig in einem Punkt a des Definitionsbereichs, wenn für jede gegen a
konvergente Folge x n
die Bildfolge f x n
gegen f a konvergiert.
Besonders geeignet ist das Folgenkriterium zum Nachweis, dass eine Funktion in bestimmten Punkten a
nicht stetig ist: Dazu muss man nur eine einzige gegen a konvergente Folge angeben, deren Bildfolge
nicht gegen f a konvergiert.
Wir betrachten zunächst Funktionen in einer Variablen.
Beispiel 1: Die Gaußklammer
ordnet jeder reellen Zahl x die größte unter x liegende ganze Zahl x zu.
Diese Funktion ist in allen nicht ganzzahligen Punkten stetig; in den ganzzahligen Punkten ist sie
rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig.

Beispiel 2: Die Diracsche Sprungfunktion
d x = 0 für x s 0 und d x = 1 für x = 0
ist im Nullpunkt weder linkseitig noch rechtsseitig stetig, da sowohl der links- als auch der rechtsseitige
Grenzwert bei Annäherung an 0 gleich 0, also verschieden vom Funktionswert 1 ist.
Beispiel 3: Die Signum-Funktion
hat für negative Argumente den Wert -1, für positive den Wert 1, und an der Stelle 0 den Wert 0.
Hier existiert der links- und der rechtsseitige Grenzwert bei 0, aber diese beiden Grenzwerte stimmen
nicht überein. Wenn man 0 aus dem Definitionsbereich wegläßt, ist diese Funktion also bei 0 nicht stetig
ergänzbar.

Beispiel 4: Oszillation in der Nähe des Nullpunkts
Auch die für x s 0 definierte und stetige Funktion
1
f x = sin
x
ist an der Stelle 0 nicht stetig ergänzbar, da sie in deren Nähe immer stärker zwischen -1 und 1 oszilliert.
Konkret nimmt man zur Widerlegung der stetigen Ergänzbarkeit z.B. die Nullfolge
2
x n
=
2 n C1
und bekommt die divergente Bildfolge
f x n
= sin
2 n C1
2
= K1 n .
1,0
0,5
K3 K2 K1 1 2 3
K0,5
x
Beispiel 5: Stetigkeit trotz Oszillation
K1,0
Im Gegensatz zum vorigen Beispiel ist sowohl die Funktion
x sin
1
x
als auch die Funktion
1
x sin x
stetig an der Stelle 0 ergänzbar, und zwar im ersten Fall durch den Funktionswert 0 und im zweiten Fall
durch 1. Beide Funktionen sind auf dem gesamten Definitionsbereich stetig.
Bei Annäherung an N ergibt sich:
lim
x/N
sin x
x
= 0 , lim x/N
x sin
Zum Beweis der zweiten Gleichung beachte man
1
x
= 1.
lim
x/N x sin 1
x
= lim
y/0C
sin y
y
1,0
0,6
0,2
.
sin(x)/x
xsin(1/x)
K4 K3 K2 K1 K0,2 1 2 3 4
x

Die Einsetzregel
sichert, daß man Grenzprozesse ineinander einsetzen darf:
lim x/a
f x = c und lim y/c
h y = d impliziert lim x/a
h f x = d ,
sofern entweder h c = d gilt, also h an der Stelle c stetig ist, oder c gar nicht im Definitionsbereich von
h liegt.
Insbesondere ist die Hintereinanderschaltung von stetigen Funktionen wieder stetig:
Ist f stetig in a und h stetig im Bildpunkt f a , so ist h + f wieder stetig in a.
Wir wollen die Einsetzregel wegen ihrer großen Wichtigkeit kurz beweisen:
Zu jeder Umgebung W von d gibt es eine Umgebung V von c, die durch h in W abgebildet wird; und zu
diesem V gibt es eine Umgebung U von a, so daß U ohne a von f in V, also von h + f in W abgebildet
wird. (Dabei meinen wir mit "f bildet U in V ab", daß für jedes zum Definitionsbereich gehörige x aus U
das Bild f x in V liegt.)
Wir haben die Einsetzregel intuitiv schon mehrfach angewandt, zum Beispiel bei der
Vertauschung von Grenzwerten mit Produkten
Was Inge mit der Abschätzung beim Ausmessen der Platte bewiesen hatte, ist die Gleichung
lim f x, y = a b .
x, y / a, b
Nach Umbenennung der Variablen wird daraus
lim
y, z / c, d f y, z = c d
und nun liefert die Einsetzregel, angewandt auf die Funktionen
die Implikation
F x = f x , g x und h y, z = y z ,
lim x/a
f x = c und lim x/a
g x = d => lim x/a
f x g x = cd .

