Mittelwertsatz der Integralrechnung - imng

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Mittelwertsatz der Integralrechnung - imng

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sind f und g auf [a, b] stetig und besitzt g keinen Vorzeichenwechsel, so

existiert c ∈ [a, b] mit

∫ b ∫ b

fg = f (c) g.

a

a

Mittelwertsatz der Integralrechnung - 1-1


Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sind f und g auf [a, b] stetig und besitzt g keinen Vorzeichenwechsel, so

existiert c ∈ [a, b] mit

∫ b ∫ b

fg = f (c) g.

a

a

y

f

f(c)

a c b

x

Mittelwertsatz der Integralrechnung - 1-2


Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sind f und g auf [a, b] stetig und besitzt g keinen Vorzeichenwechsel, so

existiert c ∈ [a, b] mit

∫ b ∫ b

fg = f (c) g.

a

a

y

f

f(c)

a c b

x

Insbesondere ist, wie in der Abbildung veranschaulicht, ∫ b

a

f = (b − a)f (c).

Mittelwertsatz der Integralrechnung - 1-3


Beweis:

o.B.d.A. g ≥ 0

Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-1


Beweis:

o.B.d.A. g ≥ 0

Abschätzung des Integranden

(min f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max f ) g(x)

[a,b] [a,b]

Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-2


Beweis:

o.B.d.A. g ≥ 0

Abschätzung des Integranden

(min f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max f ) g(x)

[a,b] [a,b]

Integration erhält Ungleichung:

∫ ∫

(min f ) g ≤

[a,b]


fg ≤ (max f )

[a,b]

g

Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-3


Beweis:

o.B.d.A. g ≥ 0

Abschätzung des Integranden

(min f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max f ) g(x)

[a,b] [a,b]

Integration erhält Ungleichung:

∫ ∫

(min f ) g ≤

[a,b]


fg ≤ (max f )

[a,b]

Zwischenwertsatz =⇒

Gleichheit für einen Wert von f zwischen min f und max f

g

Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-4


Beweis:

o.B.d.A. g ≥ 0

Abschätzung des Integranden

(min f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max f ) g(x)

[a,b] [a,b]

Integration erhält Ungleichung:

∫ ∫

(min f ) g ≤

[a,b]


fg ≤ (max f )

[a,b]

Zwischenwertsatz =⇒

Gleichheit für einen Wert von f zwischen min f und max f

Gegenbeispiel bei Vorzeichenwechsel von g:

∫ 1

x 2 dx =

−1

} {{ }

>0

∫ 1

−1

}{{} x · }{{} x dx ≠ c

f g

∫ 1

−1

g

x dx = 0

Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-5

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