5.3. Richtungsableitungen und partielle Ableitungen

5.3. Richtungsableitungen und partielle Ableitungen
Generell vorgegeben sei eine Funktion f von einer Teilmenge A der Ebene R 2 (oder des Raumes
R 3 oder sogar des n-dimensionalen Raumes R n ) nach R . Weiter sei a ein fester Punkt im Inneren
von A.
Richtungsableitungen
Die Richtungsableitung von f im Punkt a nach einem Vektor v (aus R n ) ist die Ableitung der
Funktion
g( t ) = f ( a + t v )
nach t im Punkt 0 (sofern sie existiert). Anschaulich beschreibt diese Funktion im Fall n = 2 die
Schnittkurve des zu f gehörigen Funktionsgebirges mit der senkrechten Ebene durch den Punkt a in
Richtung v.
Man bezeichnet die Richtungsableitung mit
∂
∂v f( a ) oder f v ( a )
und erhält sie als Grenzwert
∂
=
∂v f( a ) lim f ( a + t v ) − f( a )
.
t → 0 t
Ist v ein Einheitsvektor, so spricht man auch von der Ableitung in Richtung (von) v.
Wie üblich bezeichnen wir im Falle n = 2 (bzw. n = 3) die Koordinaten eines festen Vektors häufig
mit x 0
und y 0
(sowie ggf. z 0
) statt mit a 1
, a 2
usw. Bei den Richtungsvektoren v behalten wir aber die
Koordinatenschreibweise v 1
,v 2
, v 3
... bei.
Der Zusammenhang mit der totalen Ableitung f ' ist sehr einfach:
Satz 1. Ist f im Punkt a differenzierbar, so existieren dort alle Richtungsableitungen, und es gilt
∂
f
∂v ( a ) = f '(a)v (Skalarprodukt der Zeile f '(a) mit der Spalte v !).
Denn in dem Grenzwert
∂
=
∂v f( a ) lim f ( a + t v ) − f( a )
t → 0 t
o( t v)
kann man f ( a + t v ) − f( a ) durch f ' (a) t v + o( t v ) ersetzen, und wegen lim = 0 bleibt nach
t → 0 t
Kürzen von t nur noch f '(a)v übrig.
Beispiel 1: Wir betrachten nochmals die im Nullpunkt (stetig) durch f ( 0,
0)
= 0 ergänzte
Batman-Funktion
x 3 + y 3
f ( x,
y)
=
x + y
Die Richtungsableitungen im Nullpunkt sind sämtlich gleich 0:

d
=
dv f ( 0,
0)
lim →
t 0
3 3
( t v 1
) + ( t v 2
)
⎛
= f ( v , ) =
t ( t v 1
+ t v 2
) 1
v t 2 ⎞
2 ⎜ lim ⎟
⎝ t ⎠
t → 0
0.
Offenbar hat die Schnittkurve im Punkt ( 1.5,
0) einen Knick. Dort sollte die Richtungsableitung
nach v = ( 1,
2) also nicht existieren.
In der Tat sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten
f ( a + t v ) − f( a )
hier verschieden:
t
lim
t → 0-
( 1.5 + t )
3 + 8 t 3
1.5 + t + 2 t
t
− 2.25
( 1.5 + t )
3 + 8 t 3
− 2.25
1.5 + t + 2 t
= 6. , lim
= 0.
t
t → 0+
Entlang der x-Achse (Richtungsvektor v = (1,0) ) ist die Schnittkurve hingegen glatt:
Hier stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten überein:

lim
t → 0-
( 1.5 + t)
3
1.5 + t
t
− 2.25
( 1.5 + t )
3
− 2.25
1.5 + t
= 3. , lim
= 3.
t
t → 0+
Beispiel 2 : Die folgende Funktion ist nur außerhalb der Geraden x = y definiert und auf dieser
Geraden nur im Nullpunkt stetig ergänzbar. Für 0 < x und y < 0 stimmt sie mit der Funktion aus
Beispiel 1 überein.
g ( x,
y)
=
x 3 + y 3
x − y
Bei stark verzerrtem Maßstab ergibt sich folgender Torso (die "Teppichfransen" entstehen durch
die unzureichende Auflösung).