Beispiel 6: Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion
Mehrfache Anwendung der Einsetzregel liefert
2 x K x K4
lim x/0
x 3 C C x
2
= 9 2
, lim x/1
2 x K x K4
x 3 C C x
In kleineren Bereichen sieht die Funktion folgendermaßen aus:
2
= 1.
2,0
1,5
y
1,0
0,5
0
0 1 2 3 4 5
x
Der Schein trügt: Für große Argumente strebt diese Funktion nicht gegen 0, sondern gegen N !
Denn 2 x wächst viel schneller als jede Potenz von x. Also:
10
8
lim
x/N
2 x K x K4
x 3 C C x
2
= N .
y
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12
x
Daß man die Einsetzregel nicht bedingungslos ohne die genannten Voraussetzungen anwenden darf,
zeigt folgendes Beispiel:

Beispiel 7: Eine unstetige Grenzwertbetrachtung
Die Funktion f mit
f x = x sin
1
x
für x s 0 und f 0 = 0
ist überall stetig (siehe Beispiel 5) und erfüllt insbesondere
lim f x = 0 .
x/0
Für die Diracfunktion d (siehe Beispiel 2) mit
d x = 0 für x s 0 und d 0 = 1
gilt ebenfalls
lim x/0
d x = 0 .
Aber d ist unstetig in 0, und d + f konvergiert überhaupt nicht bei Annäherung an 0:
Denn für x n
= 1
n
aber für y n
=
1
2 n C0.5
ist f x n
= 0 , also h f x n
= 1 ,
ist f y n
= y n
, also h f y n
= 0 .
h(xsin(1/x))
xsin(1/x)
h(xsin(1/x))
Zusammenfassung
Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte gilt:
Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Verknüpfung (Hintereinanderschaltung) stetiger
Funktionen sind (soweit definiert) wieder stetig.
Mit diesen Regeln kann man aus einfachen stetigen Funktionen viele neue zusammensetzen. Z.B. ist
jedes Polynom und jede rationale Funktion (d.h. jeder Quotient zweier Polynome) stetig.
Beachten Sie, daß z.B. die Funktion 1 in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist, obwohl der
x
Grenzwert bei 0 nicht existiert (dort ist die Funktion aber gar nicht definiert).

Beispiel 8: Die trigonometrischen Funktionen
Sinus sin x ,
Cosinus cos x ,
Tangens tan x ,
Cotangens cot x
sind in ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig.
6
cot
4
tan
2
cos
sin
K6 K4 K2 0 2 4 6
x
K2
K4
K6
Daß z.B. die Sinusfunktion überall stetig ist, sieht man mit der trigonometrischen Summenformel
sin x Ksin a = 2 cos
x Ca x Ka
sin
2
2
und den Abschätzungen
cos
x Ca
2
% 1 und sin
x Ka
2
% x Ka
2
.
Zusammen liefern sie
sin x Ksin a % x Ka ,
so daß man mit = arbeiten kann. Ähnlich geht es mit dem Cosinus, und wegen
tan x = sin x
cos x
und cot x = cos x
sin x
sind dann auch Tangens und Cotangens in ihrem Definitionsbereich stetig:
tan(x) ist für x s n C 1 2
definiert, cot(x) für x s n .

Beispiel 9: Die natürliche Exponentialfunktion
ist definiert als Grenzfunktion
N
e x = >
k= 0
x
k
k!
x
=lim n/N
s n
x mit s n
x =
k=
> k
0 k!
n
= 1 + x + x2
2
+ ... +
xn
n! .
Die Konvergenz dieser Reihe folgt unmittelbar aus dem Quotientenkriterium: Die Quotienten
x n C1 n!
n C1 ! x n =
x
n C1
konvergieren gegen 0. Definitionsgemäß ist e 0 = 1 und e 1 = e, die Eulersche Zahl.
Die Exponentialfunktion wird uns noch viel beschäftigen (siehe insbesondere 4.4). Wir nehmen hier eine
ihrer wichtigsten Eigenschaften vorweg, die
Funktionalgleichung
e x Cy = e x e y .
Aus ihr folgt induktiv die Gleichung
e x = e x
für alle natürlichen Exponenten und dann auch für alle rationalen Exponenten x, was den Namen
"Exponentialfunktion" rechtfertigt.
Aus der Dreiecksungleichung erhält man für 0 < x % 1 die Abschätzung
N
k
N
x
e x K1 % >k= < x
1
>
1
= x eK1
k!
k= 1 k!
und damit schon einmal die Stetigkeit im Nullpunkt. Für beliebiges a ergibt sich nun
lim x/a
e x Ka K1 = 0
und daraus mit der Funktionalgleichung die Stetigkeit in jedem Punkt a:
lim x/a
e x Ke a = lim x/a
e a e x Ka K1 = 0 .
5
4
e(x)
s4(x)
e(x)
s2(x)
3
2
1
s1(x)
K4 K3 K2 1 2 3
s3(x) x K1
K2

