Einführung in die kinetische Physik

Einführung in die kinetische Physik
Eine herausragende Eigenschaft eines Plasmas ist das Auftreten von kollektivem
Verhalten wie Debye-Abschirmung, Plasmaoszillationen, etc., die als Folge der
großen Reichweite der elektromagnetischen Felder auftreten. Jedes geladene Teilchen
wirkt als Quelle für das elektrische Feld, jedes bewegte Teilchen führt einen
Strom mit sich und erzeugt so ein Magnetfeld. Diese Felder beeinflussen die
Dynamik von vielen anderen Teilchen, und letztendlich so auch ihre eigene. Die
auftretenden Felder und Bewegungen sind äußerst komplex und sehr schwierig
zu behandeln. Eine selbstkonsistente Behandlung müsste alle Bewegungen aller
Teilchen in mikroskopischem Detail verfolgen und berechnen, was selbst mit
Hochleistungsrechnern eine fast unmögliche Leistung erfordert.
Es ist deshalb sinnvoll, dieses Problem statistisch zu behandeln und die Verteilungen
der Teilchen auf diesem Wege zu behandeln.
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Der Phasenraum
Wollen wir ein Teilchen in einem Gas charakterisieren, so benennen wir neben
Eigenschaften wie Masse, Ladung, Spezies, insbesondere seinen Ort, ⃗x und
seine Geschwindigkeit ⃗v, bzw.seinen Impuls, ⃗p. Besteht ein Gas aus identischen
Teilchen, so reichen die beiden letzten Angaben. Den Raum, der durch die Ortsund
Impulskoordinaten aufgespannt wird, nennt man den Phasenraum. Alle
Zustände des Gases können in ihm dargestellt werden. Allgemeiner entspricht
jedem Freiheitsgrad des Systems eine Dimension im Phasenraum,
(⃗x,⃗p) = (x 1 ,x 2 ,x 3 ,p 1 ,p 2 ,p 3 ).
Beispiel: Ein mathematisches Pendel wird charakterisiert durch Auslenkung und
Geschwindigkeit, sein Phasenraum ist - je nach Normierung - ein Kreis, bzw.eine
Ellipse. Reibung führt zu einer Spirale. Der Phasenraum hat einen Attraktor.
Übung 1. Zeigen Sie dies! In welchem Punkt liegt der Attraktor?
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Exkurs - Dynamische Systeme
Der Phasenraum ist für die Beschreibung von dynamischen Systemen sehr nützlich.
Das qualitative Verhalten des Systems kann damit sehr gut beschrieben
werden. Das klassische Räuber-Beute System wird oft so charakterisiert, aber
auch komplexere physikalische Systeme wie eben Plasmen.
Der Phasenraum wird auch in der Chaostheorie ausgiebig verwendet um das
System zu charakterisieren. Lorenz-Attraktor, Bevölkerungswachstum, Bifurkationen,
etc.können so übersichtlich dargestellt werden.
In der Quantentheorie sind die konjugierten Koordinaten q und p hermitesche
Operatoren in einem Hilbertraum. Klingt kompliziert, ist es auch, und trotzdem
ist es nur ein weiteres Beispiel für einen Phasenraum.
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Die Phasenraumdichte
Wenn wir jedem Teilchen in einem Gas seinen Ort und Impuls zuweisen können,
so können wir das Gas durch seine exakte Phasenraumdichte in jedem Moment
beschreiben:
N∑
F(⃗x,⃗p,t) = δ(⃗x−⃗x i (t))δ(⃗p−⃗p i (t)).
