Mathematik

2.5. Nullstellen 17
Als Anmerkung sei erwähnt, dass das Korollar auch für komplexe Argumente gilt.
Beweis: Es seien p und q normiert vom Grad n. Es seien x 1 , . . . , x n paarweise verschiedene
reelle Zahlen mit p(x i ) = q(x i ). Betrachten wir das Differenzpolynom r(x) = def p(x)−q(x),
so gilt r(x i ) = 0 für alle x i , d.h., r besitzt n Nullstellen. Da p und q normiert sind, gilt
grad(r) ≤ n − 1. Nach Theorem 2.4 muss folglich r = 0 gelten. Damit gilt p = q.
Korollar 2.7 Es sei p ein normiertes Polynom vom Grad n mit den paarweise verschiedenen
Nullstellen α 1 , . . . , α n . Dann gilt
p(x) = (x − α 1 ) · (x − α 2 ) · . . . · (x − α n ).
Beweis: Es sei q(x) = def (x − α 1 ) · (x − α 2 ) · . . . · (x − α n ). Dann ist q normiert und vom
Grad n. Weiterhin besitzen p und q die gleichen n Nullstellen. Folglich gilt p = q.
Eine Verallgemeinerung des Korollars auf vielfache Nullstellen ist möglich.
Version v4.4 Fassung vom 12. April 2013