Die Exponentialfunktion ist also in jedem Punkt stetig. Daher sind auch alle aus Exponentialfunktionen
durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zusammengesetzten Funktionen stetig,
insbesondere die sogenannten "hyperbolischen" Funktionen (die trotz des Namens keine Hyperbeln
darstellen):
e x Ke Kx
der Sinus hyperbolicus sinh x = ,
der Cosinus hyperbolicus
der Tangens hyperbolicus
cosh x =
2
e x Ce Kx
2
tanh x = sinh x
cosh x
der Cotangens hyperbolicus coth x = cosh x
sinh x
,
.
,
3
cosh
2
1
sinh
coth
tanh
K3 K2 K1 0 1 2 3
x
K1
coth
K2
K3
Für die Praxis besonders nützlich ist der
Zwischenwertsatz
Eine auf dem Intervall [a,b] stetige reellwertige Funktion f nimmt jeden Wert zwischen f a und f b
an.
Er stellt z.B. sicher, daß eine stetige Funktion mindestens eine Nullstelle hat, falls sie sowohl positive als
auch negative Werte annimmt. Insbesondere ist das für jedes Polynom ungeraden Grades der Fall.
Auch die Existenz n-ter Wurzeln aus positiven Zahlen c ist damit gesichert, denn die Monome x n sind
stetig, haben den Wert 0 für x = 0 und werden für große x beliebig groß, insbesondere größer als c.

5
4
3
2
1 x 5
0
0 0,5 1,0 1,5 2,0
x
x 5 5
= 3 x = 3
Das Halbierungsverfahren
liefert für jede auf einem Intervall [a,b] stetige Funktion f und jedes c zwischen f a und f b gute
Näherungen für die Lösung der Gleichung f x = c,
und zusätzlich einen konstrukiven Beweis für den Zwischenwertsatz:
Ist f a ! c < f b , so stellt man fest, ob der Funktionswert f m in der Mitte m = a Cb
2
größer oder kleiner als c ist (im dritten Fall f m = c hat man eine Lösung gefunden).
Im ersten Fall beschränkt man sich nun auf das Intervall [a,m], im zweiten auf das Intervall [m,b] und
setzt das Verfahren mit dieser halbierten Strecke fort.
Eine gegen die gesuchte Lösung x konvergente Folge m n
liefert das Halbierungsverfahren durch folgende
rekursive Festsetzung:
a 0
:= a , b 0
:= b , m 0
:= a 0 Cb 0
,
2
...
a n C1
:= m n
und b n C1
:= b n
, falls f m n
% c,
a n C1
:= a n
und b n C1
:= m n
, falls f m n
> c , m n C1
:= a n Cb n
2
Dann ist a n
monoton wachsend, b n
monoton fallend, und wegen
a n
% m n
, m n
% b n
und b n
Ka n
= b Ka
2 n
konvergieren alle drei Folgen gegen den gleichen Grenzwert x. Nun ist aber f a n
% c und c % f b n
,
also
f x = lim n/N
f a n
= lim n/N
f b n
= lim n/N
f m n
= c .
.
Der Fall f b
! f a geht analog.