i=1
Dabei wird die Bewegung eines jeden Teilchens durch seine Bewegungsgleichung
beschrieben,
{
d
dt ⃗p i(t) = q i
⃗E m (⃗x i (t),t)+ 1 }
⃗p i (t)× B
m ⃗ m (⃗x i (t),t) ,
i
wo ⃗ E m und ⃗ B m die im jeweiligen Moment und Ort auf das Teilchen wirkenden
mikroskopisch exakten elektrischen und magnetischen Felder sind. Sie werden
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erzeugt inerseits durch evtl.bereits vorhandene externe Felder sowie durch die momentanen
Ladungs- und Stromdichteverteilungen und folgen den mikroskopischen
Maxwellgleichungen:
⃗∇· ⃗E m (⃗x,t) = 1 ε 0
ρ m (⃗x,t) ⃗ ∇· ⃗ Bm (⃗x,t) = 0
⃗∇× ⃗ E m (⃗x,t) = − ∂ ∂t ⃗ B m (⃗x,t)
⃗ ∇× ⃗ Bm (⃗x,t) = µ 0
⃗j m (⃗x,t)+ε 0 µ 0
∂
∂t ⃗ E m (⃗x,t)
Jedes Teilchen ist über die Maxwellgleichungen an die anderen gekoppelt, denn
seine Bewegung verursacht einen mikroskopischen Strom, seine bloße Anwesenheit
trägt zur mikroskopischen Ladungsdichte bei,
ρ m (⃗x,t) =
N∑
∫
q i
F(⃗x,⃗v,t)d 3 v, ⃗j m (⃗x,t) =
N∑
∫
q i
⃗v F(⃗x,⃗v,t)d 3 v,
i=1
i=1
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wo d 3 v das differentielle Volumenelement im Geschwindigkeitsraum ist und die
Summe sich über alle Teilchenspezies und deren exakte Phasenraumdichten F i
erstreckt.
Die Bewegungsgleichung und die Maxwellgleichungen bestimmen das dynamische
Verhalten des Plasmas vollständig. Im Prinzip können nun alle Plasmaphänomene
aus diesem System von gekoppelten Differentialgleichungen berechnet werden.
Analytisch ist dies natürlich etwas schwierig, numerisch auch...
Es wäre günstiger, man könnte direkt die Phasenraumdichte F(⃗x,⃗v,t) berechnen,
diese muss ja schließlich eine erhaltene Größe sein, wenn keine Teilchen erzeugt
oder vernichtet werden.
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Der Satz von Liouville
p
Der Satz von Liouville sagt im Wesentlichen, dass das
im Phasenraum eingenommene Volumen, die Phasenraumdichte,
erhalten bleibt. Man kann sich ein Gas im
Phasenraum als inkompressible Flüssigkeit vorstellen.
Dies ist intuitiv klar weil das Gas ja aus individuellen
Teilchen besteht. So gesehen bedeutet der Satz
von Liouville nichts anderes, als die Erhaltung der
Teilchenzahl. Noch anders ausgedrückt sagt der Satz
von Liouville, dass die Phasenraumdichte f = f(⃗x,⃗p)
erhalten bleibt, bzw.dass für sie die Kontinuitätsgleichung
gilt,
q
df
dt = ∂f
∂t + N
∑
i=1
( ∂f
∂x i
ẋ i + ∂f
∂p i
ṗ i
)
= 0.
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Die Klimontovich-Dupree-Gleichung
Nach dem Satz von Liouville muss also gelten, dass
d
F(⃗x,⃗v,t) = 0, wo
dt
⃗x und ⃗v auch von der Zeit t abhängen. Mit der Kettenregel
d dfdg
f [g(t)] =
dt dg dt .
kann die totale Zeitableitung (das totale Differential) im Phasenraum als Summe
von partiellen Ableitungen geschrieben werden als
d
dt = ∂ ∂t +⃗v · ⃗∇ ⃗x + d⃗v
dt · ⃗∇ ⃗v .
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Dies ist die aus der Hydrodynamik bekannte konvektive Ableitung und gibt die
Änderung einer Größe entlang einer Trajektorie der Flüssigkeit.
Wir ersetzen hier die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit mit der
Bewegungsgleichung und erhalten die Klimontovich-Dupree-Gleichung, welche
die Entwicklung der Phasenraumdichte F zu jeder Zeit beschreibt.
∂F
∂t +⃗v · ⃗∇ ⃗x F + q m
(
⃗Em +⃗v × ⃗ B m
)
· ⃗∇ ⃗v F = 0,
wo die Summen über die einzelnen Teilchenspezies implizit enthalten sind.
Auch diese Gleichungen sind in der Regel nicht mit sinnvollem Aufwand lösbar
und man würde gerne wenigstens den Mittelwert (Erwartungswert) der relevanten
Plasmagrößen berechnen können.
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Die kinetische Gleichung
Einen ersten Schritt in diese Richtung kann man machen, indem man eine
gemittelte Phasenraumdichte f(⃗x,⃗v,t) . = 〈F(⃗x,⃗v,t)〉 definiert. Damit kann die
exakte Phasenraumdichte wiederum ausgedrückt werden durch
F(⃗x,⃗v,t) = f(⃗x,⃗v,t)+δF(⃗x,⃗v,t), wo die Fluktuationen 〈δF(⃗x,⃗v,t)〉 = 0.
