Mittelwertsatz der Integralrechnung - imng
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Beweis:<br />
o.B.d.A. g ≥ 0<br />
Abschätzung des Integranden <br />
(min f ) g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ (max f ) g(x)<br />
[a,b] [a,b]<br />
Integration erhält Ungleichung:<br />
∫ ∫<br />
(min f ) g ≤<br />
[a,b]<br />
∫<br />
fg ≤ (max f )<br />
[a,b]<br />
Zwischenwertsatz =⇒<br />
Gleichheit für einen Wert von f zwischen min f und max f<br />
Gegenbeispiel bei Vorzeichenwechsel von g:<br />
∫ 1<br />
x 2 dx =<br />
−1<br />
} {{ }<br />
>0<br />
∫ 1<br />
−1<br />
}{{} x · }{{} x dx ≠ c<br />
f g<br />
∫ 1<br />
−1<br />
g<br />
x dx = 0<br />
<strong>Mittelwertsatz</strong> <strong>der</strong> <strong>Integralrechnung</strong> - 2-5
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