Beispiel 10: Berechnung der fünften Wurzel aus 3
Auf 10 Stellen genau gibt MAPLE dafür den Wert 1.245730940 an.
Wir beginnen mit dem Intervall [1, 1.3] und führen 10 Halbierungsschritte mit der Funktion x 5 durch:
n = 1, f m n
= 2.011357188, a n
= 1.150000000, b n
= 1.300000000
(1)
n = 2, f m n
= 2.758547354, a n
= 1.225000000, b n
= 1.300000000
n = 3, f m n
= 3.207428131, a n
= 1.225000000, b n
= 1.262500000
n = 4, f m n
= 2.976223001, a n
= 1.243750000, b n
= 1.262500000
n = 5, f m n
= 3.090095997, a n
= 1.243750000, b n
= 1.253125000
n = 6, f m n
= 3.032731950, a n
= 1.243750000, b n
= 1.248437500
n = 7, f m n
= 3.004371190, a n
= 1.243750000, b n
= 1.246093750
n = 8, f m n
= 2.990270599, a n
= 1.244921875, b n
= 1.246093750
n = 9, f m n
= 2.997314255, a n
= 1.245507812, b n
= 1.246093750
n = 10, f m n
= 3.000841063, a n
= 1.245507812, b n
= 1.245800781
Umkehrfunktionen
Zur Erinnerung: Eine Funktion f : A / B heißt
injektiv ,
surjektiv , wenn zu jedem y aus B
bijektiv,
höchstens
mindestens ein x aus A mit f x = y existiert.
genau
Im dritten Fall gibt es eine einzige Funktion g : B / A mit
f x = y 5 x = g y .
Diese Funktion g heißt Umkehrfunktion zu f und wird gelegentlich mit f K1 bezeichnet. Man sollte sie
nicht verwechseln mit der durch h x = 1/f x gegebenen Funktion h.
Jede streng monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion ist injektiv, und die Umkehrfunktion ist
(soweit definiert) wieder streng monoton wachsend (bzw. fallend).
Denn für die Umkehrfunktion g mit f x = y 5 x = g y bedeutet
x 1
! x 2
5 f x 1
! f x 2
das Gleiche wie g y 1
! g y 2
5 y 1
! y 2
.
Sehr nützlich ist die keineswegs selbstverständliche Tatsache, daß die Umkehrfunktion einer stetigen
Funktion (soweit sie existiert) wieder stetig ist. Dies folgt aus dem

Satz über monotone Funktionen
Für eine Funktion f zwischen zwei Intervallen [a,b] und [c,d] mit f a = c und f b = d (bzw. f a = d
und f b = c) sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:
(1) f ist surjektiv und streng monoton wachsend (bzw. fallend)
(2) f ist bijektiv und monoton wachsend (bzw. fallend)
(3) f ist injektiv und stetig
und falls diese Bedingungen erfüllt sind, hat auch die Umkehrfunktion diese Eigenschaften.
Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar, da "streng monoton" das Gleiche wie "injektiv und monoton"
bedeutet. (2) => (3) ergibt sich aus der Tatsache, daß für jede monotone Funktion in allen Punkten aus
dem Definitionsbereich der linkseitige und der rechtsseitige Grenzwert existiert (mit Ausnahme von a
und b, wo natürlich nur die Existenz des rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerts verlangt wird). Für (3) =>
(2) nutzt man mehrfach den Zwischenwertsatz aus.
stetig,surjektiv, nicht injektiv, nicht monoton
Potenzfunktionen
f x = x n
unstetig, injektiv, nicht surjektiv, streng monoton wachsend
sind auf jedem Intervall rechts von 0 stetig und streng monoton wachsend (Beweis durch Induktion).

Beispiel 11: Dritte Potenz und Wurzel
Die Funktion f : 0, 2 / 0, 2 mit
f x = x K1 3 C1
ist stetig, streng monoton wachsend und hat wegen
y = x K1 3 C1 y K1 = x K1 3 y K1
die stetige und streng monoton wachsende Umkehrfunktion
1
g y = y K1
3 C1 .
2,0
1,5
1,0
0,5
g
f
1
3 = x K1 y K1
1
3 C1 = x
0
0 0,5 1,0 1,5 2,0
x
Die zuvor diskutierten Funktionen sind allesamt stetig und zumindest auf bestimmten Intervallen streng
monoton. Dort existieren also Umkehrfunktionen, und diese sind wieder stetig und streng monoton. Wir
stellen sie in einer kleinen Liste zusammen.
Tabelle zu Umkehrfunktionen
Funktion
x a e x a x sin cos tan cot sinh cosh tanh coth
Umkehrfunktion
x
1
a
ln x log a
x arcsin arccos arctan arccot Arsinh Arcosh Artanh Arcoth
Beispiel 12: Arcustangens und Tangens hyperbolicus
Diese beiden Funktionen sehen recht ähnlich aus, haben aber verschiedenes Grenzverhalten:
lim
x/N arctan x = 2 ,
lim x/N tanh x = 1 ,
lim arctan x = K x/KN 2 , lim tanh x = K1
x/KN
1,0
arctan
tanh
K4 K2 2 4
K1,0
x