Ähnlich kann man die exakten elektrischen und magnetischen Felder durch einen
gemittelten und einen fluktuierenden Teil ausdrücken
⃗E m (⃗x,⃗v,t) = ⃗ E(⃗x,⃗v,t)+δ ⃗ E(⃗x,⃗v,t) und ⃗ B m (⃗x,⃗v,t) = ⃗ B(⃗x,⃗v,t)+δ ⃗ B(⃗x,⃗v,t),
wo 〈δ ⃗ E〉 = 〈δ ⃗ B〉 = 0. Einsetzen in die exakte Klimontovich-Dupree-Gleichung
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liefert die kinetische Gleichung für das Plasma
∂f
∂t +⃗v · ⃗∇ ⃗x f + q m
(
⃗E +⃗v × ⃗ B
)
· ⃗∇ ⃗v f = − q m
〈(
δE ⃗ +⃗v × B ⃗ )
· ⃗∇
〉
⃗v δF
(1)
Diese Gleichung beschreibt nun die Entwicklung der gemittelten Phasenraumdichte
f. Diese beschreibt nun nicht mehr die Verteilung einzelner Teilchen, sondern
die mittlere Verteilung einzelner Teilchen, man kann sie - bis auf eine Normierung
- als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auffassen, in einem bestimmten Phasenraumvolumen
d⃗xd⃗v eine bestimmte Anzahl Teilchen zu finden. Dies hat den
enormen Vorteil, dass man nun nicht mehr jedes einzelne Teilchen verfolgen muss
und nur noch eine Abhängigkeit von ⃗x,⃗v und t besteht.
Das Problem an der kinetischen Gleichung liegt nun auf der rechten Seite, der
Term mit den fluktueirenden Größen ist sehr schwierig zu bestimmen weil er alle
Korellationen zwischen Teilchen und Feldern enthält.
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Die Boltzmanngleichung
Eine mögliche Vereinfachung besteht darin, die Korellationen zwischen Feldern
zu vernachläßigen. Man berücksichtigt nur noch Korellationen unter Teilchen, die
durch Stoßprozesse entstehen und kann dann die kinetische Gleichung schreiben
als
∂f
∂t +⃗v · ⃗∇ ⃗x f + q m
(
⃗E +⃗v × ⃗ B
)
· ⃗∇ ⃗v f =
( ∂f
∂t
)
c
, (2)
wo die rechte Seite nun die Änderung der Verteilungsfunktion f(⃗x,⃗v,t) aufgrund
von Stößen beschreibt. Man nennt diese Gleichung die Boltzmanngleichung,
die rechte Seite heißt Stoßintegral und muss für die Auswertung bekannt sein.
Boltzmann hat dazu den Stoßzahl-Ansatz entwickelt und das Stoßintegral in der
folgenden Form geschrieben
( ) ∂f
∂t
c
=
∫ ∫
g(⃗p 1 −⃗p 2 ,⃗q)(f(⃗x,⃗p 1 +⃗q,t)f(⃗x,⃗p 2 −⃗q,t)−f(⃗x,⃗p 1 ,t)f(⃗x,⃗p 2 ,t))d⃗p 2 d⃗q,
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wo ⃗p i die Impulse der zwei stoßenden Teilchen sind und ⃗q der ausgetauschte
Impuls ist und der Kern g(⃗p 1 −⃗p 2 ,⃗q) die Zwei-Teilchenstöße beschreibt.
Diese Vereinfachung hat eine paradoxe Folge: Im thermodynamischen Gleichgewicht
finden ’keine Stöße mehr statt’! Genauer, das Stoßintegral verschwindet,
weil in diesem Fall gleich viele Stöße einen Impulsübertrag in die eine Richtung
bewirken, wie in die andere Richtung, netto ändert sich also nichts.
Eine einfachere Variante des Stoßintegrals ist der Krooksche Stoßterm,
( ) ∂f
∂t
c
= ν n (f n −f)
für Stöße zwischen einem neutralen Gas (durch f n beschrieben) und geladenen
Teilchen (f). Dieses Stoßintegral ist für ein unvollständig ionisiertes Plasma
zutreffend. Man sieht schön, wie sich die beiden Verteilungsfunktionen angleichen
werden. Im Gleichgewicht verschwindet dann das Stoßintegral.
