Mittelwertsatz der Integralrechnung - imng

Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sind f und g auf [a, b] stetig und besitzt g keinen Vorzeichenwechsel, so
existiert c ∈ [a, b] mit
∫ b ∫ b
fg = f (c) g.
a
a
Mittelwertsatz der Integralrechnung - 1-1

Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sind f und g auf [a, b] stetig und besitzt g keinen Vorzeichenwechsel, so
existiert c ∈ [a, b] mit
∫ b ∫ b
fg = f (c) g.
a
a
y
f
f(c)
a c b
x
Mittelwertsatz der Integralrechnung - 1-2

Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sind f und g auf [a, b] stetig und besitzt g keinen Vorzeichenwechsel, so
existiert c ∈ [a, b] mit
∫ b ∫ b
fg = f (c) g.
a
a
y
f
f(c)
a c b
x
Insbesondere ist, wie in der Abbildung veranschaulicht, ∫ b
a
f = (b − a)f (c).
Mittelwertsatz der Integralrechnung - 1-3

Beweis:
o.B.d.A. g ≥ 0
Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-1

Beweis:
o.B.d.A. g ≥ 0
Abschätzung des Integranden
(min f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max f ) g(x)
[a,b] [a,b]
Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-2

Beweis:
o.B.d.A. g ≥ 0
Abschätzung des Integranden
(min f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max f ) g(x)
[a,b] [a,b]
Integration erhält Ungleichung:
∫ ∫
(min f ) g ≤
[a,b]
∫
fg ≤ (max f )
[a,b]
g
Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-3

Beweis:
o.B.d.A. g ≥ 0
Abschätzung des Integranden
(min f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max f ) g(x)
[a,b] [a,b]
Integration erhält Ungleichung:
∫ ∫
(min f ) g ≤
[a,b]
∫
fg ≤ (max f )
[a,b]
Zwischenwertsatz =⇒
Gleichheit für einen Wert von f zwischen min f und max f
g
Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-4

Beweis:
o.B.d.A. g ≥ 0
Abschätzung des Integranden
(min f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max f ) g(x)
[a,b] [a,b]
Integration erhält Ungleichung:
∫ ∫
(min f ) g ≤
[a,b]
∫
fg ≤ (max f )
[a,b]
Zwischenwertsatz =⇒
Gleichheit für einen Wert von f zwischen min f und max f
Gegenbeispiel bei Vorzeichenwechsel von g:
∫ 1
x 2 dx =
−1
} {{ }
>0
∫ 1
−1
}{{} x · }{{} x dx ≠ c
f g
∫ 1
−1
g
x dx = 0
Mittelwertsatz der Integralrechnung - 2-5