Partielle Ableitungen
Die j-te partielle Ableitung einer Funktion f im Punkt a = (a 1
, ..., a n
) ist die
Richtungsableitung nach dem j-ten Einheitsvektor
e j
= (0,...,1,...,0) , wobei die 1 an der j-ten Stelle steht ( j = 1, ..., n).
Man berechnet sie konkret, indem man alle Variablen außer x j
als Konstante betrachtet und wie im
eindimensionalen Fall die Ableitung nach x j
bildet. Diese partiellen Ableitungen müssen nicht in
allen Punkten des Definitionsbereichs existieren! Für die j-te partielle Ableitung sind mehrere
Schreibweisen üblich:
∂ ∂
f( a ) = f( a ) = f ( )
∂e j ∂ x ej
a = f xj
( a )
j
oder falls die Variablen x, y, z heißen:
∂
=
∂x f( a ) f x ( a ) , ∂
∂y f( a ) = f y ( a ) , ∂
∂z f( a ) = f z ( a ) usw.
(Die unterschiedliche Form der Buchstaben f bzw. f ist eine Eigenheit von MAPLE und hat
keine mathematische Bedeutung).
Nachträglich kann man die zunächst festgehaltene Stelle a wieder variabel machen (und eventuell
in x umbenennen). Man erhält dann neue Funktionen
f xj
bzw. f x
, f y
, f z
usw.
welche die partiellen Ableitungen in allen Punkten, wo sie existieren, beschreiben. Aus Satz 1
schließen wir:
Satz 2. Ist f im Punkt a differenzierbar, so existieren dort alle partiellen Ableitungen, und es gilt
f '(a) = ( f x1
( a ), ... , f xn
( a )).
Die Komponenten des Gradienten sind also gerade die partiellen Ableitungen.
Beispiel 3: Batman again
Wir wissen schon, daß die partiellen Ableitungen der Batman-Funktion f ( x,
y)
=
x 3 + y 3
x + y im
Nullpunkt verschwinden. Außerhalb dieses Punktes muß man je nach dem Vorzeichen von x und y
vier Fälle unterscheiden. Für 0 ≤ x und 0 ≤ y errechnet man
∂
= ,
∂x f ( x,
y ) − y + 2 x ∂
∂y f ( x,
y ) = 2 y − x
während für negatives x und y diese Ableitungen das Vorzeichen wechseln:
∂
= ,
∂x f ( x,
y ) y − 2 x ∂
∂y f ( x,
y)
= − 2 y + x
Die Funktionsgebirge sind in diesen Fällen Ebenen! Haben wir hingegen x ≤
x ≠ y, so erhalten wir
∂
=
,
∂x f ( x,
y )
− 2 x 3 + 3 x 2 y + y 3 ∂
=
( − x + y )
2 ∂y f ( x,
y )
− 3 y 2 x + 2 y 3 − x 3
( − x + y )
2
und schließlich für 0 ≤ x und y ≤ 0 sowie x ≠ y :
0 und 0 ≤ y sowie