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Die Vlasovgleichung
FürstoßfreiePlasmen,wie-bisaufdieIonosphäre-diemeistenWeltraumplasmen,
kann das Stoßintegral in der Boltzmanngleichung vernachläßigt werden. Es folgt
die einfachst mögliche kinetische Gleichung, die Vlasovgleichung,
∂f
∂t +⃗v · ⃗∇ ⃗x f + q m
(
⃗E +⃗v × ⃗ B
)
· ⃗∇ ⃗v f = 0. (3)
Sie ist von der Struktur her wieder eine Kontinuitätsgleichung, was bedeutet,
dass die Phasenraumdichte zeitlich unverändert bleibt - eine Folge des Satzes von
Liouville. Trotz ihrer scheinbar einfachen Struktur, ist die Vlasovgleichung immer
noch unglaublich kompliziert. Sie beschreibt ein gekoppeltes System von Differentialgleichungen
im sechs-dimensionalen Phasenraum. Gekoppelt ist das System
weil die Felder ⃗ E und ⃗ B ihrerseits wieder über Ladungs- und Stromdichten ρ und
⃗j durch die Maxwellgleichungen beschrieben werden. Die Ladnungs- und Stromdichten
sind wiederum Geschwindigkeitsintegrale über die Phasenraumdichte f...
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Eine Anwendung: Unmagnetisiertes, stromfreies Plasma
In einem unmagnetisierten, stromfreien Plasma gibt es keine magnetischen Felder
unddaselektrischeFeldkannalsPotentialfeldgeschriebenwerden, E ⃗ = −∇ ⃗ x Φfür
ein Potential Φ. Damit vereinfacht sich das System erheblich. Die Vlasovgleichung
wird zu
∂f
∂t +⃗v · ⃗∇ ⃗x f − q (
⃗∇x Φ)
·
m
⃗∇ ⃗v f = 0
und die Maxwellgleichungen reduzieren sich auf die Poissongleichung
⃗∇ 2 xΦ = 1 ∑
∫
q e,i
ε 0
e,i
f e,i d 3 v.
Offensichtlich ist das System nicht-linear! f kommt im Ausdruck für das Potential
vor und wird in der Vlasovgleichung mit seiner Geschwindigkeitsableitung multipliziert.
Es ist aber lösbar und führt zu einem neuartigen Phänomen bei Wellen,
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der sogenannten Landaudämpfung, deren exakte Behandlung aber über den Stoff
dieser Vorlesung hinausgeht. Sie ist nicht eine Folge der Dämpfung durch Stöße
von Teilchen untereinander, sondern von einer Wechselwirkung der Wellen mit
den Teilchen. Dabei können Wellen Energie und Impuls an Teilchen abgeben
und umgekehrt. Dabei verändert sich die Verteilungsfunktion f, was wiederum
zu einer Änderung in den Strom- und Ladungsdichten führt, was die elektrischen
und magnetischen Felder verändert, was wiederum, ... Sie verstehen...
Offensichtlich treten bei Berücksichtigung kinetischer Effekte neue Phänomene
auf. Wir werden sie aber hier nicht behandeln, sondern, für Interessierte, erst in
ET2.
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Verteilungsfunktionen
In einem homogenen, stationären Plasma kann man die komplizierte Abhängigkeitenvonf
aufdiemeistensinteressierendeGeshwindigkeitsabhängigkeitreduzieren.
Die wichtigste Geschwindigkeitsverteilungsfunktion f(⃗v) ist die für ein Gas im
thermodynamischen Gleichgewicht, die Maxwellverteilung. In drei Dimensionen
( )
n
f(v) =
(π〈v 2 〉) 3/2exp − v2 x+vy 2 +vz
2
〈v 2 〉
( ) 3/2 )
m
f(v) = n exp(− m⃗v2 ,
2πk B T 2k B T
, wo v 2 = v 2 x+v 2 y +v 2 z
wo m die Teilchenmasse und k B T die mittlere thermische Energie ist. Die
Geschwindigkeit 〈v〉 = √ 〈v 2 〉 = √ 2k B T/m ist die mittlere thermische Geschwindigkeit.
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Bewegt sich ein maxwellverteiltes Gas relativ zum Beobachter mit einer Geschwindigkeit
⃗v 0 , so muss man lediglich in dieses System transformieren,
f(⃗v) = n
( m
2πk B T
) 3/2
exp(− m(⃗v −⃗v 0) 2 )
.