Für x = y ≠
∂
=
,
∂x f ( x,
y ) − − 2 x3 + 3 x 2 y + y 3 ∂
=
( − x + y )
2 ∂y f ( x,
y ) − − 3 y2 x + 2 y 3 − x 3
( − x + y )
2
0 existieren die partiellen Ableitungen nicht (dort ist die Fläche geknickt, siehe oben).
Beispiel 4: Batman's Tochter
Für die Funktion
x 3 + y 3
f ( x,
y ) =
x 2 + y 2
ergeben sich außerhalb des Nullpunktes folgende partielle Ableitungen:
∂
=
,
∂x f ( x,
y )
3 x 2
x +
−
2 ( x 3 + y 3 ) x ∂
=
2 y 2 ( x 2 + y 2 )
2 ∂y f ( x,
y )
3 y 2
x +
−
2 ( x 3 + y 3 ) y
2 y 2 ( x 2 + y 2 )
2
Diese Gleichungen sind zunächst nur richtig, falls x ≠ 0 oder y ≠ 0 gilt. Selbst wenn man den
Grenzübergang gegen 0 vollziehen könnte (was hier wegen der Nenner problematisch ist), müßten
dabei nicht die partiellen Ableitungen im Nullpunkt herauskommen, denn diese brauchen ja nicht
unbedingt stetig zu sein (und sind es im vorliegenden Beispiel auch nicht!)
Man muß also im Nullpunkt die Richtungsableitungen direkt über die Limes-Definition bestimmen
- und das ist hier recht einfach, aufgrund der Gleichung f( t v)
= t f( v ).
Funktionen f mit dieser Eigenschaft nennt man homogen. Für jede solche Funktion gilt f( 0)
= 0
und daher
d
=
dv f( 0)
lim f( t v ) − f( 0 )
= f( v ) .
t → 0 t
Die durch homogene Funktionen beschriebenen Flächen kann man sich von einer schwankenden
Kompaßnadel erzeugt vorstellen: Jede senkrechte Ebene durch den Nullpunkt schneidet die Fläche
in einer Geraden.
Fassen wir zusammen:
Satz 3: Die Richtungsableitung einer homogenen Funktion im Nullpunkt nach einem beliebigen
Vektor v ist also der Funktionswert an der Stelle v.
Eine Funktion f von R n nach R m ist genau dann linear (wird also durch die konstante Matrix f '
beschrieben), wenn sie homogen und im Nullpunkt (total) differenzierbar ist.

Denn in diesem Fall gilt ja
d
f ' (0)v = =
dv f( 0)
lim t → 0
f( tv )
t
= f( v ).
Beispiel 5: Eine Schar von Fledermäusen
Wir variieren das vorige Beispiel, indem wir in Zähler und Nenner den Exponenten um die gleich
(gerade) Zahl erhöhen.
All diese Funktionen sind homogen:
f n
( tx,
ty )
=
f n
( x,
y )
=
x ( 2 n + 1 )
+ y ( 2 n + 1 )
x ( 2 n )
+ y ( 2 n )
t ( 2 n + 1 )
x ( 2 n + 1 )
+ t ( 2 n + 1 )
y ( 2 n + 1 )
= t f ( )
2 n n
x,
y .
t ( 2 n )
x ( 2 n )
+ t ( 2 n )
y ( )
Keine von ihnen ist im Nullpunkt differenzierbar (sonst wären sie ja schon linear). Dennoch
existieren alle Richtungsableitungen in beliebigen Punkten. Deren Berechnung ist etwas
kompliziert, läßt sich aber mit unseren bisherigen Mitteln auf die der partiellen Ableitungen
zurückführen. Für n = 20 ergibt sich das unten skizzierte stückweise fast lineare Funktionsgebirge.
∂
=
∂x f n ( x,
y ) x ( 2 n + 1 )
( 2 n + 1 ) 2 ( x ( 2 n + 1 )
+
−
y ( + )
)
x ( x ( 2 n )
+ y ( 2 n )
)
( x ( 2 n )
+ y ( 2 n ) 2
) x
2 n 1 x ( 2 n )
n
∂
=
∂y f n ( x,
y ) y ( 2 n + 1 )
( 2 n + 1 ) 2 ( x ( 2 n + 1 )
+
−
y ( + )
)
y ( x ( 2 n )
+ y ( 2 n )
)
( x ( 2 n )
+ y ( 2 n ) 2
) y
2 n 1 y ( 2 n )
n