2k B T
Dies ist, wie erwartet, einfach eine um ⃗v 0 verschobene Maxwellverteilung. Ist das
Plasma magnetisiert, so tritt oft die Situation ein, dass durch Welle-Teilchen-
Wechselwirkungen die Temperatur parallel und senkrecht zum Magnetfeld nicht
dieselbe ist,
f(v ⊥ ,v ‖ ) =
( ) ( )
3/2
n m
√ exp − mv2 ⊥
− mv2 ‖
.
T ⊥ T‖ 2πk B 2k B T ⊥ 2k B T ‖
Der Beobachter sieht diese Verteilung an sich vorbeikonvektiert.
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Eine andere wichtige Verteilung stellt sich z.B.in der Magnetosphäre ein, wo
Teilchen mit einem kleinen Pitchwinkel tiefer in die Ionosphäre eindringen und
dort verloren gehen. Alle Teilchen in diesem ’Verlustkegel’ um das Magnetfeld
(Pitchwinkel = 0) gehen verloren, die anderen nicht. Es resultiert eine ’Verlustkegelverteilung’
(engl.loss-cone distribution). In der Region um v ‖ befinden sich
weniger Teilchen, als in der Region um v ⊥ , oder gar keine. Solche Verteilungen
ergeben sich auch in sog.ECR Ionenquellen.
Eine weitere, in Weltraumplasmen oft beobachtete Verteilungsfunktion, ist die
sog.Kappa-Funktion, die die oft beobachteten suprathermalen Teilchenpopulationen
besser beschreibt,
f κ (v) =
n Γ(κ+1)
2π(κw κ ) 3/2 Γ(κ−1)Γ(3/2)
(
1+ 1 κ
[ (⃗v −⃗v0 )
w κ
] 2
) −(κ+1)
,
wo w κ = √ (2κ−3)k B T/(κm) die thermische Geschwindigkeit ist.
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Energieverteilungen
Oft ist es sinnvoll, die Verteilung als Energieverteilung darzustellen. Schaut man
sich den Exponenten der Maxwellverteilung an, sieht man, dass dort das Verhältnis
von zwei Energien steht, der kinetischen Energie der Teilchen, (1/2)mv 2 zur
thermischen Energie k B T. Eine solche Darstellung ist besonders sinnvoll, wenn
sich das Gas in einem äußeren Potential befindet. In einem äußeren elektrischen
Potentialfeld ⃗ E = − ⃗ ∇Φ ist die potentielle Energie gegeben durch U = −qΦ und
die Gesamtenergie ist W = mv 2 /2+U.
Am einfachsten macht man die Umrechnung wie folgt. Mit der kinetischen
Energie, E = mv 2 /2 kann man die Geschwindigkeit ausdrücken als v = √ 2E/m.
Wir berechnen vorerst die Geschwindigkeitsverteilung in Polarkoordinaten
n =
∫
f(⃗v)d 3 v = n
∫ ∫ ∫ ( ) 3/2 m
exp(
− m∑ vi
2
2πk B T 2k B T
)
dv 1 dv 2 dv 3
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∫ ∫ ∫ ( ) 3/2 m
= n v sinθexp(
2 − m∑ vi
2
2πk B T 2k B T
)
dθdφdv.
Die Integrale über die Winkel ergeben einfach 4π und was bleibt ist
√
2
f(v) = n
π
( ) 3/2 )
m
v 2 exp(− mv2 .
k B T 2k B T
Für die Verteilungsfunktion muss gelten
f(v)dv = f(v) dv
dE dE. Physik VI - V4 - Seite 21

Wir setzen dv/dE = 1/ √ 2mE ein und erhalten
√ ( ) 3/2
√
2 m 2E 1
f(E) = n
π k B T m
√ ( E 1
= 2n
π k B T
) 3/2
exp(
− E
k B T
(
2mE exp − E
k B T
)
.
)
Diese Verteilungsfunktion heißt Boltzmannverteilung oder auch Maxwell-
Boltzmannverteilung.
Wollen wir sie nun auf eine Teilchenpopulation im äußeren Potential U = −qΦ
anpassen, so brauchen wir nur noch den Ausdruck im Exponenten anzupassen
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und wir erhalten mit W = E +U
f(W) = 2n
√
W −U
π
( ) 3/2 1
exp(
− W )
.
k B T k B T
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Der differentielle Fluss
x 3
ϑ
00000
11111
00000
11111
dA
00000
11111
00000
11111
00000
11111
dω
x 2
ϕ
x 1
Detectoren im Weltraum (und anderswo) messen
natürlich nicht die Phasenraumdichte selber, sondern
eine richtungsabhängige differentielle Intensität,
J(⃗x,E,ϑ,ϕ,t). Damit ist J dA dω dE dt die
Anzahl Teilchen, die aus einem Raumwinkelelement
dω in einem Zeitintervall dt und im Energieintervall
[E,E + dE] das Flächenelement dA durchdringen
(siehe Abb.links). Diese Größe ist mit der
Phasenraumdichte f(v) eng verknüpft, wie wir im
Folgenden sehen werden.
Die Teilchen, die mit Energie [E,E+dE] aus dem Raumwinkel dω um die Richtung
(ϑ,ϕ) auf die Fläche treffen, nehmen im Impulsraum ein Volumenelement
p 2 dp dω ein. Die Anzahl Teilchen, die innerhalb dt auf dA treffen ist gerade die
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Teilchendichte im Ortsraum mal das durch dA v dt aufgespannte Volumen,
dn = dA v dt f p 2 dp dω Teilchenzahlerhaltung −→
dn = J dA dω dE dt.
Mit dE/dp = p/m erhalten wir
J dA dω dE dt = dA v dt f p 2 dp dω
J dE
dp dp = fp2 v dp
J p m dp = f p2 p m dp
J = fp 2 .
Mit einer Messung des Energiespektrums von Teilchen kann man also auch die
Verteilungsfunktion, bzw.Phasenraumdichte messen.
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Makroskopische Größen und Momente der
Geschwindigkeitsverteilungsfunktion
Als i-tes Moment der Verteilungsfunktion wird das folgende Integral bezeichnet
M i (⃗x,t) . =
∫
f(⃗x,⃗v,t)(⃗v) i d 3 v,
wo ⃗v i das i-fache dyadische Produkt bedeutet, ein Tensor mit Rang i. Nur die
paar ersten Momente haben eine physikalische Relevanz, wir werden sie gleich
betrachten.
Das nullte Moment ist die Teilchenzahldichte,
n =
∫
f(⃗v) d 3 v.
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Die mittlere Geschwindigkeit, bzw.die Geschwindigkeit, mit der das Plasma an
einem Beonachter vorbeifließt (engl.bulk velocity) ist das erste Moment,
⃗v bulk = 1 n
∫
⃗v f(⃗v) d 3 v.
Komplizierter wird es ab dem zweiten Moment. Der Drucktensor in einem Plasma
entsteht durch die Fluktuationen um die mittlere Geschwindigkeit,
∫
Π = m
(⃗v −⃗v bulk )(⃗v −⃗v bulk ) f(⃗v) d 3 v
Der Drucktensor kann isotrop sein (z.B.wenn kein Magntfeld vorhanden ist), er
ist aber immer symmetrisch, d.h.in einem geeigneten Koordinatensystem kann er
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immer diagonalisiert werden,
Π =
⎛
⎝ p ⎞
⊥ 0 0
0 p ⊥ 0 ⎠,
0 0 p ‖
wo senkrecht und parallel in der Regel immer zum Magnetfeld gemeint sind.
Manchmal ist auch das nächsthöhere Moment von Interesse,
∫
Q = m (⃗v −⃗v bulk )(⃗v −⃗v bulk )(⃗v −⃗v bulk ) f(⃗v) d 3 v,
ein Tensor mit Rang 3, der Wärmetensor. Während er selber nicht sehr nützlich
ist, ist es seine Spur, der Vektor
∫
q = m (⃗v −⃗v bulk )·(⃗v −⃗v bulk )(⃗v −⃗v bulk )f(⃗v)d 3 v,
Physik VI - V4 - Seite 28

welcher den Wärmefluss in das Plasma beschreibt.
Die Richtung des Wärmeflusses muss nicht unbedingt mit
der Richtung des mittleren Plasmaflusses übereinstimmen.
In einigen Beispielen im Sonnenwind zeigt der Wärmefluss
in Richtung Sonne! Dies deutet dann darauf hin, dass die
Feldlinie, auf der der Beobachter gerade sitzt, verbogen
ist, einen ’Kinken’ besitzt. Solche Situationen treten z.B.in sog.koronalen Massenauswürfen
auf, die eine komplizierte Magnetfeldkonfiguration aufweisen. Mehr
dazu später.
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